Fraunhoferova difrakční rovnice - Fraunhofer diffraction equation

v optika, Fraunhoferova difrakční rovnice se používá k modelování difrakce vln při pohledu na difrakční obrazec na velkou vzdálenost od difrakčního objektu a také při pohledu na ohnisková rovina zobrazování objektiv.^[1][2]

Rovnice byla pojmenována na počest Joseph von Fraunhofer ačkoli se ve skutečnosti nepodílel na vývoji teorie.^[3]

Tento článek poskytuje rovnici v různých matematických formách a poskytuje podrobné výpočty Fraunhoferova difrakčního vzoru pro několik různých forem difrakčních otvorů, zejména pro normálně dopadající monochromatické rovinné vlny. Lze nalézt kvalitativní diskusi o Fraunhoferově difrakci někde jinde.

Definice

Když je paprsek světla částečně blokován překážkou, část světla je rozptýlena kolem objektu a na okraji stínu jsou často vidět světlé a tmavé pruhy - tento efekt je znám jako difrakce.^[4] The Kirchhoffova difrakční rovnice poskytuje výraz odvozený z vlnová rovnice, který popisuje vlnu rozptýlenou clonou; analytická řešení této rovnice nejsou pro většinu konfigurací k dispozici.^[5]

Fraunhoferova difrakční rovnice je aproximace, kterou lze použít, když je pozorována difrakční vlna v vzdálené pole, a také při použití čočky k zaostření rozptýleného světla; v mnoha případech je k dispozici Fraunhoferova rovnice jednoduché analytické řešení - některé z nich jsou odvozeny níže.

V kartézských souřadnicích

Difrakční geometrie, zobrazující rovinu clony (nebo difrakční objekt) a rovinu obrazu, se souřadným systémem.

Pokud je clona v x'y ' rovina s počátkem v otvoru a je osvětlena a jednobarevný vlna, z vlnová délka λ, vlnové číslo k s komplexní amplituda A(X ',y ')a difrakční vlna je pozorována v x, y, z letadlo kde l,m jsou směrové kosiny bodu x, y s ohledem na počátek, komplexní amplitudu U(X,y) difrakční vlny je dána Fraunhoferovou difrakční rovnicí jako:^[6]

${ displaystyle U (x, y, z) propto iint _ { text {Clona}} , A (x ', y') e ^ {- i { frac {2 pi} { lambda} } (lx '+ moje')} , dx ', dy'}$

${ displaystyle U (x, y, z) propto iint _ { text {Clona}} , A (x ', y') e ^ {- ik (lx '+ můj')} dx ' , dy '}$

Z této rovnice je patrné, že forma difrakčního obrazce závisí pouze na směru pozorování, takže difrakční obrazec se mění ve velikosti, ale ne ve formě se změnou pozorovací vzdálenosti.

Fraunhoferovu difrakční rovnici lze vyjádřit v různých matematicky ekvivalentních formách. Například:^[7]

${ displaystyle U (x, y, z) propto iint _ { text {Clona}} , A (x ', y') e ^ {- i { frac {2 pi} { lambda z }} (x'x + y'y)} , dx ', dy'}$

${ displaystyle U (x, y, z) propto iint _ { text {Clona}} , A (x ', y') e ^ {- i { frac {k (x'x + y ' y)} {z}}} , dx ', dy'}$

Je vidět, že integrál ve výše uvedených rovnicích je Fourierova transformace clonové funkce vyhodnocované při frekvencích^[8]

${ displaystyle f_ {x} = x / ( lambda z) = l / lambda}$

${ displaystyle f_ {y} = y / ( lambda z) = m / lambda}$

Můžeme tedy rovnici napsat také pomocí a Fourierova transformace tak jako:

${ displaystyle U (x, y, z) propto { hat {f}} [A (x ', y')] _ {f_ {x} f_ {y}}}$

kde A je Fourierova transformace A. Formulace Fourierovy transformace může být velmi užitečná při řešení difrakčních problémů.

