Fraunhoferova difrakce - Fraunhofer diffraction

	Fraunhoferova difrakce nastane, když:
	- velikost otvoru nebo štěrbiny, - vlnová délka, - vzdálenost od otvoru

v optika, Fraunhoferova difrakce rovnice se používá k modelování difrakce vln při pohledu na difrakční obrazec na velkou vzdálenost od difrakčního objektu (v oblasti vzdáleného pole) a také při pohledu na ohnisková rovina zobrazování objektiv.^[1]^[2] Naproti tomu difrakční obrazec vytvořený poblíž objektu (v blízko pole region) je dán Fresnelova difrakce rovnice.

Rovnice byla pojmenována na počest Joseph von Fraunhofer ačkoli se ve skutečnosti nepodílel na vývoji teorie.^[3]

Tento článek vysvětluje, kde lze použít Fraunhoferovu rovnici, a ukazuje formu Fraunhoferova difrakčního vzoru pro různé clony. Podrobné matematické zpracování Fraunhoferovy difrakce je uvedeno v Fraunhoferova difrakční rovnice.

Rovnice

Když paprsek světlo je částečně blokována překážkou, část světla je rozptýlena kolem objektu, na okraji stínu jsou často vidět světlé a tmavé pruhy - tento efekt je znám jako difrakce.^[4] Tyto efekty lze modelovat pomocí Princip Huygens – Fresnel. Huygens předpokládal, že každý bod na primárním vlnoploše funguje jako zdroj sférických sekundárních vlnek a součet těchto sekundárních vlnek určuje formu pokračující vlny v jakémkoli dalším okamžiku. Fresnel vyvinuli rovnici využívající Huygensovy vlnky spolu s principem superpozice vln, která tyto difrakční efekty docela dobře modeluje.

Vypočítat posunutí (amplitudu) dané součtem sekundárních vlnek, z nichž každý má svou vlastní amplitudu a fázi, není přímá záležitost, protože to zahrnuje přidání mnoha vln různé fáze a amplitudy. Když se sečtou dvě vlny, celkový posun závisí na obou amplituda a fáze jednotlivých vln: dvě stejné vlny amplituda které jsou ve fázi, dávají posunutí, jehož amplituda je dvojnásobná než amplitudy jednotlivých vln, zatímco dvě vlny, které jsou v opačných fázích, dávají nulový posun. Obecně musí být vyřešen dvourozměrný integrál nad složitými proměnnými a v mnoha případech není k dispozici analytické řešení.^[5]

Fraunhoferova difrakční rovnice je zjednodušená verze Kirchhoffův difrakční vzorec a lze jej použít k modelování difrakčního světla, když jsou zdroj světla i pozorovací rovina (rovina pozorování) účinně v nekonečnu vzhledem k difrakční cloně.^[6] U dostatečně vzdáleného zdroje světla od clony je dopadající světlo do clony a rovinná vlna takže fáze světla v každém bodě clony je stejná. Fáze příspěvků jednotlivých vlnek v cloně se lineárně mění s polohou v cloně, což v mnoha případech činí výpočet součtu příspěvků relativně přímočarým.

Se vzdáleným zdrojem světla od clony lze použít Fraunhoferovu aproximaci k modelování difrakčního vzoru ve vzdálené rovině pozorování od clony (vzdálené pole ). Prakticky jej lze aplikovat na ohniskovou rovinu pozitivní čočky.

Vzdálené pole

Když je vzdálenost mezi otvorem a rovinou pozorování (na které je pozorován difrakční obrazec) dostatečně velká, aby se délky optické dráhy od okrajů otvoru k bodu pozorování lišily mnohem méně než vlnová délka světla, pak cesty šíření jednotlivých vlnek od každého bodu clony k bodu pozorování lze považovat za paralelní. Toto je často známé jako vzdálené pole a je definována jako umístěna ve vzdálenosti, která je významně větší než $Ž 2 / λ$ , kde $λ$ je vlnová délka a $Ž$ je největší rozměr v cloně. V tomto případě lze k modelování difrakce použít Fraunhoferovu rovnici.^[7]

Například pokud je kruhový otvor o průměru 0,5 mm osvětlen laserem s vlnovou délkou 0,6 μm, lze použít Fraunhoferovu difrakční rovnici, pokud je pozorovací vzdálenost větší než 1000 mm.

