Neredukovatelný ideál - Irreducible ideal

v matematika, řádný ideál a komutativní prsten se říká, že je neredukovatelné pokud to nelze napsat jako průnik dvou přísně větších ideálů.^[1]

Příklady

Každý hlavní ideál je neredukovatelný.^[2] Nechť dva ideály ${displaystyle J, K}$ být obsaženy v nějakém komutativním kruhu ${displaystyle R}$ . Pokud křižovatka ${displaystyle Jcap K}$ je netriviální ideál, pak existují některé prvky ${displaystyle ain J}$ a ${displaystyle bin K}$ , kde ani jeden není v průsečíku, ale součin je, což znamená, že redukovatelný ideál není prvočíslo. Konkrétním příkladem toho jsou ideály ${displaystyle 2mathbb {Z}}$ a ${displaystyle 3mathbb {Z}}$ obsaženo v ${displaystyle mathbb {Z}}$ . Křižovatka je ${displaystyle 6mathbb {Z}}$ , a ${displaystyle 6mathbb {Z}}$ není prvotřídní ideál.
Každý neredukovatelný ideál a Noetherian ring je primární ideál,^[1] a následně pro noetherovské prsteny je neredukovatelný rozklad a primární rozklad.^[3]
Každý primární ideál a hlavní ideální doména je neredukovatelný ideál.
Každý neredukovatelný ideál je původní.^[4]

Vlastnosti

Prvek integrální domény je primární právě když je ním generovaný ideál nenulový primární ideál. To neplatí pro neredukovatelné ideály; neredukovatelný ideál může být generován prvkem, který není neredukovatelný prvek, jako je tomu v ${displaystyle mathbb {Z}}$ za ideál ${displaystyle 4mathbb {Z}}$ protože to není průnik dvou přísně větších ideálů.

Ideál Já prstenu R může být neredukovatelné, pouze pokud algebraická množina definuje je neredukovatelné (to znamená, že každá otevřená podmnožina je hustá) pro Zariski topologie, nebo ekvivalentně, pokud je uzavřený prostor spec R skládající se z hlavní ideály obsahující Já je pro ireducibilní spektrální topologie. Konverzace nedrží; například ideál polynomů ve dvou proměnných s mizejícími členy prvního a druhého řádu není neredukovatelný.

Li k je algebraicky uzavřené pole, výběr radikální neredukovatelného ideálu polynomiálního kruhu k je přesně to samé jako výběr vkládání z afinní odrůda jeho Nullstelle v afinním prostoru.

Viz také

Reference

^ ^A ^b Miyanishi, Masayoshi (1998), Algebraická geometrie Překlady matematických monografií, 136, American Mathematical Society, str. 13, ISBN 9780821887707.
^ Knapp, Anthony W. (2007), Pokročilá algebra, Základní kameny, Springer, str. 446, ISBN 9780817645229.
^ Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Abstraktní algebra (Třetí vydání.). Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., str. 683–685. ISBN 0-471-43334-9.
^ Fuchs, Ladislas (1950), „O prvotních ideálech“, Proceedings of the American Mathematical Society, 1: 1–6, doi:10.2307/2032421, PAN 0032584. Věta 1, str. 3.

Tento abstraktní algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[m98-1] A ^b Miyanishi, Masayoshi (1998), Algebraická geometrie Překlady matematických monografií, 136, American Mathematical Society, str. 13, ISBN 9780821887707.

[2] Knapp, Anthony W. (2007), Pokročilá algebra, Základní kameny, Springer, str. 446, ISBN 9780817645229.

[Dummit-3] Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Abstraktní algebra (Třetí vydání.). Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., str. 683–685. ISBN 0-471-43334-9.

[4] Fuchs, Ladislas (1950), „O prvotních ideálech“, Proceedings of the American Mathematical Society, 1: 1–6, doi:10.2307/2032421, PAN 0032584. Věta 1, str. 3.

[1]

[2]

[3]

[4]