Další forma je:

${ displaystyle U ( mathbf {r}) propto { int _ { text {Clona}} A ( mathbf {r '}) e ^ {- i mathbf {k} cdot ( mathbf {r '} - mathbf {r})} dr'} = { int _ { text {Aperture}} a_ {0} ( mathbf {r '}) e ^ {i mathbf {(k_ {0} - k)} cdot ( mathbf {r '} - mathbf {r})} dr'}}$

kde r a r ' představují pozorovací bod, respektive bod v cloně, k₀ a k představují vlnové vektory - poruchy ve cloně a difrakčních vln a - A₀(r ' ) představuje velikost rušení v otvoru.

V polárních souřadnicích

Pokud má difrakční clona kruhovou symetrii, je užitečné ji použít polární spíše než Kartézský souřadnice.^[9]

Bod v otvoru má souřadnice ρ,ω dávat:

${ displaystyle ~ x '= rho' cos omega '; y' = rho ' sin omega'}$

a

${ displaystyle ~ x = rho cos omega; y = rho sin omega}$

Složitá amplituda v ρ ' je dána A (ρ)a oblast dX dy převádí na ρ′ Dρ′ Dω′ dávat

${ displaystyle { begin {aligned} U ( rho, omega, z) & propto int _ {0} ^ { infty} int _ {0} ^ {2 pi} A ( rho ' ) e ^ {- i { frac {2 pi} { lambda z}} ( rho rho ' cos omega cos omega' + rho rho ' sin omega sin omega' )} rho 'd rho' d omega ' & propto int _ {0} ^ {2 pi} int _ {0} ^ { infty} A ( rho') e ^ { -i { frac {2 pi} { lambda z}} rho rho ' cos ( omega - omega')} , d omega ' rho' , d rho ' end { zarovnaný}}}$

Pomocí integrálního vyjádření Besselova funkce:^[10]

${ displaystyle J_ {0} (p) = { frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ {2 pi} e ^ {ip cos alpha} , d alpha}$

my máme

${ displaystyle { begin {seřazeno} U ( rho, z) & propto 2 pi int _ {0} ^ { infty} A ( rho ') J_ {0} left ({ frac { 2 pi rho ' rho} { lambda z}} vpravo) rho' , d rho ' end {zarovnáno}}}$

kde integrace skončila ω dává 2π protože rovnice je kruhově symetrická, tj. není na ní závislost ω.

V tomto případě máme U(ρ,z) rovná se Fourier-Besselova nebo Hankelova transformace clonové funkce, A(ρ)

Příklad

Zde jsou uvedeny příklady Fraunhoferovy difrakce s normálně dopadající monochromatickou rovinnou vlnou.

V každém případě je difrakční objekt umístěn v z = 0 rovina a komplexní amplituda incidentu rovinná vlna je dána

${ displaystyle ~ A (x ', y') = ae ^ {i2 pi ct / lambda} = ae ^ {ikct}}$

kde

A je velikost rušení vln,

λ je vlnová délka,

C je rychlost světla,

t je čas

k = 2 π / λ je číslo vlny

a fáze je nula v čase t = 0.

Faktor závislý na čase je během výpočtů vynechán, protože zůstává konstantní, a je zprůměrován, když intenzita se vypočítá. Intenzita na r je úměrná jeho amplitudě komplexní konjugát

${ displaystyle I ( mathbf {r}) propto U ( mathbf {r}) { overline {U}} ( mathbf {r})}$

Tyto derivace lze nalézt ve většině standardních knih o optice v mírně odlišných formách s použitím různých notací. Je uveden odkaz na každý ze zde modelovaných systémů. Použité Fourierovy transformace lze nalézt tady.

Štěrbina nekonečné hloubky

Graf a obraz difrakce s jednou štěrbinou

Otvor je štěrbinou šířky Ž který je umístěn podél y-osa,

Řešení integrací

Předpokládejme, že střed štěrbiny je umístěn na X = 0, první rovnice výše, pro všechny hodnoty y, je:^[11]

${ displaystyle { begin {aligned} U (x, z) & = a int _ {- W / 2} ^ {W / 2} e ^ {{- 2 pi ixx '} / ( lambda z) } , dx ' [4pt] & = - { frac {a lambda z} {2 pi ix}} left | e ^ {{- 2 pi ixx'} / ( lambda z)} right | _ {- W / 2} ^ {W / 2} end {aligned}}}$

Použitím Eulerův vzorec, lze to zjednodušit na:

${ displaystyle { begin {aligned} U (x, z) & = aW { frac { sin left [{ frac { pi Wx} { lambda z}} right]} { frac { pi Wx} { lambda z}}} & = aW operatorname {sinc} { frac { pi Wx} { lambda z}} end {zarovnáno}}}$

kde upřímně (p) = hřích (p)/p. The upřímně funkce je někdy definována jako hřích(πp)/πp a to může při pohledu na odvozeniny v různých textech způsobit zmatek.

