Zobecněná Cliffordova algebra - Generalized Clifford algebra - Wikipedia

v matematika, a Zobecněná Cliffordova algebra (GCA) je asociativní algebra který zobecňuje Cliffordova algebra, a vrací se k práci Hermann Weyl,^[1] kdo je využil a formalizoval hodiny a směny operátoři představení J. J. Sylvester (1882),^[2] a organizuje Cartan (1898)^[3] a Schwinger.^[4]

Hodinové a posuvné matice nacházejí rutinní aplikace v mnoha oblastech matematické fyziky a poskytují základní kámen kvantová mechanická dynamika v konečných trojrozměrných vektorových prostorech.^[5]^[6]^[7] Koncept a spinor lze dále spojit s těmito algebrami.^[6]

Termín Generalized Clifford Algebras může také odkazovat na asociativní algebry, které jsou konstruovány s použitím forem vyššího stupně místo kvadratických forem.^[8]^[9]^[10]^[11]

Definice a vlastnosti

Abstraktní definice

The $n$ -dimenzionální zobecněná Cliffordova algebra je definována jako asociativní algebra nad polem $F$ generované uživatelem^[12]

{ displaystyle { begin {aligned} e_ {j} e_ {k} & = omega _ {jk} e_ {k} e_ {j} omega _ {jk} e_ {l} & = e_ {l } omega _ {jk} omega _ {jk} omega _ {lm} & = omega _ {lm} omega _ {jk} end {zarovnáno}}}

a

{ displaystyle e_ {j} ^ {N_ {j}} = 1 = omega _ {jk} ^ {N_ {j}} = omega _ {jk} ^ {N_ {k}} ,}

$\forall j, k, l, m = 1,..., n$ .

Navíc v jakékoli neredukovatelné maticové reprezentaci, relevantní pro fyzické aplikace, je to vyžadováno

{ displaystyle omega _ {jk} = omega _ {kj} ^ {- 1} = e ^ {2 pi i nu _ {kj} / N_ {kj}}}

$\forall j, k = 1,..., n$ , a ${ displaystyle N_ {kj} = {}}$ gcd ${ displaystyle (N_ {j}, N_ {k})}$ . Pole $F$ se obvykle považuje za komplexní čísla C.

Přesnější definice

V běžnějších případech GCA^[6] the $n$ -dimenzionální zobecněná Cliffordova algebra řádu $p$ má majetek $ω kj = ω$ , ${ displaystyle N_ {k} = p}$ pro všechny j,k, a ${ displaystyle nu _ {kj} = 1}$ . Z toho vyplývá, že

{ displaystyle { begin {aligned} e_ {j} e_ {k} & = omega , e_ {k} e_ {j} , omega e_ {l} & = e_ {l} omega , end {zarovnáno}}}

a

{ displaystyle e_ {j} ^ {p} = 1 = omega ^ {p} ,}

pro všechny j,k, l = 1, ...,n, a

{ displaystyle omega = omega ^ {- 1} = e ^ {2 pi i / p}}

je $p$ th kořen 1.

V literatuře existuje několik definic zobecněné Cliffordské algebry.^[13]

Cliffordova algebra

V (ortogonální) Cliffordově algebře se prvky řídí pravidlem proti komutaci, s $ω = -1 a p = 2$ .

Maticová reprezentace

Lze zobrazit matice Clock a Shift^[14] podle $n \times n$ matice ve Schwingerově kanonické notaci jako

{ displaystyle { begin {aligned} V & = { begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & cdots & 0 0 & 0 & 1 & cdots & 0 0 & 0 & ddots & 1 & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 1 & 0 & 0 & cdots & 0 end {pmatrix}}, & U & = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & cdots & 0 0 & omega & 0 & cdots & 0 0 & 0 & omega ^ {2} & cdots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & cdots & omega ^ {(n-1)} end {pmatrix}}, & W & = { begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & cdots & 1 1 & omega & omega ^ {2} & cdots & omega ^ {n-1} 1 & omega ^ {2} & ( omega ^ {2}) ^ {2} & cdots & omega ^ {2 (n-1)} vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 1 & omega ^ {n-1} & omega ^ {2 (n-1)} & cdots & omega ^ {(n-1) ^ {2}} end {pmatrix}} end {zarovnáno}}}

.

