Ray třída pole - Ray class field - Wikipedia

V matematice, a pole třídy paprsků je abelian rozšíření a globální pole spojené s a skupina tříd paprsků z ideální třídy nebo ideální třídy. Každé konečné abelianské rozšíření číselného pole je obsaženo v jednom ze svých polí třídy paprsků.

Termín „skupina tříd paprsků“ je překladem německého výrazu „Strahlklassengruppe“. Zde je „Strahl“ němčinou paprsku a často znamená pozitivní skutečnou linii, která se objevuje v pozitivních podmínkách definujících skupiny paprskových tříd. Hasse (1926, s. 6) používá „Strahl“ k označení určité skupiny ideálů definovaných pomocí pozitivních podmínek a „Strahlklasse“ k označení skupiny těchto skupin.

Existují dva mírně odlišné představy o tom, co je pole třídy paprsků, protože autoři se liší v tom, jak se zachází s nekonečnými prvočísly.

Dějiny

Weber představil skupiny skupin paprsků v roce 1897. Takagi prokázal existenci odpovídajících polí tříd paprsků kolem roku 1920. Chevalley v roce 1933 přeformuloval definici skupin tříd paprsků, pokud jde o ideles.

Pole třídy Ray využívající ideály

Li m je ideálem kruh celých čísel a pole s číslem K. a S je podmnožinou skutečných míst, pak skupinou paprskové třídy m a S je kvocientová skupina

${ displaystyle I ^ {m} / P ^ {m} ,}$

kde Já^m je skupina částečné ideály co-prime na ma „paprsek“ P^m je skupina hlavní ideály generované prvky A s A ≡ 1 modm které jsou pozitivní na místech S.Když S se skládá ze všech skutečných míst, takže A je omezeno na zcela pozitivní, skupina se nazývá skupina úzkých paprsků z m. Někteří autoři používají termín „skupina skupin paprsků“ ve smyslu „skupina skupin úzkých paprsků“.

Pole třídy paprsků o K. je abelian rozšíření K. přidružené ke skupině tříd paprsků podle teorie třídního pole a její skupina Galois je izomorfní s odpovídající skupinou tříd paprsků. Důkaz existence pole třídy paprsků dané skupiny tříd paprsků je dlouhý a nepřímý a obecně neexistuje žádný známý snadný způsob, jak jej postavit (ačkoli v některých zvláštních případech, jako jsou imaginární kvadratická pole, jsou známy explicitní konstrukce).

Pole třídy Ray pomocí ideles

Chevalley předefinoval skupinu paprskových hodin ideálu m a sada S skutečných míst jako kvocient skupiny ideálních tříd podle obrazu skupiny

${ displaystyle prod U_ {p} ,}$

kde U_p darováno:

• Nenulová komplexní čísla pro složité místo p
• Pozitivní reálná čísla pro skutečné místo p v Sa všechna nenulová reálná čísla pro p ne v S
• Jednotky K._p pro konečné místo p nedělí se m
• Jednotky K._p shodný do 1 mod pⁿ -li pⁿ je maximální síla p dělení m.

Někteří autoři používají obecnější definici skupiny U_p mohou být jistě všechna nenulová reálná čísla skutečná místa  p.

Skupiny tříd paprsků definované pomocí idel jsou přirozeně izomorfní ke skupinám definovaným pomocí ideálů. Teoreticky se s nimi někdy snáze manipuluje, protože jsou to všechny kvocienty jedné skupiny, a proto je snazší je porovnávat.

Pole třídy paprsků skupiny skupin paprsků je (jedinečným) abelianským rozšířením L z K. taková, že normou skupiny ideálních tříd C_L z L je obraz ${ displaystyle prod U_ {p} ,}$ ve skupině ideálních skupin K..

Příklady

Li K. je obor racionální čísla, m je nenulové racionální celé číslo a S zahrnuje Archimédovo místo z K., pak skupina třídy paprsků (m) a S je izomorfní se skupinou jednotek Z/mZa pole třídy paprsků je pole generované mth kořeny jednoty. Pole třídy paprsku pro (m) a prázdná sada míst je jeho maximálním zcela skutečným podpole - polem ${ displaystyle mathbb {Q} ( cos ({ frac {2 pi} {m}}))}$.

The Hilbertovo pole třídy je pole třídy paprsků odpovídající ideální jednotce a prázdné sadě reálných míst, takže se jedná o nejmenší pole třídy paprsků. The úzké pole třídy Hilbert je pole třídy paprsků odpovídající ideální jednotce a množině všech skutečných míst, takže se jedná o nejmenší úzké pole třídy paprsků.

Reference

• Hasse, Helmut (1926), „Bericht über neuere Unterschungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper.“, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Göttingen: Teubner, 35
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraická teorie čísel. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 322. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8. PAN  1697859. Zbl  0956.11021.