To lze také zapsat jako:

${ displaystyle U ( theta) = aW operatorname {sinc} left [{ frac { pi W sin theta} { lambda}} right]}$

kde θ je úhel mezi z-osa a čára spojující x s počátkem a hřích θ ≈ X/z když θ << 1.

Řešení Fourierovy transformace

Štěrbinu lze znázornit pomocí přímý fungovat jako:^[12]

${ displaystyle ~ operatorname {rect} left ({ frac {x} {W}} right)}$

The Fourierova transformace této funkce je dáno

${ displaystyle { hat {f}} ( operatorname {rect} (sekera)) = displaystyle { frac {1} {| a |}} cdot operatorname {sinc} left ({ frac { xi} {a}} vpravo)}$

kde ξ je Fourierova transformační frekvence a upřímně funkce je zde definována jako sin (πX)/(πX)

Frekvence Fourierovy transformace zde je X/λzdávat

${ displaystyle { begin {zarovnáno} U (x, z) & propto { frac { sin { frac { pi Wx} { lambda z}}} { frac { pi Wx} { lambda z}}} & propto W operatorname {sinc} { frac { pi Wx} { lambda z}} & propto W operatorname {sinc} { frac { pi W sin theta} { lambda}} & propto W operatorname {sinc} (kW sin theta / 2) end {zarovnáno}}}$

Všimněte si, že upřímně funkce je zde definována jako sin (X)/(X) k zachování konzistence.

Intenzita

The intenzita je úměrná druhé mocnině amplitudy, a proto je^[13]

${ displaystyle { begin {aligned} I ( theta) & propto operatorname {sinc} ^ {2} left [{ frac { pi W sin theta} { lambda}} right] & propto operatorname {sinc} ^ {2} left [{ frac {kW sin theta} {2}} right] end {zarovnáno}}}$

Otvory

Obdélníková clona

Počítačová simulace Fraunhoferovy difrakce pomocí obdélníkové clony

Když štěrbinou šířky Ž a výška H je normálně osvětlen a jednobarevný rovinná vlna vlnové délky λ lze komplexní amplitudu nalézt pomocí podobných analýz jako v předchozí části, aplikovaných na dvě nezávislé dimenze jako:^[14][15]

${ displaystyle { begin {aligned} U ( theta, phi) & propto operatorname {sinc} left ({ frac { pi W sin theta} { lambda}} right) operatorname {sinc} left ({ frac { pi H sin phi} { lambda}} right) & propto operatorname {sinc} left ({ frac {kW sin theta} { 2}} right) operatorname {sinc} left ({ frac {kH sin phi} {2}} right) end {aligned}}}$

Intenzita je dána vztahem

${ displaystyle { begin {zarovnáno} I ( theta, phi) & propto operatorname {sinc} ^ {2} left ({ frac { pi W sin theta} { lambda}} vpravo) operatorname {sinc} ^ {2} vlevo ({ frac { pi H sin phi} { lambda}} vpravo) & propto operatorname {sinc} ^ {2} vlevo ({ frac {kW sin theta} {2}} vpravo) operatorname {sinc} ^ {2} left ({ frac {kH sin phi} {2}} right) end { zarovnaný}}}$

kde θ a φ jsou úhly mezi X a z osy a y a z osy.

V praxi jsou všechny štěrbiny konečné délky, a proto způsobí difrakci v obou směrech. Pokud je délka štěrbiny mnohem větší než její šířka, pak bude vzdálenost vodorovných difrakčních proužků mnohem menší než vzdálenost svislých proužků. Pokud osvětlovací paprsek nesvítí po celé délce štěrbiny, je vzdálenost vodorovných proužků určena rozměry laserového paprsku. Bližší prozkoumání níže uvedeného dvouštěrbinového vzoru ukazuje, že nad a pod hlavním bodem jsou velmi jemné horizontální difrakční proužky, stejně jako zřetelnější vertikální proužky.