Ohnisková rovina kladné čočky jako rovina vzdáleného pole

Rovinná vlna zaostřená objektivem.

Ve vzdáleném poli jsou cesty šíření vln z každého bodu clony do bodu pozorování přibližně rovnoběžné a pozitivní čočka (zaostřovací čočka) zaostřuje rovnoběžné paprsky směrem k čočce do bodu na ohniskové rovině (poloha zaostřovacího bodu) na ohniskové rovině závisí na úhlu paralelních paprsků vzhledem k optické ose). Pokud je tedy za clonu umístěna pozitivní čočka s dostatečně dlouhou ohniskovou vzdáleností (aby rozdíly mezi orientacemi elektrického pole pro vlnky mohly být při zaostření ignorovány), pak čočka na svém ohnisku prakticky vytvoří Fraunhoferův difrakční obrazec clony rovina, když se paralelní paprsky setkávají v ohnisku.^[8]

Příklady Fraunhoferovy difrakce

V každém z těchto příkladů je otvor osvětlen monochromatickou rovinnou vlnou při normálním dopadu.

Difrakce štěrbinou nekonečné hloubky

Graf a obraz difrakce s jednou štěrbinou

Šířka štěrbiny je $Ž$ . Fraunhoferův difrakční vzor je zobrazen na obrázku společně s grafem intenzity vs. úhlu $θ$ .^[9] Vzor má maximální intenzitu při $θ = 0$ a řada vrcholů s klesající intenzitou. Většina rozptýleného světla spadá mezi první minima. Úhel, $α$ , podřízený těmito dvěma minimy je dán vztahem:^[10]

{ displaystyle alpha cca { frac {2 lambda} {W}}}

Čím menší je otvor, tím větší je úhel $α$ potlačené difrakčními pásmy. Velikost středového pásma na dálku $z$ darováno

{ displaystyle d_ {f} = { frac {2 lambda z} {W}}}

Například, když je štěrbina o šířce 0,5 mm osvětlena světlem o vlnové délce 0,6 μm a při pohledu na vzdálenost 1 000 mm, šířka středního pásu v difrakčním obrazci je 2,4 mm.

Třásně sahají do nekonečna v $y$ směr, protože štěrbina a osvětlení se také rozšiřují do nekonečna.

Li $W <λ$ , intenzita rozptýleného světla neklesne na nulu, a pokud $D << λ$ , je difrakční vlna válcová.

Semikvantitativní analýza difrakce s jednou štěrbinou

Geometrie jednorychlostní difrakce

Úhel, pod kterým se získá první minimum v rozptýleném světle, můžeme najít pomocí následujícího uvažování. Zvažte světlo ohnuté pod úhlem $θ$ kde je vzdálenost $CD$ se rovná vlnové délce osvětlovacího světla. Šířka štěrbiny je vzdálenost $AC$ . Složka vlnky vyzařovaná z bodu A, která se pohybuje v $θ$ směr je dovnitř antifáze s vlnou od bodu $B$ ve středu štěrbiny, takže čistý příspěvek v úhlu $θ$ z těchto dvou vln je nula. Totéž platí pro níže uvedené body $A$ a $B$ , a tak dále. Proto je amplituda celkové vlny pohybující se ve směru $θ$ je nula. My máme:

{ displaystyle theta _ { text {min}} přibližně { frac {CD} {AC}} = { frac { lambda} {W}}.}

Úhel podřízený prvními minimy na obou stranách středu je pak, jak je uvedeno výše:

{ displaystyle alpha = 2 theta _ { text {min}} = { frac {2 lambda} {W}}.}

Neexistuje žádný takový jednoduchý argument, který by nám umožnil najít maxima difrakčního obrazce.

Single-štěrbina difrakce elektrického pole pomocí Huygensova principu

Kontinuální soustředěný útok bodových zdrojů délky A.

