Multipolární výměna interakce - Multipolar exchange interaction

Magnetické materiály se silným interakce spin-orbita, jako například: LaFeAsO,^[1][2] PrFe₄P₁₂,^[3][4] YbRu₂Ge₂,^[5] UO₂,^{[6][7][8][9][10]} NpO₂,^[11][12][13] Ce_{1 − x}Los Angeles_XB₆,^[14] URu₂Si₂^{[15][16][17][18][19]} a mnoho dalších sloučenin bylo zjištěno, že mají magnetické uspořádání tvořené vysoce postavenými multipóly, např. čtyřnásobek, osmička atd.^[20] Díky silné vazbě spin-orbit jsou multipóly automaticky zavedeny do systémů, když celkové kvantové číslo momentu hybnosti J je větší než 1/2. Pokud jsou tyto multipóly spojeny některými výměnnými mechanismy, mohly by mít tyto multipóly tendenci mít nějaké uspořádání jako konvenční problém s Heinbergovým spinem 1/2. Kromě multipolárního uspořádání se předpokládá, že mnoho fenoménů skrytého řádu úzce souvisí s multipolárními interakcemi ^[11][14][15]

Expanze operátorů tenzoru

Základní pojmy

Uvažujme o kvantově mechanickém systému s Hilbertovým prostorem rozloženým kolem ${ displaystyle | j, m_ {j} rangle}$, kde ${ displaystyle j}$ je celková moment hybnosti a ${ displaystyle m_ {j}}$ je jeho projekce na kvantové ose. Pak jakýkoli kvantové operátory lze reprezentovat pomocí sady základů ${ displaystyle lbrace | j, m_ {j} rangle rbrace}$ jako matice s dimenzí ${ displaystyle (2j + 1)}$. Proto lze definovat ${ displaystyle (2j + 1) ^ {2}}$ matice k úplnému rozšíření jakéhokoli kvantového operátoru v tomto Hilbertově prostoru. Vezmeme-li jako příklad J = 1/2, lze kvantový operátor A rozšířit jako

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end {bmatrix}} = 1 { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {bmatrix}} + 2 { begin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {bmatrix}} + 3 { begin {bmatrix} 0 & 0 1 & 0 end {bmatrix}} + 4 { begin {bmatrix} 0 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} = 1L_ {1,1} + 2L_ {1,2} + 3L_ {2,1} + 4L_ {2,2}}$

Je zřejmé, že matice: ${ displaystyle L_ {ij} = | i rangle langle j |}$ tvoří základ nastavený v prostoru operátora. Libovolný kvantový operátor definovaný v tomto Hilbertovi může být použit ${ displaystyle lbrace L_ {ij} rbrace}$ operátory. V následujícím textu označme tyto matice jako superzáklad pro rozlišení vlastního základu kvantových stavů. Přesněji řečeno výše uvedený superzáklad ${ displaystyle lbrace L_ {ij} rbrace}$ lze nazvat přechodovým superzákladem, protože popisuje přechod mezi stavy ${ displaystyle | i rangle}$ a ${ displaystyle | j rangle}$. Ve skutečnosti to není jediný super základ, který tento trik dělá. Můžeme také použít Pauliho matice a matici identity, abychom vytvořili superzáklad

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end {bmatrix}} = { frac {5} {2}} { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} + { frac {i} {2}} { begin {bmatrix} 0 & i - i & 0 end {bmatrix}} + { frac {3} {2}} { begin {bmatrix} -1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} + { frac {5} {2}} { begin {bmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {bmatrix}} = { frac {5} {2}} I + { frac {i} { 2}} sigma _ {y} + { frac {3} {2}} sigma _ {z} + { frac {5} {2}} sigma _ {x}}$

Protože vlastnosti rotace ${ displaystyle sigma _ {x}, sigma _ {y}, sigma _ {z}}$ postupujte podle stejných pravidel jako tenzor 1. stupně kubických harmonických ${ displaystyle T_ {x}, T_ {y}, T_ {z}}$ a matice identity ${ displaystyle I}$ dodržuje stejná pravidla jako tenzor pořadí 0 ${ displaystyle T_ {s}}$, základna ${ displaystyle lbrace I, sigma _ {x}, sigma _ {y}, sigma _ {z} rbrace}$ lze nazvat kubický superzáklad. Dalším běžně používaným super základem je sférický harmonický super základ, který je vytvořen nahrazením ${ displaystyle sigma _ {x}, sigma _ {y}}$ operátorům zvedání a spouštění ${ displaystyle lbrace I, sigma _ {- 1}, sigma _ {0}, sigma _ {+ 1} rbrace}$