Kruhová clona

Vzdušný difrakční obrazec

Otvor má průměr Ž. Komplexní amplituda v rovině pozorování je dána vztahem

${ displaystyle { begin {aligned} U ( rho, z) & = 2 pi a int _ {0} ^ {W / 2} J_ {0} left ({ frac {2 pi rho ' rho} { lambda z}} vpravo) rho' , d rho ' end {zarovnáno}}}$

Řešení integrací

Použití relace opakování^[16]

${ displaystyle { frac {d} {dx}} vlevo [x ^ {n + 1} J_ {n + 1} (x) right] = x ^ {n + 1} J_ {n} (x) }$

dát

${ displaystyle int _ {0} ^ {x} x'J_ {0} (x ') , dx' = xJ_ {1} (x)}$

Pokud nahradíme

${ displaystyle x '= { frac {2 pi rho} { lambda z}} rho'}$

a limity integrace se stanou 0 a πρW / λz, dostaneme

${ displaystyle U ( rho, z) propto { frac {J_ {1} ( pi W rho / lambda z)} { pi W rho / lambda z}}}$

Uvedení ρ /z = hříchθ, dostaneme

${ displaystyle U ( theta) propto { frac {J_ {1} ( pi W sin theta / lambda)} { pi W sin theta / lambda}}}$

Řešení pomocí Fourier-Besselovy transformace

Funkci clony můžeme zapsat jako a kroková funkce

${ displaystyle ~ Pi (W / 2)}$

Fourierova-Besselova transformace pro tuto funkci je dána vztahem

${ displaystyle ~ F [ Pi (r / a)] = { frac {2 pi J_ {1} (qa)} {q}}}$

kde q / 2π je transformační frekvence, která se rovná ρ / λz a A = Ž/2.

Tak dostaneme

${ displaystyle { begin {zarovnáno} U ( rho) & = { frac {2 pi J_ {1} ( pi W rho / lambda z)} {2 pi W rho / lambda z }} & = { frac {2 pi J_ {1} ( pi W sin theta / lambda)} {W sin theta / lambda}} & = { frac {2 pi J_ {1} (kW sin theta / 2)} {kW sin theta / 2}} end {zarovnáno}}}$

Intenzita

Intenzita je dána:^[17]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} I ( theta) & propto left [{ frac {J_ {1} ( pi W sin theta / lambda)} { pi W sin theta / lambda)}} right] ^ {2} & propto left [{ frac {J_ {1} (kW sin theta / 2)} {(kW sin theta / 2)}} right] ^ {2} end {aligned}}}$

Forma difrakčního obrazce

Toto je známé jako Vzdušný difrakční obrazec

Difrakční vzor je symetrický kolem normální osy.

Clona s Gaussovým profilem

Intenzita rovinné vlny se rozptylovala otvorem s Gaussovým profilem

Clona s Gaussovým profilem, například fotografický snímek, jehož přenos má Gaussovu variaci, takže amplituda v bodě otvoru umístěném ve vzdálenosti r ' od původu je dán

${ displaystyle A ( rho ') = exp { left (- left [{ frac { rho'} { sigma}} right] ^ {2} right)}}$

dávat

${ displaystyle U ( rho, z) = 2 pi a int _ {0} ^ { infty} exp { left (- left [{ frac { rho '} { sigma}} vpravo] ^ {2} vpravo)} J_ {0} (2 pi rho ' rho / lambda z) rho' , d rho '}$

Řešení pomocí Fourier-Besselovy transformace

The Fourier – Bessel nebo Hankel transformace je definována jako

${ displaystyle F _ { nu} (k) = int _ {0} ^ { infty} f (r) J _ { nu} (kr) , r , dr}$

kde J_ν je Besselova funkce prvního druhu řádu ν s ν ≥ −1/2.