Můžeme vyvinout výraz pro vzdálené pole spojité řady bodových zdrojů jednotné amplitudy a stejné fáze. Nechte pole délky A být rovnoběžný s osou y se středem v počátku, jak je znázorněno na obrázku vpravo. Pak diferenciál pole je:^[11]

${ displaystyle dE = { frac {A} {r_ {1}}} e ^ {j omega [t- (r_ {1} / c)]} dy = { frac {A} {r_ {1} }} e ^ {j ( omega t- beta r_ {1})} dy}$

kde ${ displaystyle beta = omega / c = 2 pi / lambda}$ . nicméně ${ displaystyle r_ {1} = r-y sin theta}$ a integraci z ${ displaystyle -a / 2}$ na ${ displaystyle a / 2}$ ,

${ displaystyle E = A ^ {'} int limity _ {- a / 2} ^ {a / 2} e ^ {j beta y sin theta} dy}$

kde ${ displaystyle A ^ {'} = { frac {Ae ^ {j ( omega t- beta r)}} {r_ {1}}}}$ .

Integraci pak získáme

${ displaystyle E = { frac {2A ^ {'}} { beta sin theta}} sin ({ frac { beta a} {2}} sin theta)}$

Pronájem ${ displaystyle psi ^ {'} = beta a sin theta = alpha _ {r} sin theta}$ kde délka pole v rad ${ displaystyle a_ {r} = beta a = 2 pi a / lambda}$ , pak,

${ displaystyle E = { frac { sin ( psi ^ {'} / 2)} { psi ^ {'} / 2}}}$ ^[11]

Difrakce obdélníkovým otvorem

Počítačová simulace Fraunhoferovy difrakce pomocí obdélníkové clony

Forma difrakčního vzoru daná obdélníkovou clonou je znázorněna na obrázku vpravo (nebo výše, ve formátu tabletu).^[12] Tam je centrální semi-obdélníkový vrchol, s řadou vodorovných a svislých proužků. Rozměry středového pásu souvisejí s rozměry štěrbiny ve stejném vztahu jako u jedné štěrbiny, takže větší rozměr v difrakčním obrazu odpovídá menšímu rozměru ve štěrbině. Rozteč třásní je také nepřímo úměrná rozměru štěrbiny.

Pokud osvětlovací paprsek nesvítí celou svislou délku štěrbiny, je vzdálenost svislých proužků určena rozměry osvětlovacího paprsku. Pečlivé prozkoumání níže popsaného difrakčního vzoru s dvojitou štěrbinou ukazuje, že nad a pod hlavním bodem jsou velmi jemné horizontální difrakční proužky, stejně jako zřetelnější vodorovné proužky.

Difrakce kruhovou clonou

Počítačová simulace vzdušného difrakčního obrazce

Difrakční obrazec daný kruhovou clonou je zobrazen na obrázku vpravo.^[13] Toto je známé jako Vzdušný difrakční obrazec. Je vidět, že většina světla je v centrálním disku. Úhel pod tímto diskem, známý jako disk Airy, je

{ displaystyle alpha cca { frac {1,22 lambda} {W}}}

kde $Ž$ je průměr otvoru.

Airy disk může být důležitým parametrem v omezení schopnosti zobrazovacího systému k řešení blízce umístěných objektů.

Difrakce otvorem s Gaussovým profilem

Intenzita rovinné vlny se rozptylovala otvorem s Gaussovým profilem

Difrakční obrazec získaný otvorem s a Gaussian profil, například fotografický snímek, jehož propustnost má Gaussovu variantu je také Gaussovou funkcí. Forma funkce je vynesena vpravo (nahoře pro tablet) a je vidět, že na rozdíl od difrakčních obrazců vytvářených obdélníkovými nebo kruhovými otvory nemá žádné sekundární prstence.^[14] Tuto techniku lze použít v procesu zvaném apodizace —Otvor je zakryt Gaussovým filtrem, který poskytuje difrakční obrazec bez sekundárních prstenců.

Výstupní profil laseru s jediným režimem může mít a Gaussian profil intenzity a difrakční rovnici lze použít k prokázání, že tento profil udržuje, jakkoli daleko se šíří ze zdroje.^[15]

Difrakce dvojitou štěrbinou

Dvojitě rozříznuté třásně se sodíkovým osvětlením

V experiment s dvojitou štěrbinou, jsou obě štěrbiny osvětleny jediným světelným paprskem. Pokud je šířka štěrbin dostatečně malá (menší než vlnová délka světla), štěrbiny rozptylují světlo do válcových vln. Tyto dvě válcové čelní strany jsou superponovány a amplituda, a tedy i intenzita, v jakémkoli bodě kombinovaných čelních stran závisí jak na velikosti, tak na fázi obou čelních stran.^[16] Tyto třásně jsou často známé jako Youngovy třásně.