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end {bmatrix}} = { frac {5} {2}} { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} + 2 { begin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {bmatrix}} + { frac {3} {2}} { begin {bmatrix} -1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} - 3 { begin { bmatrix} 0 & 0 - 1 & 0 end {bmatrix}} = { frac {5} {2}} I + 2 sigma _ {+ 1} + { frac {3} {2}} sigma _ {0 } -3 sigma _ {- 1}}$

Znovu, ${ displaystyle sigma _ {- 1}, sigma _ {0}, sigma _ {+ 1}}$ mají stejné rotační vlastnosti jako sférické tenzory 1. úrovně ${ displaystyle Y _ {- 1} ^ {1}, Y_ {0} ^ {1}, Y _ {- 1} ^ {1}}$, tak se tomu říká sférický superzáklad.

Protože atomové orbitaly ${ displaystyle s, p, d, f}$ jsou také popsány sférickými nebo kubickými harmonickými funkcemi, lze si tyto operátory představit nebo vizualizovat pomocí vlnových funkcí atomových orbitalů, i když jsou to v podstatě matice, nikoli prostorové funkce.

Pokud rozšíříme problém na ${ displaystyle J = 1}$, budeme potřebovat 9 matic, abychom vytvořili superzáklad. Pro přechod super základ máme ${ displaystyle lbrace L_ {ij}; i, j = 1 sim 3 rbrace}$. Pro superkubický základ máme ${ displaystyle lbrace T_ {s}, T_ {x}, T_ {y}, T_ {z}, T_ {xy}, T_ {yz}, T_ {zx}, T_ {x ^ {2} -y ^ {2}}, T_ {3z ^ {2} -r ^ {2}} rbrace}$. Pro sférický super základ máme ${ displaystyle lbrace Y_ {0} ^ {0}, Y _ {- 1} ^ {1}, Y_ {0} ^ {1}, Y _ {- 1} ^ {1}, Y _ {- 2} ^ { 2}, Y _ {- 1} ^ {2}, Y_ {0} ^ {2}, Y_ {1} ^ {2}, Y_ {2} ^ {2} rbrace}$. V teorii skupin ${ displaystyle T_ {s} / Y_ {0} ^ {0}}$ se nazývají skalární nebo tenzor 0, ${ displaystyle T_ {x, yz,} / Y _ {- 1,0, + 1} ^ {1}}$ se nazývají dipóly nebo tenzory 1. stupně, ${ displaystyle T_ {xy, yz, zx, x ^ {2} -y ^ {2}, 3z ^ {2} -r ^ {2}} / Y _ {- 2, -1,0, + 1, + 2} ^ {2}}$ se nazývají kvadrupóly nebo tenzory 2. stupně.^[20]

Příklad nám říká, že a ${ displaystyle J}$-multipletový problém, jeden bude potřebovat všechny pozice ${ displaystyle 0 sim 2J}$ tenzorové operátory k vytvoření úplného super základu. Proto pro a ${ displaystyle J = 1}$ systému, jeho matice hustoty musí mít kvadrupólové komponenty. To je důvod, proč a ${ displaystyle J> 1/2}$ problém automaticky zavede vysoce postavené multipóly do systému ^[21][22]

Formální definice

maticové prvky a skutečná část odpovídajících harmonických funkcí základny kubických operátorů v případě J = 1.^[21]

Obecná definice sférického harmonického super základu a ${ displaystyle J}$-multipletový problém lze vyjádřit jako ^[20]

${ displaystyle Y_ {K} ^ {Q} (J) = součet _ {MM ^ { prime}} (- 1) ^ {JM} (2K + 1) ^ {2} krát doleva ({ začátek {matrix} J & J & K ^ {^ { prime}} M ^ {^ { prime}} & M&Q end {matrix}} right) | JM rangle langle JM ^ {^ { prime}} | ,}$

kde závorky označují a 3-j symbol; K je hodnost, která se pohybuje ${ displaystyle 0 sim 2J}$; Q je index projekce pořadí K, který se pohybuje od −K do + K. Kubický harmonický superzáklad, kde jsou všechny operátory tenzoru hermitské, lze definovat jako

${ displaystyle T_ {K} ^ {Q} = { frac {1} { sqrt {2}}} [(- 1) ^ {Q} Y_ {K} ^ {Q} (J) + Y_ {K } ^ {- Q} (J)]}$

