Grunwald-Wangova věta - Grunwald–Wang theorem - Wikipedia

v algebraická teorie čísel, Grunwaldova-Wangova věta je lokálně-globální princip uvádí, že - až na některé přesně definované případy - prvek X v pole s číslem K. je nth napájení K. pokud je nth síla v dokončení ${ displaystyle K _ { mathfrak {p}}}$ pro všechny ale konečně mnoho prvočísel ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ z K.. Například a racionální číslo je čtverec racionálního čísla, pokud je čtverec a p-adické číslo pro téměř všechna prvočísla p. Grunwald-Wangova věta je příkladem a lokálně-globální princip.

To bylo představeno Wilhelm Grunwald (1933 ), ale v této původní verzi byla chyba, kterou našel a opravil Shianghao Wang (1948 ). Věta uvažovaná Grunwaldem a Wangem byla obecnější než ta, která byla uvedena výše, protože diskutovali o existenci cyklických rozšíření s určitými místními vlastnostmi a prohlášení o ndůsledkem toho je tato moc.

Dějiny

O několik dní později jsem byl u Artin když se objevil Wang. Řekl, že má protiklad k lematu, které bylo použito v důkazu. O hodinu nebo dvě později vytvořil protiklad k samotné větě ... Samozřejmě [Artin] byl ohromen, stejně jako my všichni studenti, že slavná věta se dvěma publikovanými důkazy, z nichž jeden jsme všichni slyšeli seminář, aniž bychom si čehokoli všimli, se může mýlit.

John Tate, citováno uživatelem Peter Roquette (2005, str.30)

Grunwald (1933), student Helmut Hasse, poskytl nesprávný důkaz o chybném prohlášení, že prvek v číselném poli je nta síla, pokud je nmístní síla téměř všude. George Whaples (1942 ) poskytl další nesprávný důkaz o tomto nesprávném prohlášení. nicméně Wang (1948) objevil následující protiklad: 16 je a p-adická 8. síla pro všechna lichá prvočísla p, ale nejde o racionální nebo 2-adic 8. mocnost. Ve své disertační práci Wang (1950) napsáno pod Emil Artin Wang podal a prokázal správnou formulaci Grunwaldova tvrzení tím, že popsal vzácné případy, kdy selhalo. Tento výsledek je nyní známý jako věta Grunwald – Wang. Historie Wangova protikladu je diskutována Peter Roquette (2005, oddíl 5.3)

Wangův protiklad

Grunwaldovo původní tvrzení, že prvek, který je nsíla téměř všude na místě je nglobální síla může selhat dvěma odlišnými způsoby: prvek může být nsíla téměř všude lokálně, ale ne všude lokálně, nebo to může být nsíla všude lokálně, ale ne globálně.

Prvek, který je nsíla téměř všude na místě, ale ne všude na místě

Prvek 16 v racionálech je 8. mocností na všech místech kromě 2, ale není 8. mocností v 2-adických číslech.

Je jasné, že 16 není 2-adická 8. mocnost, a tedy ani racionální 8. mocnost, protože 2-adic ocenění 16 je 4, což není dělitelné 8.

Obecně je 16 osmá síla v poli K. právě když je polynom ${ displaystyle X ^ {8} -16}$ má kořen v K.. Psát si

{ displaystyle X ^ {8} -16 = (X ^ {4} -4) (X ^ {4} +4) = (X ^ {2} -2) (X ^ {2} +2) (X ^ {2} -2X + 2) (X ^ {2} + 2X + 2).}

16 je tedy 8. síla v K. právě když 2, −2 nebo −1 je čtverec v K.. Nechat p být jakýkoli lichý prime. Vyplývá to z multiplikativity Legendární symbol že 2, −2 nebo −1 je čtvercové modulo p. Proto tím, že Henselův lemma, 2, −2 nebo −1 je čtverec v ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ .

Prvek, který je nsíla všude lokálně, ale ne globálně

16 není 8. power in ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {7}})}$ i když se jedná o 8. moc lokálně všude (tj. v ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p} ({ sqrt {7}})}$ pro všechny p). To vyplývá z výše uvedeného a rovnosti ${ displaystyle mathbb {Q} _ {2} ({ sqrt {7}}) = mathbb {Q} _ {2} ({ sqrt {-1}})}$ .

Důsledek Wangova protikladu

Wangův protiklad má následující zajímavý důsledek, který ukazuje, že nelze vždy najít cyklické Galoisovo rozšíření daného stupně číselného pole, ve kterém se konečně mnoho daných hlavních míst rozděluje určitým způsobem:

Neexistuje žádné prodloužení cyklického stupně 8 ${ displaystyle K / mathbb {Q}}$ ve kterém prime 2 je zcela inertní (tj. takový, že ${ displaystyle K_ {2} / mathbb {Q} _ {2}}$ je unramified stupně 8).

Speciální pole

Pro všechny ${ displaystyle s geq 2}$ nechat

{ displaystyle eta _ {s}: = exp left ({ frac {2 pi i} {2 ^ {s}}} right) + exp left (- { frac {2 pi i} {2 ^ {s}}} right) = 2 cos left ({ frac {2 pi} {2 ^ {s}}} right).}

Všimněte si, že ${ displaystyle 2 ^ {s}}$ th cyklotomické pole je

{ displaystyle mathbb {Q} _ {2 ^ {s}} = mathbb {Q} (i, eta _ {s}).}

Pole se nazývá s-speciální pokud obsahuje ${ displaystyle eta _ {s}}$ , ale ani jeden ${ displaystyle i}$ , ${ displaystyle eta _ {s + 1}}$ ani ${ displaystyle i eta _ {s + 1}}$ .

Výrok věty

Zvažte pole s čísly K. a přirozené číslo n. Nechat S být konečná (možná prázdná) sada prvočísel K. a dal

{ displaystyle K (n, S): = {x v K mid x v K _ { mathfrak {p}} ^ {n} mathrm { for all } { mathfrak {p}} not in S }.}

Věta Grunwald – Wang to říká

{ displaystyle K (n, S) = K ^ {n}}

pokud nejsme v speciální případ který nastane, když platí obě následující podmínky:

${ displaystyle K}$ je s- speciální s ${ displaystyle s}$ takhle ${ displaystyle 2 ^ {s + 1}}$ rozděluje n.
${ displaystyle S}$ obsahuje speciální sada ${ displaystyle S_ {0}}$ skládající se z těchto (nutně 2-adic) prvočísel ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ takhle ${ displaystyle K _ { mathfrak {p}}}$ je s-speciální.

Ve zvláštním případě je selhání principu Hasse konečné řádu 2: jádro

{ displaystyle K ^ { times} / K ^ { times n} to prod _ {{ mathfrak {p}} ne v S} K _ { mathfrak {p}} ^ { times} / K _ { mathfrak {p}} ^ { krát n}}

je Z/2Z, generovaný prvkem ηⁿ
_s+1.

Vysvětlení Wangova protikladu

Pole racionálních čísel ${ displaystyle K = mathbb {Q}}$ je 2-speciální, protože obsahuje ${ displaystyle eta _ {2} = 0}$ , ale ani jeden ${ displaystyle i}$ , ${ displaystyle eta _ {3} = { sqrt {2}}}$ ani ${ displaystyle i eta _ {3} = { sqrt {-2}}}$ . Speciální sada je ${ displaystyle S_ {0} = {2 }}$ . Zvláštní případ ve větě Grunwald – Wang tedy nastává, když n je dělitelné 8 a S obsahuje 2. To vysvětluje Wangův protiklad a ukazuje, že je minimální. Je také vidět, že prvek v ${ displaystyle mathbb {Q}}$ je nth síla, pokud je to p-adic nsíla pro všechny p.

Pole ${ displaystyle K = mathbb {Q} ({ sqrt {7}})}$ je také 2-speciální, ale s ${ displaystyle S_ {0} = emptyset}$ . To vysvětluje další protiklad výše.^[1]