Úhlová vzdálenost třásní je dána vztahem

{ displaystyle theta _ { text {f}} = lambda / d.}

Rozteč třásní na dálku $z$ ze štěrbin je dáno^[17]

{ displaystyle w _ { text {f}} = z theta _ {f} = z lambda / d,}

kde $d$ je oddělení štěrbin.

Třásně na obrázku byly získány za použití žlutého světla ze sodíkového světla (vlnová délka = 589 nm), s štěrbinami oddělenými 0,25 mm, a promítnuty přímo do obrazové roviny digitálního fotoaparátu.

Rušné proužky s dvojitou štěrbinou lze pozorovat rozřezáním dvou štěrbin na kousku karty, osvětlením pomocí laserového ukazovátka a pozorováním rozptýleného světla ve vzdálenosti 1 m. Pokud je štěrbinová separace 0,5 mm a vlnová délka laseru je 600 nm, pak by vzdálenost třásní při pohledu na vzdálenost 1 m byla 1,2 mm.

Semi-kvantitativní vysvětlení dvojitých štěrbin

Geometrie pro okraje vzdáleného pole

Rozdíl ve fázi mezi dvěma vlnami je určen rozdílem ve vzdálenosti ujeté dvěma vlnami.

Pokud je pozorovací vzdálenost velká ve srovnání s oddělením štěrbin ( vzdálené pole ), fázový rozdíl lze zjistit pomocí geometrie zobrazené na obrázku. Dráhový rozdíl mezi dvěma vlnami pohybujícími se pod úhlem $θ$ darováno

{ Displaystyle d sin theta přibližně d theta.}

Když jsou dvě vlny ve fázi, tj. Rozdíl dráhy se rovná celému počtu vlnových délek, sečtená amplituda, a proto je součtová intenzita maximální, a když jsou v antifázi, tj. Rozdíl dráhy se rovná polovině vlnová délka, jedna a půl vlnové délky atd., pak se obě vlny zruší a součtová intenzita je nulová. Tento efekt je znám jako rušení.

Maxima interferenčních proužků se vyskytují v úhlech

{ displaystyle d theta _ {n} = n lambda, quad n = 0,1,2, ldots,}

kde λ je vlnová délka světla. Úhlová vzdálenost třásní je dána vztahem

{ displaystyle theta _ { text {f}} přibližně lambda / d.}

Když je vzdálenost mezi štěrbinami a rovinou pohledu $z$ , rozteč třásní se rovná $z θ$ a je stejný jako výše:

{ displaystyle w = z lambda / d.}

Difrakce mřížkou

Difrakce laserového paprsku mřížkou

Mřížka je v Born and Wolf definována jako „jakékoli uspořádání, které na dopadající vlnu ukládá periodickou změnu amplitudy nebo fáze nebo obojí“.

Rošt, jehož prvky jsou odděleny $S$ difraktuje normálně dopadající paprsek světla na sadu paprsků v úhlech $θ n$ dána:^[18]

{ displaystyle ~ sin theta _ {n} = n lambda / S, n = 0, pm 1, pm 2 ......}

Toto je známé jako mřížková rovnice. Čím jemnější je rozteč mřížek, tím větší je úhlové oddělení rozptýlených paprsků.

Pokud světlo dopadá pod úhlem $θ 0$ , mřížková rovnice je:

{ displaystyle sin theta _ {n} = { frac {n lambda} {S}} + sin theta _ {0}, n = 0, pm 1, pm 2 ....}

Podrobná struktura opakujícího se vzoru určuje tvar jednotlivých rozptýlených paprsků a také jejich relativní intenzitu, zatímco vzdálenost mřížky vždy určuje úhly rozptýlených paprsků.