The Hankelova transformace je

${ displaystyle F _ { nu} [e ^ {(ar) ^ {2} / 2}] = { frac {e ^ {- k ^ {2} / 2a ^ {2}}} {a ^ {2 }}}}$

dávat

${ displaystyle { begin {aligned} U ( rho, z) & propto e ^ {- [{ frac { pi rho sigma} { lambda z}}]] {{2}} end { zarovnaný}}}$

a

${ displaystyle U ( theta) propto e ^ {- [{ frac { pi sigma sin theta} { lambda}}] ^ {2}}}$

Intenzita

Intenzita je dána:^[18]

${ displaystyle I ( theta) propto e ^ {- [{ frac {2 pi sigma sin theta} { lambda}}]}}$

Tato funkce je vynesena vpravo a je vidět, že na rozdíl od difrakčních obrazců vytvořených obdélníkovými nebo kruhovými otvory nemá žádné sekundární prstence. To lze použít v procesu zvaném apodizace - clona je zakryta filtrem, jehož propustnost se mění jako Gaussova funkce, což poskytuje difrakční obrazec bez sekundárních prstenců .:^[19][20]

Štěrbin

Dvě štěrbiny

Vzor, který nastává, když se světlo difraktuje ze dvou štěrbin se překrývá, je ve fyzice značně zajímavý, zaprvé pro svůj význam při vytváření vlnové teorie světla skrz Youngův interferenční experiment, a za druhé kvůli své roli myšlenkového experimentu v experiment s dvojitou štěrbinou v kvantové mechanice.

Úzké štěrbiny

Geometrie dvou štěrbinové difrakce

Dvě štěrbinové interference pomocí červeného laseru

Předpokládejme, že máme dvě dlouhé štěrbiny osvětlené rovinnou vlnou vlnové délky λ. Štěrbiny jsou v z = 0 rovina, rovnoběžná s y osa, oddělená vzdáleností S a jsou symetrické ohledně původu. Šířka štěrbin je ve srovnání s vlnovou délkou malá.

Řešení integrací

Dopadající světlo je štěrbinami rozptylováno do stejnoměrných sférických vln. Vlny pohybující se daným směrem θ ze dvou štěrbin mají různé fáze. Fáze vln z horní a dolní štěrbiny vzhledem k počátku je dána vztahem (2π / λ) (S / 2) sin θ a - (2π / λ) (S / 2) sin θ

Komplexní amplituda sečtených vln je dána vztahem:^[21]

${ displaystyle { begin {zarovnané} U ( theta) & = ae ^ { frac {i pi S sin theta} { lambda}} + ae ^ {- { frac {i pi S sin theta} { lambda}}} & = a ( cos { frac { pi S sin theta} { lambda}} + i sin { frac { pi S sin theta } { lambda}}) + a ( cos { frac { pi S sin theta} { lambda}} - i sin { frac { pi S sin theta} { lambda}} ) & = 2a cos { frac { pi S sin theta} { lambda}} end {zarovnáno}}}$

Řešení pomocí Fourierovy transformace

Clonu lze znázornit funkcí:^[22]

${ displaystyle ~ a [ delta {(x-S / 2)} + delta {(x + S / 2)}]}$

kde δ je delta funkce.

My mít

${ displaystyle { hat {f}} [ delta (x)] = 1}$

a

${ displaystyle { hat {f}} [g (x-a)] = e ^ {- 2 pi iaf_ {x}} { hat {f}} [g (x)]}$

dávat

${ displaystyle { begin {aligned} U (x, z) & = { hat {f}} [ delta {(xS / 2)} + delta {(x + S / 2)}]] & = e ^ {- i pi Sx / 2 lambda} + e ^ {i pi Sx / 2 lambda} & = 2 cos { frac { pi Sx} {2 lambda}} end {zarovnaný}}}$

${ displaystyle U ( theta) = 2 cos { frac { pi S sin theta} {2 lambda}}}$

Toto je stejný výraz jako výše odvozený integrací.

Intenzita

To dává intenzitu kombinovaných vln jako:^[23]

${ displaystyle { begin {aligned} I ( theta) & propto cos ^ {2} left [{ frac { pi S sin theta} { lambda}} right] & propto cos ^ {2} { left [{ frac {kS sin theta} {2}} right]} end {aligned}}}$

Štěrbiny konečné šířky

Jednoduchá a dvojitá štěrbinová difrakce - štěrbinová štěrbina je 0,7 mm a šířka štěrbiny je 0,1 mm

Šířka štěrbin, Ž je konečný.

