Funk transformace - Funk transform
V matematický pole integrální geometrie, Funk transformace (také známý jako Minkowski – Funk transformace, Funk – Radonová transformace nebo sférická radonová transformace) je integrální transformace definované integrací a funkce na velké kruhy z koule. To bylo představeno Paul Funk v roce 1911, na základě práce Minkowski (1904). Úzce souvisí s Radonová transformace. Původní motivací ke studiu Funk transformace bylo popsat Zoll metriky na kouli.
Definice
Funkční transformace je definována následovně. Nechat ƒ být spojitá funkce na 2 koule S2 v R3. Pak pro jednotkový vektor X, nechť
kde se integrál provádí s ohledem na obloukovou délku ds velkého kruhu C(X) skládající se ze všech jednotkových vektorů kolmých na X:
Inverze
Funk transformace ničí všechny liché funkce, a tak je přirozené omezit pozornost na případ, kdy ƒ je sudý. V takovém případě Funkova transformace přebírá sudé (spojité) funkce na sudé spojité funkce a je navíc invertibilní.
Sférické harmonické
Každá funkce integrovatelná do čtverce na kouli lze rozložit sférické harmonické
Pak funkční transformace F čte
kde pro liché hodnoty a
pro sudé hodnoty. Tento výsledek ukázal Funk (1913).
Helgasonův inverzní vzorec
Další inverzní vzorec je kvůli Helgason (1999) Stejně jako u radonové transformace se inverzní vzorec spoléhá na duální transformaci F* definován
Toto je průměrná hodnota kruhové funkce ƒ přes kruhy obloukové vzdálenosti p od bodu X. Inverzní transformace je dána vztahem
Zobecnění
Klasická formulace je neměnná pod rotační skupina SO (3). Je také možné formulovat Funk transformaci způsobem, který ji činí invariantní pod speciální lineární skupina SL (3,R), kvůli (Bailey a kol. 2003 ). Předpokládejme to ƒ je homogenní funkce stupně -2 zapnuto R3. Pak pro lineárně nezávislé vektory X a y, definujte funkci φ pomocí linka integrální
převzato jednoduchou uzavřenou křivkou, která jednou obklopuje počátek. The diferenciální forma
je Zavřeno, což vyplývá z homogenity ƒ. Podle a změna proměnných, φ vyhovuje
a tak dává homogenní funkci stupně -1 na vnější náměstí z R3,
Funkce Fƒ : Λ2R3 → R souhlasí s Funk transformací, když ƒ je stupeň −2 homogenního rozšíření funkce na kouli a projektivní prostor spojený s Λ2R3 je identifikován s prostorem všech kruhů v kouli. Případně Λ2R3 lze identifikovat pomocí R3 v SL (3,R) -variantním způsobem, a tak se Funk transformuje F mapuje plynulé rovnoměrné funkce stupně -2 zapnuto R3{0} k vyhlazení rovnoměrných homogenních funkcí stupně -1 zapnuto R3{0}.
Aplikace
Transformace Funk-Radon se používá v metodě Q-Ball pro Difúzní MRI představen v (Tuch 2004 ). Souvisí to také s průsečíky v konvexní geometrii. Nechat být hvězdné tělo s radiální funkcí .Pak křižovatkové tělo IK z K. má radiální funkci , viz (Gardner 2006, str. 305).
Viz také
Reference
- Bailey, T. N .; Eastwood, Michael G .; Gover, A. Rod; Mason, L. J. (2003), „Komplexní analýza a funkční transformace“ (PDF), Journal of the Korean Mathematical Society, 40 (4): 577–593, doi:10.4134 / JKMS.2003.40.4.577, PAN 1995065
- Dann, Susanna (2010), O transformaci Minkowski-Funk, arXiv:1003.5565, Bibcode:2010arXiv1003.5565D
- Funk, Paul (1913), „Über Flächen mit lauter geschlossenen geodätischen Linien“, Mathematische Annalen, 74 (2): 278–300, doi:10.1007 / BF01456044.
- Funk, Paul (1915), „Über eine geometrische Anwendung der Abelschen Integralgleichung“, Mathematische Annalen, 77 (1): 129–135, doi:10.1007 / BF01456824, PAN 1511851.
- Guillemin, Victor (1976), „Radonová transformace na povrchu Zolla“, Pokroky v matematice, 22 (1): 85–119, doi:10.1016/0001-8708(76)90139-0, PAN 0426063.
- Helgason, Sigurdur (1999), Radonová transformacePokrok v matematice, 5 (2. vyd.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4109-2, PAN 1723736.
- Minkowski, Hermann (1904), "O tělech konstantní šířky", Matematika Sbornik, 25: 505–508
- Tuch, David S. (2004). „Q-Ball imaging“. Magn. Reson. Med. 52 (6): 1358–1372. doi:10.1002 / mrm.20279. PMID 15562495.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Gardner, Richard J. (2006), Geometrická tomografie, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86680-4