${ displaystyle T_ {K} ^ {- Q} = { frac {i} { sqrt {2}}} [Y_ {K} ^ {- Q} (J) - (- 1) ^ {Q} Y_ {K} ^ {- Q} (J)]}$

Pak jakýkoli kvantový operátor ${ displaystyle A}$ definované v ${ displaystyle J}$-multiplet Hilbertův prostor lze rozšířit jako

${ displaystyle A = sum _ {K, Q} alpha _ {K} ^ {Q} Y_ {K} ^ {Q} = sum _ {K, Q} beta _ {K} ^ {Q} T_ {K} ^ {Q} = součet _ {i, j} gamma _ {i, j} L_ {i, j}}$

kde koeficienty roztažnosti lze získat odebráním stopového vnitřního produktu, např. ${ displaystyle alpha _ {K} ^ {Q} = Tr [AY_ {K} ^ {Q dagger}]}$Zdá se, že lze vytvořit lineární kombinaci těchto operátorů a vytvořit tak nový superzáklad, který má různé symetrie.

Popis více výměn

Pomocí věty sčítání tenzorových operátorů může produkt tenzoru pořadí n a tenzoru pořadí m vygenerovat nový tenzor s hodnocením n + m ~ | n-m |. Proto lze vysoce hodnotný tenzor vyjádřit jako produkt nízkých hodnot tenzorů. Tato konvence je užitečná k interpretaci vysoce postavených multipolárních směnných výrazů jako procesu „více výměn“ dipólů (nebo pseudospinů). Například pro sférické harmonické tenzorové operátory ${ displaystyle J = 1}$ případ máme

${ displaystyle Y_ {2} ^ {- 2} = 2Y_ {1} ^ {- 1} Y_ {1} ^ {- 1}}$

${ displaystyle Y_ {2} ^ {- 1} = { sqrt {2}} (Y_ {1} ^ {- 1} Y_ {1} ^ {0} + Y_ {1} ^ {0} Y_ {1 } ^ {- 1})}$

${ displaystyle Y_ {2} ^ {0} = { sqrt {24}} / 6 (Y_ {1} ^ {- 1} Y_ {1} ^ {+ 1} + 2Y_ {1} ^ {0} Y_ {1} ^ {0} + Y_ {1} ^ {+ 1} Y_ {1} ^ {- 1})}$

${ displaystyle Y_ {2} ^ {+ 1} = { sqrt {2}} (Y_ {1} ^ {0} Y_ {1} ^ {+ 1} + Y_ {1} ^ {+ 1} Y_ { 1} ^ {0})}$

${ displaystyle Y_ {2} ^ {+ 2} = 2Y_ {1} ^ {+ 1} Y_ {1} ^ {+ 1}}$

Pokud ano, lze interakci kvadrupól-kvadrupól (viz další část) považovat za dvoukrokovou interakci dipól-dipól. Například, ${ displaystyle Y_ {2_ {i}} ^ {+ 2_ {i}} Y_ {2_ {j}} ^ {- 2_ {j}} = 4Y_ {1_ {i}} ^ {+ 1_ {i}} Y_ {1_ {i}} ^ {+ 1_ {i}} Y_ {1_ {j}} ^ {- 1_ {j}} Y_ {1_ {j}} ^ {- 1_ {j}}}$, tedy jednokrokový kvadrupólový přechod ${ displaystyle Y_ {2_ {i}} ^ {+ 2_ {i}}}$ na stránce ${ displaystyle i}$ nyní se stává dvěma kroky přechodu dipólu ${ displaystyle Y_ {1_ {i}} ^ {+ 1_ {i}} Y_ {1_ {i}} ^ {+ 1_ {i}}}$. Objevují se tedy nejen výměny mezi lokalitami, ale i výměny mezi lokalitami (tzv. Multi-výměna). Li ${ displaystyle J}$ je ještě větší, lze očekávat, že se objeví komplikovanější podmínky výměny v rámci webu. Je však třeba poznamenat, že nejde o poruchové rozšíření, ale pouze o matematickou techniku. Podmínky s vysokým hodnocením nemusí být nutně menší než podmínky s nízkým hodnocením. V mnoha systémech jsou termíny s vyšším hodnocením důležitější než termíny s nízkým hodnocením.^[20]

Multipolární směnné interakce

Příklady interakcí dipól-dipól a kvadrupól-kvadrupól v případě J = 1. Modrá šipka znamená, že přechod přichází s a ${ displaystyle pi}$fázový posun.^[21]