Řešení integrací

Difrakční vzor je dán vztahem:^[24]

${ displaystyle { begin {aligned} U ( theta) & = a left [e ^ { frac {i pi S sin theta} { lambda}} + e ^ {- { frac {i pi S sin theta} { lambda}}} right] int _ {- W / 2} ^ {W / 2} e ^ {{- 2 pi ix ' sin theta} / ( lambda)} , dx ' & = 2a cos { frac { pi S sin theta} { lambda}} W operatorname {sinc} { frac { pi W sin theta} { lambda}} end {zarovnáno}}}$

Řešení pomocí Fourierovy transformace

Funkce clony je dána vztahem:^[25]

${ displaystyle a left [ operatorname {rect} left ({ frac {xS / 2} {W}} right) + operatorname {rect} left ({ frac {x + S / 2} { W}} vpravo) vpravo]}$

The Fourierova transformace této funkce je dáno

${ displaystyle { hat {f}} ( operatorname {rect} (sekera)) = displaystyle { frac {1} {| a |}} cdot operatorname {sinc} left ({ frac { xi} {a}} vpravo)}$

kde ξ je Fourierova transformační frekvence a upřímně funkce je zde definována jako sin (πx)/(πx)

a

${ displaystyle { hat {f}} [g (x-a)] = e ^ {- 2 pi iaf_ {x}} { hat {f}} [g (x)]}$

My máme

${ displaystyle { begin {aligned} U (x, z) & = { hat {f}} left [a left [ operatorname {rect} left ({ frac {xS / 2} {W} } right) + operatorname {rect} left ({ frac {x + S / 2} {W}} right) right] right] & = 2W left [e ^ {- i pi Sx / lambda z} + e ^ {i pi Sx / lambda z} doprava] { frac { sin { frac { pi Wx} { lambda z}}} { frac { pi Wx} { lambda z}}} & = 2a cos { frac { pi Sx} { lambda z}} W operatorname {sinc} { frac { pi Wx} { lambda z}} end {zarovnáno}}}$

nebo

${ displaystyle U ( theta) = 2a cos { frac { pi S sin theta} { lambda}} W operatorname {sinc} { frac { pi W sin theta} { lambda }}}$

Jedná se o stejný výraz, jaký byl odvozen integrací.

Intenzita

Intenzita je dána:^[26]

${ displaystyle { begin {aligned} I ( theta) & propto cos ^ {2} left [{ frac { pi S sin theta} { lambda}} right] operatorname {sinc } ^ {2} left [{ frac { pi W sin theta} { lambda}} right] & propto cos ^ {2} left [{ frac {kS sin theta} {2}} vpravo] operatorname {sinc} ^ {2} vlevo [{ frac {kW sin theta} {2}} vpravo] end {zarovnáno}}}$

Je vidět, že forma intenzitního vzoru je produktem individuálního štěrbinového difrakčního vzoru a interferenčního vzoru, který by se získal se štěrbinami zanedbatelné šířky. To je znázorněno na obrázku vpravo, který ukazuje difrakci jedné štěrbiny laserovým paprskem, a také difrakční / interferenční obrazec daný dvěma identickými štěrbinami.

Rošty

Mřížka je v Born and Wolf definována jako „jakékoli uspořádání, které na dopadající vlnu ukládá periodickou změnu amplitudy nebo fáze nebo obojí“.^[27]

Úzká štěrbinová mřížka

Jednoduchá mřížka se skládá z obrazovky s N štěrbinami, jejichž šířka je výrazně menší než vlnová délka dopadajícího světla se štěrbinovou separací S.

Řešení integrací

Složitá amplituda rozptýlené vlny pod úhlem θ je dána:^[28]

${ displaystyle { begin {aligned} U ( theta) & = a sum _ {n = 1} ^ {N} e ^ { frac {-i2 pi nS sin theta} { lambda}} & = { frac {1-e ^ {- i2 pi NS sin theta / lambda}} {1-e ^ {- i2 pi S sin theta / lambda}}} konec {zarovnaný}}}$

protože toto je součet a geometrické řady.