Obrázek vpravo ukazuje laserový paprsek ohnutý mřížkou do $n$ = 0 a ± 1 paprsků. Úhly paprsků prvního řádu jsou asi 20 °; pokud předpokládáme, že vlnová délka laserového paprsku je 600 nm, můžeme odvodit, že vzdálenost mřížky je asi 1,8 μm.

Semikvantitativní vysvětlení

Jednoduchá mřížka se skládá z řady štěrbin na obrazovce. Pokud se světlo pohybuje pod úhlem $θ$ z každé štěrbiny má rozdíl dráhy jedné vlnové délky vzhledem k sousední štěrbině, všechny tyto vlny se sčítají, takže maximální intenzita rozptýleného světla se získá, když:

{ Displaystyle W sin theta = n lambda, n = 0, pm 1, pm 2, .....}

Jedná se o stejný vztah, který je uveden výše.

Viz také

Reference

^ Born & Wolf, 1999, str. 427.
^ Jenkins & White, 1957, s. 288
^ http://scienceworld.wolfram.com/biography/Fraunhofer.html
^ Heavens and Ditchburn, 1996, str. 62
^ Born & Wolf, 1999, str. 425
^ Jenkins & White, 1957, oddíl 15.1, s. 288
^ Lipson, Lipson and Lipson, 2011, str. 203
^ Hecht, 2002, str. 448
^ Hecht, 2002, obrázky 10.6 (b) a 10.7 (e)
^ Jenkins & White, 1957, str. 297
^ ^A ^b Kraus, John Daniel; Marhefka, Ronald J. (2002). Antény pro všechny aplikace. McGraw-Hill. ISBN 9780072321036.
^ Born & Wolf, 1999, obrázek 8.10
^ Born & Wolf, 1999, obrázek 8.12
^ Hecht, 2002, obrázek 11.33
^ Hecht, 2002, obrázek 13.14
^ Born & Wolf, 1999, obrázek 7.4
^ Hecht, 2002, ekv. (9,30).
^ Longhurst, 1957, ekv. (12.1)

^[1]

Zdroje

Born M & Vlk E, Principy optiky, 1999, 7. vydání, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-64222-4
Heavens OS a Ditchburn W, Insight into Optics, 1991, Longman and Sons, Chichester ISBN 978-0-471-92769-3
Hecht Eugene, Optics, 2002, Addison Wesley, ISBN 0-321-18878-0
Jenkins FA & White HE, Fundamentals of Optics, 1957, 3. vydání, McGraw Hill, New York
Lipson A., Lipson SG, Lipson H, Optická fyzika, 4. vydání, 2011, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-49345-1
Longhurst RS, Geometrická a fyzikální optika, 1967, 2. vydání, Longmans, Londýn

externí odkazy

^ Goodman, Joseph W. (1996). Úvod do Fourierovy optiky (druhé vydání). Singapur: McGraw-HillCompanies, Inc. str. 73. ISBN 0-07-024254-2.

[1] Born & Wolf, 1999, str. 427.

[2] Jenkins & White, 1957, s. 288

[3] ttp://scienceworld.wolfram.com/biography/Fraunhofer.html

[4] Heavens and Ditchburn, 1996, str. 62

[5] Born & Wolf, 1999, str. 425

[6] Jenkins & White, 1957, oddíl 15.1, s. 288

[7] Lipson, Lipson and Lipson, 2011, str. 203

[8] Hecht, 2002, str. 448

[9] Hecht, 2002, obrázky 10.6 (b) a 10.7 (e)

[10] Jenkins & White, 1957, str. 297

[:0-11] A ^b Kraus, John Daniel; Marhefka, Ronald J. (2002). Antény pro všechny aplikace. McGraw-Hill. ISBN 9780072321036.

[12] Born & Wolf, 1999, obrázek 8.10

[13] Born & Wolf, 1999, obrázek 8.12

[14] Hecht, 2002, obrázek 11.33

[15] Hecht, 2002, obrázek 13.14

[16] Born & Wolf, 1999, obrázek 7.4

[17] Hecht, 2002, ekv. (9,30).

[18] Longhurst, 1957, ekv. (12.1)

[19] Goodman, Joseph W. (1996). Úvod do Fourierovy optiky (druhé vydání). Singapur: McGraw-HillCompanies, Inc. str. 73. ISBN 0-07-024254-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[1]