Zejména, $PROTI n = 1$ , $VU = ωUV$ (dále jen Weylské pletené vztahy ), a $Ž -1 VW = U$ (dále jen diskrétní Fourierova transformace ). S $E 1 = PROTI, E 2 = VU, a E 3 = U$ , jeden má tři základní prvky, které spolu s $ω$ , splňují výše uvedené podmínky Generalized Clifford Algebra (GCA).

Tyto matice, $PROTI$ a $U$ , obvykle označované jako „posuvné a hodinové matice ", byly představeny J. J. Sylvester v 80. letech 19. století. (Všimněte si, že matice $PROTI$ jsou cyklické permutační matice které provádějí a kruhový posun; nemají být zaměňovány s horní a dolní matice řazení které mají pouze jeden nad nebo pod úhlopříčkou).

Konkrétní příklady

Případ $n = p = 2$

V tomto případě máme $ω$ = -1 a

{ displaystyle { begin {aligned} V & = { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}}, & U & = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & -1 end {pmatrix}}, & W & = { begin {pmatrix} 1 & 1 1 & -1 end {pmatrix}} end {zarovnáno}}}

tím pádem

{ displaystyle { begin {aligned} e_ {1} & = { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}}, & e_ {2} & = { begin {pmatrix} 0 & -1 1 & 0 end {pmatrix}}, & e_ {3} & = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & -1 end {pmatrix}} end {zarovnáno}}}

,

které tvoří Pauliho matice.

Případ $n = p = 4$

V tomto případě máme $ω$ = $i$ , a

{ displaystyle { begin {aligned} V & = { begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 1 1 & 0 & 0 & 0 end {pmatrix}}, & U & = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & i & 0 & 0 0 0 1 & 0 0 & 0 & 0 & -i end {pmatrix}}, & W & = { begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 1 & i & -1 & -i 1 & -1 & 1 & -1 1 & -i & -1 & i end {pmatrix}} konec {zarovnáno}}}

a $E 1, E 2, E 3$ podle toho lze určit.