Řešení pomocí Fourierovy transformace

Clona je dána

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ {N} delta (x-nS)}$

Fourierova transformace této funkce je:^[29]

${ displaystyle { begin {aligned} { hat {f}} left [ sum _ {n = 0} ^ {N} delta (x-nS) right] & = sum _ {n = 0 } ^ {N} e ^ {- if_ {x} nS} & = { frac {1-e ^ {- i2 pi NS sin theta / lambda}} {1-e ^ {- i2 pi S sin theta / lambda}}} end {zarovnáno}}}$

Intenzita

Difrakční vzor pro 50 úzkých štěrbinových mřížek

Detail hlavního maxima ve 20 a 50 difrakčních vzorech s úzkou štěrbinovou mřížkou

Intenzita je dána:^[30]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} I ( theta) & propto { frac {1- cos (2 pi NS sin theta / lambda)} {1- cos (2 pi S sin theta / lambda)}} & propto { frac { sin ^ {2} ( pi NS sin theta / lambda)} { sin ^ {2} ( pi S sin theta / lambda)}} end {zarovnáno}}}$

Tato funkce má řadu maxim a minim. Mezi hlavními maximy jsou pravidelně rozmístěny „hlavní maxima“ a řada mnohem menších maxim. Hlavní maxima nastanou, když

${ displaystyle pi S sin _ {n} theta / lambda = n pi, n = 0, pm 1, pm 2, ldots}$

a hlavní rozptýlené paprsky se proto vyskytují v úhlech:

${ displaystyle sin theta _ {n} = { frac {n lambda} {S}}, n = 0, pm 1 pm 2, ldots}$

To je mřížková rovnice pro normálně dopadající světlo.

Počet malých středních maxim se rovná počtu štěrbin, N - 1 a jejich velikost a tvar určuje také N.

Forma vzoru pro N= 50 je zobrazen na prvním obrázku.

Podrobná struktura roštů 20 a 50 štěrbin je znázorněna ve druhém schématu.

Štěrbinová mřížka s konečnou šířkou

Difrakční vzor od mřížky s štěrbinami konečné šířky

Rošt nyní má N štěrbiny šířky Ž a mezery S

Řešení využívající integraci

Amplituda je dána vztahem:^[31]

${ displaystyle { begin {aligned} U ( theta, phi) & propto a sum _ {n = 1} ^ {N} e ^ { frac {-i2 pi nS sin theta} { lambda}} int _ {- W / 2} ^ {W / 2} e ^ {{- 2 pi ixx '} / ( lambda z)} , dx' & propto a operatorname { sinc} left ({ frac { pi W sin theta} { lambda}} right) { frac {1-e ^ {- i2 pi NS sin theta / lambda}} {1 -e ^ {- i2 pi S sin theta / lambda}}} end {zarovnáno}}}$

Řešení pomocí Fourierovy transformace

Funkci clony lze zapsat jako:^[32]

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ {N} operatorname {rect} left [{ frac {x'-nS} {W}} right]}$

Za použití konvoluční věta, který říká, že pokud máme dvě funkce F(X) a G(X)a máme

${ Displaystyle h (x) = (f * g) (x) = int _ {- infty} ^ { infty} f (y) g (x-y) , dy,}$

kde ∗ označuje konvoluční operaci, pak máme také

${ displaystyle { hat {h}} ( xi) = { hat {f}} ( xi) cdot { hat {g}} ( xi).}$

funkci clony můžeme zapsat jako

${ displaystyle operatorname {rect} (x '/ W) * sum _ {n = 0} ^ {N} delta (x'-nS)}$

Amplituda je pak dána Fourierovou transformací tohoto výrazu jako:

${ displaystyle { begin {aligned} U (x, z) & = { hat {f}} [ operatorname {rect} (x '/ W)] { hat {f}} left [ sum _ {n = 0} ^ {N} delta (x'-nS) right] & = a operatorname {sinc} left ({ frac {W sin theta} { lambda}} right ) { frac {1-e ^ {- i2 pi NS sin theta / lambda}} {1-e ^ {- i2 pi S sin theta / lambda}}} end {zarovnáno} }}$

