Obecné kovarianční transformace - General covariant transformations
![]() | Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace.červenec 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v fyzika, obecné kovarianční transformace jsou symetrie z gravitační teorie na světová potrubí . Oni jsou transformace měřidla jejichž parametrické funkce jsou vektorová pole na . Z fyzikálního hlediska jsou obecné kovariantní transformace považovány za konkrétní (holonomický ) referenční rámec transformace v obecná relativita. v matematika, obecné kovariantní transformace jsou definovány jako konkrétní automorfismy takzvaného přírodního svazky vláken.
Matematická definice
Nechat být vláknité potrubí s místními vláknitými souřadnicemi . Každý automorfismus se promítá na a difeomorfismus jeho základny . Opak však není pravdivý. Difeomorfismus z nemusí vést k automorfismu .
Zejména an nekonečně malý generátor jednoho parametru Lež skupina automorfismů je projektovatelný vektorové pole
na . Toto vektorové pole je promítnuto na vektorové pole na , jehož tok je jednoparametrická skupina difeomorfismů . Naopak, pojďme být vektorovým polem . Je problém konstruovat jeho výtah na projektovatelné vektorové pole promítnuto na . Takový výtah vždy existuje, ale nemusí být kanonický. Vzhledem k tomu, spojení na , každé vektorové pole na dává vzniknout vodorovnému vektorovému poli
na . Tento vodorovný výtah výnosy a monomorfismus z -modul vektorových polí na do -modul vektorových polí na , ale tento monomorfismus není morfismem Lieovy algebry, pokud je plochá.
Existuje však kategorie výše zmíněných přírodních svazků které připouštějí funkční zdvih na libovolného vektorového pole na takhle je monomorfismus lži algebry
Tento funkční výtah je nekonečně obecná kovarianční transformace .
V obecném prostředí se uvažuje o monomorfismu skupiny difeomorfismů do skupiny automorfismů svazků přírodního svazku . Automorfismy se nazývají obecné kovarianční transformace . Například žádný vertikální automorfismus je obecná kovarianční transformace.
Příkladem jsou přírodní svazky tenzorové svazky. Například tečný svazek z je přirozený svazek. Každý difeomorfismus z vede k tangenciálnímu automorfismu z což je obecná kovarianční transformace . S ohledem na holonomické souřadnice na , čte se tato transformace
A svazek rámů lineárních tečných rámců v také je přirozený svazek. Obecné kovarianční transformace tvoří podskupinu holonomických automorfismů . Všechny svazky spojené se svazkem rámů jsou přirozené. Existují však přírodní svazky, se kterými není spojeno .
Viz také
Reference
- Kolář, I., Michor, P., Slovák, J., Přirozené operace v diferenciální geometrii. Springer-Verlag: Berlin Heidelberg, 1993. ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.
- Sardanashvily, G., Pokročilá diferenciální geometrie pro teoretiky. Svazky vláken, proudová potrubí a Lagrangeova teorie, Lambert Academic Publishing: Saarbrücken, 2013. ISBN 978-3-659-37815-7; arXiv:0908.1886
- Saunders, D.J. (1989), Geometrie svazků trysek, Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7