Existují čtyři hlavní mechanismy k vyvolání výměnných interakcí mezi dvěma magnetickými momenty v systému:^[20] 1). Přímá výměna 2). RKKY 3). Superexchange 4). Spin-Lattice. Bez ohledu na to, kterému dominuje, lze obecnou formu výměnné interakce zapsat jako^[21]

${ displaystyle H = součet _ {ij} součet _ {KQ} C_ {K_ {i} K_ {j}} ^ {Q {i} Q_ {j}} T_ {K_ {i}} ^ {Q_ { i}} T_ {K_ {j}} ^ {Q_ {j}}}$

kde ${ displaystyle i, j}$ jsou indexy stránek a ${ displaystyle C_ {K_ {i} K_ {j}} ^ {Q {i} Q_ {j}}}$ je vazebná konstanta, která spojuje dva vícepólové momenty ${ displaystyle T_ {K_ {i}} ^ {Q_ {i}}}$ a ${ displaystyle T_ {K_ {j}} ^ {Q_ {j}}}$. Jeden může okamžitě zjistit, jestli ${ displaystyle K}$ je omezen pouze na 1, Hamiltonian se redukuje na konvenční Heisenbergův model.

Důležitým rysem multipolární výměny hamiltoniánů je jeho anizotropie.^[21] Hodnota konstanty vazby ${ displaystyle C_ {K_ {i} K_ {j}} ^ {Q {i} Q_ {j}}}$ je obvykle velmi citlivý na relativní úhel mezi dvěma multipóly. Na rozdíl od konvenční spinové výměny pouze hamiltoniánů, kde vazebné konstanty jsou v homogenním systému izotropní, vysoce anizotropní atomové orbitaly (připomeňme tvar ${ displaystyle s, p, d, f}$ vazba na magnetické momenty systému nevyhnutelně zavede obrovskou anizotropii i v homogenním systému. To je jeden z hlavních důvodů, proč většina multipolárních uspořádání bývá nekolineární.

Antiferromagnetismus multipolárních momentů

Převrácení fází multipólů ^[21]

Řetězy objednávání AFM různých multipólů.^[21]

Na rozdíl od magnetického řazení, kde je antiferromagnetism lze definovat převrácením osy magnetizace dvou sousedních míst z a feromagnetický konfigurace, převrácení osy magnetizace vícepólového je obvykle bezvýznamné. Užívání a ${ displaystyle T_ {yz}}$ jako příklad, když jeden převrátí osu z vytvořením a ${ displaystyle pi}$ rotace směrem k ose y, nic to nemění. Proto navrhovaná definice^[21] antiferomagnetického multipolárního uspořádání je převrátit jejich fáze o ${ displaystyle pi}$, tj. ${ displaystyle T_ {yz} rightarrow e ^ {i pi} T_ {yz} = - T_ {yz}}$. V tomto ohledu je antiferomagnetické uspořádání spinu jen zvláštním případem této definice, tj. Převrácení fáze dipólového momentu je ekvivalentní převrácení jeho osy magnetizace. Pokud jde o vysoce postavené multipole, např. ${ displaystyle T_ {yz}}$, ve skutečnosti se stává ${ displaystyle pi / 2}$ rotace a pro ${ displaystyle T_ {3z ^ {2} -r ^ {2}}}$ dokonce to není žádný druh rotace.

Výpočet vazebních konstant

Výpočet multipolárních výměnných interakcí zůstává v mnoha aspektech náročným problémem. Ačkoli existovalo mnoho prací založených na vybavení modelu Hamiltonians experimenty, předpovědi vazebných konstant založených na schématech prvního principu stále chybí. V současné době existují dvě studie implementované podle principů prvního principu k prozkoumání multipolárních výměnných interakcí. Časná studie byla vyvinuta v 80. letech. Je založen na přístupu založeném na středním poli, který může výrazně snížit složitost vazebných konstant indukovaných mechanismem RKKY, takže multipolární směnný hamiltonián lze popsat jen několika neznámými parametry a lze jej získat porovnáním s experimentálními daty.^[23] Později byl dále vyvinut přístup založený na principu první metody k odhadu neznámých parametrů a byl dosažen dobrý souhlas s několika vybranými sloučeninami, např. cerium momnpnictides.^[24] Nedávno byl rovněž navržen další přístup prvního principu.^[21] Mapuje všechny vazebné konstanty indukované všemi mechanismy statické výměny na sérii výpočtů celkové energie DFT + U a získal souhlas s oxidem uraničitým.

Reference