Intenzita

Intenzita je dána:^[33]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} I ( theta) & propto operatorname {sinc} ^ {2} left ({ frac {W sin theta} { lambda}} right) { frac { sin ^ {2} ( pi NS sin theta / lambda)} { sin ^ {2} ( pi S sin theta / lambda)}} end {zarovnáno}}}$

Diagram ukazuje difrakční vzor pro mřížku s 20 štěrbinami, kde šířka štěrbin je 1/5 oddělení štěrbin. Velikost hlavních difrakčních vrcholů je modulována difrakčním vzorem jednotlivých štěrbin.

Ostatní rošty

Metoda Fourierovy transformace výše může být použita k nalezení formy difrakce pro jakoukoli periodickou strukturu, kde je známá Fourierova transformace struktury. Dobrý muž^[34] používá tuto metodu k odvození výrazů pro difrakční obrazec získaný pomocí mřížek s sinusovou amplitudou a fázovou modulací. Jedná se o zvláště zajímavé pro holografie.

Rozšíření

Neobvyklé osvětlení

Je-li clona osvětlena monochromatickou rovinnou vlnou dopadající ve směru (l₀,m₀, n₀), první verzí Fraunhoferovy rovnice výše se stává:^[35]

${ displaystyle { begin {seřazeno} U (x, y, z) & propto iint _ { text {Clona}} , A (x ', y') e ^ {- i { frac {2 pi} { lambda}} [(l-l_ {0}) x '+ (m-m_ {0}) y']} , dx ', dy' & propto iint _ { text {Clona}} , A (x ', y') e ^ {- ik [(l-l_ {0}) x '+ (m-m_ {0}) y']} , dx ', dy ' end {zarovnáno}}}$

Rovnice použité k modelování každého z výše uvedených systémů se mění pouze změnami násobení konstant X a y, takže vzory rozptýleného světla budou mít podobu, až na to, že nyní budou soustředěny kolem směru dopadající rovinné vlny.

Mřížková rovnice se stává^[36]

${ displaystyle sin theta _ {n} = { frac {n lambda} {S}} + sin theta _ {0}, n = 0, pm 1, pm 2, ldots}$

Non-monochromatické osvětlení

Ve všech výše uvedených příkladech Fraunhoferovy difrakce účinkem zvýšení vlnové délky osvětlovacího světla je zmenšení velikosti difrakční struktury a naopak, když je vlnová délka snížena, velikost vzoru se zvětší. Pokud světlo není monochromatické, tj. Sestává z řady různých vlnových délek, každá vlnová délka je ohýbána do vzoru mírně odlišné velikosti od svých sousedů. Pokud je šíření vlnových délek výrazně menší než průměrná vlnová délka, budou se jednotlivé vzory lišit co do velikosti, takže základní difrakce se bude stále objevovat s mírně sníženým kontrastem. Jak se šíření vlnových délek zvyšuje, snižuje se počet „třásní“, které lze pozorovat.

Viz také

• Kirchhoffův difrakční vzorec
• Fresnelova difrakce
• Huygensův princip
• Vzdušný disk
• Fourierova optika

Reference

Referenční zdroje

• Abramowitz Milton a Stegun Irene A, 1964, Dover Publications Inc, New York.
• Born M & Vlk E, Principy optiky, 1999, 7. vydání, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-64222-4
• Goodman Joseph, 2005, Introduction to Fourier Optics, Roberts & Co. ISBN  0-9747077-2-4 nebo online tady
• Heavens OS a Ditchburn W, 1991, Insight into Optics, Longman and Sons, Chichester ISBN  978-0-471-92769-3
• Hecht Eugene, Optics, 2002, Addison Wesley, ISBN  0-321-18878-0
• Jenkins FA & White HE, 1957, Fundamentals of Optics, 3. vydání, McGraw Hill, New York
• Lipson A, Lipson SG, Lipson H, 2011, Optická fyzika, 4. vydání, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-49345-1
• Longhurst RS, 1967, Geometrická a fyzikální optika, 2. vydání, Longmans, Londýn
• Whittaker a Watson, 1962, Modern Analysis, Cambridge University Press.