Klasický Heisenbergův model - Classical Heisenberg model

The Klasický Heisenberg Modelka je ${ displaystyle n = 3}$ případ n-vektorový model, jeden z modelů používaných v statistická fyzika modelovat feromagnetismus a další jevy.

Definice

Lze jej formulovat následovně: vezměte d-dimenzionální mříž a sadu otočení o jednotkové délce

{ displaystyle { vec {s}} _ {i} in mathbb {R} ^ {3}, | { vec {s}} _ {i} | = 1 quad (1)}

,

každý z nich umístěn na mřížovém uzlu.

Model je definován v následujícím textu Hamiltonian:

{ displaystyle { mathcal {H}} = - součet _ {i, j} { mathcal {J}} _ {ij} { vec {s}} _ {i} cdot { vec {s} } _ {j} quad (2)}

s

{ displaystyle { mathcal {J}} _ {ij} = { begin {cases} J & { mbox {if}} i, j { mbox {are Neighbors}} 0 & { mbox {else.} } end {případy}}}

spojení mezi otočeními.

Obecný matematický formalismus používaný k popisu a řešení Heisenbergova modelu a určitých zevšeobecnění je rozvinut v článku o Pottsův model.
V limitu kontinua dává Heisenbergův model (2) následující pohybovou rovnici

{ displaystyle { vec {S}} _ {t} = { vec {S}} klín { vec {S}} _ {xx}.}

Tato rovnice se nazývá spojitá klasická Heisenbergova feromagnetická rovnice nebo krátce Heisenbergův model a je integrovatelný ve smyslu solitonové teorie. Připouští několik integrovatelných a neintegrovatelných zobecnění jako Landau-Lifshitzova rovnice, Ishimoriho rovnice a tak dále.

V případě interakce na velké vzdálenosti ${ displaystyle J_ {x, y} sim | x-y | ^ {- alpha}}$ , termodynamický limit je dobře definován, pokud ${ displaystyle alpha> 1}$ ; magnetizace zůstává nulová, pokud ${ displaystyle alpha geq 2}$ ; ale magnetizace je pozitivní, při dostatečně nízké teplotě, pokud ${ displaystyle 1 < alpha <2}$ (infračervené hranice).
Jako v každém „nejbližším sousedovi“ n-vektorový model s volnými okrajovými podmínkami, pokud je vnější pole nulové, existuje jednoduché přesné řešení.

V případě interakce na velké vzdálenosti ${ displaystyle J_ {x, y} sim | x-y | ^ {- alpha}}$ , termodynamický limit je dobře definován, pokud ${ displaystyle alpha> 2}$ ; magnetizace zůstává nulová, pokud ${ displaystyle alpha geq 4}$ ; ale magnetizace je pozitivní při dostatečně nízké teplotě, pokud ${ displaystyle 2 < alpha <4}$ (infračervené hranice).
Polyakov se domníval, že na rozdíl od klasický model XY, tady není žádný dipólová fáze pro všechny ${ displaystyle T> 0}$ ; tj. při nenulové teplotě se korelace shlukují exponenciálně rychle.^[1]

Nezávisle na rozsahu interakce je při dostatečně nízké teplotě magnetizace pozitivní.

Konjekturálně se v každém z extrémních stavů s nízkou teplotou zkrácené korelace algebraicky rozpadají.

^ Polyakov, A.M. (1975). „Interakce částic zlatého kamene ve dvou rozměrech. Aplikace na feromagnety a masivní pole Yang-Mills“. Phys. Lett. B 59 (1): 79–81. Bibcode:1975PhLB ... 59 ... 79P. doi:10.1016/0370-2693(75)90161-6.