Karlemanská nerovnost - Carlemans inequality - Wikipedia

Carlemanova nerovnost je nerovnost v matematika, pojmenoval podle Torsten Carleman, který to dokázal v roce 1923^[1] a použil ji k prokázání věty Denjoy – Carleman kvazianalytický třídy.^[2][3]

Prohlášení

Nechat A₁, A₂, A₃, ... být sekvence z nezáporné reálná čísla, pak

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} left (a_ {1} a_ {2} cdots a_ {n} right) ^ {1 / n} leq e sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}.}$

Konstanta E v nerovnosti je optimální, to znamená, že nerovnost nemusí vždy platit, pokud E je nahrazeno menším číslem. Nerovnost je přísná (platí pro „<“ místo „≤“), pokud je některý prvek v posloupnosti nenulový.

Integrovaná verze

Carlemanova nerovnost má integrální verzi, která to uvádí

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} exp left {{ frac {1} {x}} int _ {0} ^ {x} ln f (t) dt right } dx leq e int _ {0} ^ { infty} f (x) dx}$

pro všechny F ≥ 0.

Carlesonova nerovnost

Zobecnění kvůli Lennart Carleson, uvádí následující:^[4]

pro jakoukoli konvexní funkci G s G(0) = 0 a pro všechny -1 <p < ∞,

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {p} e ^ {- g (x) / x} dx leq e ^ {p + 1} int _ {0} ^ { infty } x ^ {p} e ^ {- g '(x)} dx.}$

Z případu vyplývá Carlemanova nerovnost p = 0.

Důkaz

Níže je načrtnut základní důkaz. Z nerovnost aritmetických a geometrických prostředků aplikován na čísla ${ displaystyle 1 cdot a_ {1}, 2 cdot a_ {2}, tečky, n cdot a_ {n}}$

${ displaystyle mathrm {MG} (a_ {1}, dots, a_ {n}) = mathrm {MG} (1a_ {1}, 2a_ {2}, dots, na_ {n}) (n! ) ^ {- 1 / n} leq mathrm {MA} (1a_ {1}, 2a_ {2}, dots, na_ {n}) (n!) ^ {- 1 / n}}$

kde MG znamená geometrický průměr a MA - aritmetický průměr. The Stirlingův typ nerovnost ${ displaystyle n! geq { sqrt {2 pi n}} , n ^ {n} e ^ {- n}}$ aplikován na ${ displaystyle n + 1}$ naznačuje

${ displaystyle (n!) ^ {- 1 / n} leq { frac {e} {n + 1}}}$ pro všechny ${ displaystyle n geq 1.}$

Proto,

${ displaystyle MG (a_ {1}, tečky, a_ {n}) leq { frac {e} {n (n + 1)}} , sum _ {1 leq k leq n} ka_ {k} ,,}$

odkud

${ displaystyle sum _ {n geq 1} MG (a_ {1}, dots, a_ {n}) leq , e , sum _ {k geq 1} { bigg (} sum _ {n geq k} { frac {1} {n (n + 1)}} { bigg)} , ka_ {k} = , e , sum _ {k geq 1} , a_ {k} ,,}$

prokazující nerovnost. Nerovnost aritmetických a geometrických prostředků ${ displaystyle n}$ o nezáporných číslech je známo, že jsou rovnými tehdy a jen tehdy, pokud se všechna čísla shodují, tj. v projednávaném případě právě tehdy ${ displaystyle a_ {k} = C / k}$ pro ${ displaystyle k = 1, tečky, n}$. V důsledku toho Carlemanova nerovnost nikdy není rovností pro konvergentní sérii, pokud nejsou všechny ${ displaystyle a_ {n}}$ zmizet, jen proto, že harmonická řada se liší.

Jeden může také dokázat Carlemanovu nerovnost tím, že začne s Hardyho nerovnost

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} vlevo ({ frac {a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {n}} {n}} vpravo) ^ { p} leq left ({ frac {p} {p-1}} right) ^ {p} sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} ^ {p}}$

pro nezáporná čísla A₁,A₂,... a p > 1, každý nahrazuje A_n s A^1/p
_na nechat p → ∞.

Poznámky

Reference

• Hardy, G. H .; Littlewood J.E .; Pólya, G. (1952). Nerovnosti, 2. vyd. Cambridge University Press. ISBN  0-521-35880-9.
• Rassias, Thermistocles M., editor (2000). Průzkum klasických nerovností. Kluwer Academic. ISBN  0-7923-6483-X.
• Hörmander, Lars (1990). Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů I: teorie distribuce a Fourierova analýza, 2. vyd. Springer. ISBN  3-540-52343-X.

externí odkazy

• „Karlemanská nerovnost“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]