Viz také

Reference

^ Weyl, H. (1927). „Quantenmechanik und Gruppentheorie“. Zeitschrift für Physik. 46 (1–2): 1–46. Bibcode:1927ZPhy ... 46 .... 1W. doi:10.1007 / BF02055756.
— (1950) [1931]. Teorie grup a kvantové mechaniky. Doveru. ISBN 9780486602691.
^ Sylvester, J. J. (1882), Slovo o NonionsUniverzitní oběžníky Johns Hopkins University, Já, str. 241–2, hdl:1774.2/32845; tamtéž II (1883) 46; tamtéž III (1884) 7–9. Shrnuto v Shromážděné matematické papíry Jamese Josepha Sylvestera (Cambridge University Press, 1909) v III . online a dále.
^ Cartan, E. (1898). „Les groupes bilinéaires et les systèmes de nombres complexes“ (PDF). Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. 12 (1): B65 – B99.
^ Schwinger, J. (Duben 1960). „Jednotné operátorské základny“. Proc Natl Acad Sci U S A. 46 (4): 570–9. Bibcode:1960PNAS ... 46..570S. doi:10.1073 / pnas.46.4.570. PMC 222876. PMID 16590645.
— (1960). „Jednotné transformace a princip akce“. Proc Natl Acad Sci U S A. 46 (6): 883–897. Bibcode:1960PNAS ... 46..883S. doi:10.1073 / pnas.46.6.883. PMC 222951. PMID 16590686.
^ Santhanam, T. S .; Tekumalla, A. R. (1976). "Kvantová mechanika v konečných rozměrech". Základy fyziky. 6 (5): 583. Bibcode:1976FoPh .... 6..583S. doi:10.1007 / BF00715110.
^ ^A ^b ^C Viz například: Granik, A .; Ross, M. (1996). „Na novém základě pro zobecněnou Cliffordskou algebru a její aplikaci na kvantovou mechaniku“. In Ablamowicz, R .; Parra, J .; Lounesto, P. (eds.). Cliffordské algebry s numerickými a symbolickými výpočetními aplikacemi. Birkhäuser. 101–110. ISBN 0-8176-3907-1.
^ Kwaśniewski, A.K. (1999). „Na generalizovaném Cliffordově algebře C.⁽ⁿ⁾₄ andGL_q(2; C) kvantová skupina “. AACA. 9 (2): 249–260. arXiv:matematika / 0403061. doi:10.1007 / BF03042380.
^ Tesser, Steven Barry (2011). "Zobecněné Cliffordské algebry a jejich reprezentace". In Micali, A .; Boudet, R .; Helmstetter, J. (eds.). Cliffordovy algebry a jejich aplikace v matematické fyzice. Springer. str.133 –141. ISBN 978-90-481-4130-2.
^ Childs, Lindsay N. (30. května 2007). „Linearizace n-ic forem a zobecněné Cliffordovy algebry“. Lineární a multilineární algebra. 5 (4): 267–278. doi:10.1080/03081087808817206.
^ Pappacena, Christopher J. (červenec 2000). „Maticové tužky a zobecněná Cliffordova algebra“. Lineární algebra a její aplikace. 313 (1–3): 1–20. doi:10.1016 / S0024-3795 (00) 00025-2.
^ Chapman, Adam; Kuo, Jung-Miao (duben 2015). "Na zobecněné Cliffordské algebře monického polynomu". Lineární algebra a její aplikace. 471: 184–202. arXiv:1406.1981. doi:10.1016 / j.laa.2014.12.030.
^ Provozuschopnou kontrolu viz Vourdas, A. (2004). "Kvantové systémy s konečným Hilbertovým prostorem". Rep. Prog. Phys. 67 (3): 267–320. Bibcode:2004RPPh ... 67..267V. doi:10.1088 / 0034-4885 / 67/3 / R03.
^ Podívejte se například na recenzi v: Smith, Tara L. „Rozklad generalizovaných Cliffordových algeber“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 12.6.2010.
^ Ramakrishnan, Alladi (1971). „Zobecněná Cliffordova algebra a její aplikace - nový přístup k interním kvantovým číslům“. Sborník z konference o Cliffordské algebře, její generalizaci a aplikacích, 30. ledna - 1. února 1971 (PDF). Madras: Matematika. str. 87–96.

Další čtení

Jagannathan, R. (2010). „Na zobecněné Cliffordské algebry a jejich fyzické aplikace“. arXiv:1005.4300 [matematika-ph ].
Morinaga, K .; Nono, T. (1952). „O linearizaci formy vyššího stupně a její reprezentaci“. J. Sci. Hirošima Univ. Ser. A. 16: 13–41. doi:10,32917 / hmj / 1557367250.
Morris, A.O. (1967). „Na generalizované Cliffordské algebře“. Kvart. J. Math (Oxford. 18 (1): 7–12. Bibcode:1967QJMat..18 .... 7M. doi:10.1093 / qmath / 18.1.7.
Morris, A.O. (1968). „Na generalizované Cliffordské algebře II“. Kvart. J. Math (Oxford. 19 (1): 289–299. Bibcode:1968QJMat..19..289M. doi:10.1093 / qmath / 19.1.289.

[1] Weyl, H. (1927). „Quantenmechanik und Gruppentheorie“. Zeitschrift für Physik. 46 (1–2): 1–46. Bibcode:1927ZPhy ... 46 .... 1W. doi:10.1007 / BF02055756.
— (1950) [1931]. Teorie grup a kvantové mechaniky. Doveru. ISBN 9780486602691.

