Sférický průměr - Spherical mean - Wikipedia

Sférický průměr funkce ${ displaystyle u}$ (zobrazeno červeně) je průměr hodnot ${ displaystyle u (y)}$ (nahoře, modře) s ${ displaystyle y}$ na „kouli“ daného poloměru kolem daného bodu (dole, modře).

v matematika, sférický průměr a funkce kolem bodu je průměr všech hodnot této funkce na kouli daného poloměru se středem v daném bodě.

Definice

Zvažte otevřená sada U v Euklidovský prostor Rⁿ a a spojitá funkce u definováno dne U s nemovitý nebo komplex hodnoty. Nechat X být bodem v U a r > 0 být takový, že Zavřeno míč B(X, r) středu X a poloměr r je obsažen v U. The sférický průměr přes kouli o poloměru r se středem na X je definován jako

${ displaystyle { frac {1} { omega _ {n-1} (r)}} int limity _ { částečné B (x, r)} ! u (y) , mathrm {d } S (y)}$

kde ∂B(X, r) je (n-1) koule tvořící hranice z B(X, r), dS označuje integraci s ohledem na sférické opatření a ω_n−1(r) je „povrchová plocha“ tohoto (n-1) koule.

Ekvivalentně je sférický průměr dán vztahem

${ displaystyle { frac {1} { omega _ {n-1}}} int limity _ { | y | = 1} ! u (x + ry) , mathrm {d} S (y)}$

kde ω_n−1 je oblast (n−1) - koule o poloměru 1.

Sférický průměr je často označován jako

${ displaystyle int limity _ { částečné B (x, r)} ! ! ! ! ! ! ! ! ! - , u (y) , mathrm {d} S (y).}$

Sférický průměr je také definován pro Riemannovy potrubí přirozeným způsobem.

Vlastnosti a použití

• Z kontinuity ${ displaystyle u}$ z toho vyplývá, že funkce

${ Displaystyle r to int limity _ { částečné B (x, r)} ! ! ! ! ! ! ! ! ! - , u (y) , mathrm {d} S (y)}$

je kontinuální a to jeho omezit tak jako ${ displaystyle r to 0}$ je ${ displaystyle u (x).}$

• K řešení Cauchyova problému pro vlnová rovnice ${ displaystyle částečné _ {t} ^ {2} u = c ^ {2} Delta u}$ v dimenzi lichého prostoru. Výsledek, známý jako Kirchoffův vzorec, je odvozen pomocí sférických prostředků ke snížení vlnové rovnice v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ (pro liché ${ displaystyle n}$) na vlnovou rovnici v ${ displaystyle mathbb {R}}$a poté pomocí d'Alembertův vzorec. Samotný výraz je uveden v článek vlnové rovnice.

• Li ${ displaystyle U}$ je otevřený soubor ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ a ${ displaystyle u}$ je C² funkce definovaná na ${ displaystyle U}$, pak ${ displaystyle u}$ je harmonický jen a jen pro všechny ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle U}$ a všechno ${ displaystyle r> 0}$ tak, že uzavřená koule ${ displaystyle B (x, r)}$ je obsažen v ${ displaystyle U}$ jeden má

${ displaystyle u (x) = int limity _ { částečné B (x, r)} ! ! ! ! ! ! ! ! ! - , u (y) , mathrm {d} S (y).}$

Tento výsledek lze použít k prokázání maximální princip pro harmonické funkce.

Reference

• Evans, Lawrence C. (1998). Parciální diferenciální rovnice. Americká matematická společnost. ISBN  978-0-8218-0772-9.

• Sabelfeld, K. K .; Shalimova, I. A. (1997). Sférické prostředky pro PDE. VSP. ISBN  978-90-6764-211-8.
• Sunada, Toshikazu (1981). "Sférické prostředky a geodetické řetězce v Riemannově potrubí". Trans. Dopoledne. Matematika. Soc. 267: 483–501.

externí odkazy

• Sférický průměr na PlanetMath.