[2] Sylvester, J. J. (1882), Slovo o NonionsUniverzitní oběžníky Johns Hopkins University, Já, str. 241–2, hdl:1774.2/32845; tamtéž II (1883) 46; tamtéž III (1884) 7–9. Shrnuto v Shromážděné matematické papíry Jamese Josepha Sylvestera (Cambridge University Press, 1909) v III . online a dále.

[3] Cartan, E. (1898). „Les groupes bilinéaires et les systèmes de nombres complexes“ (PDF). Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. 12 (1): B65 – B99.

[4] Schwinger, J. (Duben 1960). „Jednotné operátorské základny“. Proc Natl Acad Sci U S A. 46 (4): 570–9. Bibcode:1960PNAS ... 46..570S. doi:10.1073 / pnas.46.4.570. PMC 222876. PMID 16590645.
— (1960). „Jednotné transformace a princip akce“. Proc Natl Acad Sci U S A. 46 (6): 883–897. Bibcode:1960PNAS ... 46..883S. doi:10.1073 / pnas.46.6.883. PMC 222951. PMID 16590686.

[5] Santhanam, T. S .; Tekumalla, A. R. (1976). "Kvantová mechanika v konečných rozměrech". Základy fyziky. 6 (5): 583. Bibcode:1976FoPh .... 6..583S. doi:10.1007 / BF00715110.

[granik-et-al-1996-6] A ^b ^C Viz například: Granik, A .; Ross, M. (1996). „Na novém základě pro zobecněnou Cliffordskou algebru a její aplikaci na kvantovou mechaniku“. In Ablamowicz, R .; Parra, J .; Lounesto, P. (eds.). Cliffordské algebry s numerickými a symbolickými výpočetními aplikacemi. Birkhäuser. 101–110. ISBN 0-8176-3907-1.

[7] Kwaśniewski, A.K. (1999). „Na generalizovaném Cliffordově algebře C.⁽ⁿ⁾₄ andGL_q(2; C) kvantová skupina “. AACA. 9 (2): 249–260. arXiv:matematika / 0403061. doi:10.1007 / BF03042380.

[8] Tesser, Steven Barry (2011). "Zobecněné Cliffordské algebry a jejich reprezentace". In Micali, A .; Boudet, R .; Helmstetter, J. (eds.). Cliffordovy algebry a jejich aplikace v matematické fyzice. Springer. str.133 –141. ISBN 978-90-481-4130-2.

[9] Childs, Lindsay N. (30. května 2007). „Linearizace n-ic forem a zobecněné Cliffordovy algebry“. Lineární a multilineární algebra. 5 (4): 267–278. doi:10.1080/03081087808817206.

[10] Pappacena, Christopher J. (červenec 2000). „Maticové tužky a zobecněná Cliffordova algebra“. Lineární algebra a její aplikace. 313 (1–3): 1–20. doi:10.1016 / S0024-3795 (00) 00025-2.

[11] Chapman, Adam; Kuo, Jung-Miao (duben 2015). "Na zobecněné Cliffordské algebře monického polynomu". Lineární algebra a její aplikace. 471: 184–202. arXiv:1406.1981. doi:10.1016 / j.laa.2014.12.030.

[12] Provozuschopnou kontrolu viz Vourdas, A. (2004). "Kvantové systémy s konečným Hilbertovým prostorem". Rep. Prog. Phys. 67 (3): 267–320. Bibcode:2004RPPh ... 67..267V. doi:10.1088 / 0034-4885 / 67/3 / R03.

[13] Podívejte se například na recenzi v: Smith, Tara L. „Rozklad generalizovaných Cliffordových algeber“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 12.6.2010.

[14] Ramakrishnan, Alladi (1971). „Zobecněná Cliffordova algebra a její aplikace - nový přístup k interním kvantovým číslům“. Sborník z konference o Cliffordské algebře, její generalizaci a aplikacích, 30. ledna - 1. února 1971 (PDF). Madras: Matematika. str. 87–96.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]