Předběžný problém elektrokardiologie - Forward problem of electrocardiology

Simulace realistického srdečního rytmu.

Schematický diagram normálního sinusového rytmu pro lidské srdce, jak je vidět na EKG.

The dopředný problém elektrokardiologie je výpočetní a matematický přístup ke studiu elektrická aktivita z srdce povrchem těla.^[1] Hlavním cílem této studie je výpočetně reprodukovat elektrokardiogram (EKG), jehož definování má důležitý klinický význam srdeční patologie jako ischemie a infarkt, nebo otestovat farmaceutická intervence. Vzhledem k jejich důležitým funkcím a relativně malé invazivnosti elektrokardiografie techniky se používají poměrně často jako klinické diagnostické testy. Je tedy přirozené pokračovat ve výpočetní reprodukci EKG, což znamená matematicky modelovat srdeční chování v těle.^[1]

Tři hlavní části předního modelu pro EKG jsou:

model pro srdeční elektrickou aktivitu;
model pro difúzi elektrického potenciálu uvnitř trupu, který představuje extrakardiální oblast;
některé specifické podmínky spojení srdce a trup.^[2]

K získání EKG je tedy třeba vzít v úvahu matematický elektrický srdeční model spojený s difúzním modelem v pasivní vodič který popisuje elektrické šíření uvnitř trup.^[1]

Spojený model je obvykle a trojrozměrný model vyjádřeno v parciální diferenciální rovnice. Takový model je obvykle řešen pomocí Metoda konečných prvků pro vývoj prostoru řešení a semi-implicitní numerická schémata zahrnující konečné rozdíly pro vývoj času v řešení. Výpočtové náklady na takové techniky, zejména s trojrozměrnými simulacemi, jsou však poměrně vysoké. Často se tedy uvažuje o zjednodušených modelech, které řeší například elektrickou aktivitu srdce nezávisle na problému na trupu. K zajištění realistických výsledků je třeba použít trojrozměrné anatomicky realistické modely srdce a trupu.^[1]

Další možné zjednodušení je a dynamický model ze tří obyčejné diferenciální rovnice.^[3]

Modely srdeční tkáně

Elektrická aktivita srdce je způsobena tokem ionty přes buněčná membrána, mezi intracelulárním a extracelulárním prostorem, který určuje vlnu buzení podél srdeční sval který koordinuje srdeční kontrakci a tím i čerpací činnost srdce, která mu umožňuje tlačit krev skrz oběhový systém. Modelování srdeční elektrické aktivity tedy souvisí s modelováním toku iontů na a mikroskopický úrovni a na šíření excitační vlny podél svalu vlákna na makroskopické úroveň.^[1]^[4]

Mezi matematickým modelem na makroskopické úrovni Willem Einthoven a Augustus Waller definoval EKG prostřednictvím koncepčního modelu dipólu rotujícího kolem pevného bodu, jehož projekce na Vést osa určovala záznamy olovu. Pak dvourozměrný rekonstrukce srdeční činnosti ve frontální rovině byla možná pomocí Einthovenovy končetiny vedou I, II a III jako teoretický základ.^[5] Později byl rotující srdeční dipól považován za nedostatečný a byl nahrazen multipolární zdroje pohybující se uvnitř ohraničené domény trupu. Hlavním nedostatkem metod použitých ke kvantifikaci těchto zdrojů je jejich nedostatek podrobností, které jsou však velmi relevantní pro realistickou simulaci srdečních jevů.^[4]

Na druhou stranu se mikroskopické modely snaží reprezentovat chování jednotlivých buněk a spojovat je s ohledem na jejich elektrické vlastnosti.^[6]^[7]^[8] Tyto modely představují některé výzvy související s různými měřítky, které je třeba zachytit, zejména s ohledem na to, zejména u jevů velkého rozsahu, jako je opětovný vstup nebo potenciál povrchu těla, kolektivní chování buněk je důležitější než chování každé buňky.^[4]

Třetí možností modelování elektrické aktivity srdce je zvážit takzvaný „přístup typu„ uprostřed “, kde model zahrnuje nižší i vyšší úroveň detailů. Tato možnost zohledňuje chování bloku buněk, který se nazývá buňka kontinua, čímž se vyhne problémům s měřítkem a podrobnostmi. Získaný model se nazývá model bidomény, který je často nahrazen jeho zjednodušením, model monodomény.^[4]

Bidomain model

Stylizovaná reprezentace lidského trupu, která popisuje doménu a notaci uvažovanou pro budoucí problém elektrokardiografie. Jsou uvažovány dvě oddělené oblasti a jejich hranice, které představují srdce a lidský trup kolem něj.

Základním předpokladem modelu bidomény je, že srdeční tkáň lze rozdělit na dvě ohmická vodivá kontinuální média, spojená, ale oddělená přes buněčnou membránu. Toto médium se nazývá intracelulární a extracelulární oblasti, přičemž první představuje buněčné tkáně a druhá představuje prostor mezi buňkami.^[2]^[1]

Standardní formulace modelu bidomény, včetně dynamického modelu iontového proudu, je následující^[2]

{ displaystyle { begin {cases} nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) + nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla u_ {e}) = A_ {m} vlevo (C_ {m} { frac { částečné V_ {m}} { částečné t}} + I_ {ion} (V_ {m}, w) pravé) + I_ {app} & { text {in}} Omega _ {H} nabla cdot left (( mathbf { sigma} _ {i} + mathbf { sigma} _ {e}) nabla u_ {e} right) + nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) = 0 & { text {in}} Omega _ {H} { frac { částečné w} { částečné {t}}} + g (V_ {m}, w) = 0 & { text {in}} Omega _ {H} end {případů}}}

kde ${ displaystyle V_ {m}}$ a ${ displaystyle u_ {e}}$ jsou transmembránový a extracelulární potenciál, ${ displaystyle I_ {ion}}$ je iontový proud, který závisí také na tzv. hradlové proměnné ${ displaystyle w}$ (počítání iontového chování na buněčné úrovni) a ${ displaystyle I_ {aplikace}}$ je externí proud aplikovaný na doménu. Navíc, ${ displaystyle mathbf { sigma} _ {i}}$ a ${ displaystyle mathbf { sigma} _ {e}}$ jsou tenzory intracelulární a extracelulární vodivosti, ${ displaystyle A_ {m}}$ je poměr povrchu k objemu buněčné membrány a ${ displaystyle C_ {m}}$ je kapacita membrány na jednotku plochy. Zde doména ${ displaystyle Omega _ {H}}$ představuje srdeční sval.^[2]

Okrajové podmínky pro tuto verzi modelu bidomény jsou získány za předpokladu, že nedochází k toku nitrobuněčného potenciálu mimo srdce, což znamená, že

{ displaystyle mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m} cdot mathbf {n} + mathbf { sigma} _ {i} nabla u_ {e} cdot mathbf {n} = 0 quad quad { text {on}} Sigma}

kde ${ displaystyle Sigma = částečné Omega _ {H}}$ označuje hranici srdeční domény a ${ displaystyle mathbf {n}}$ je vnější jednotka normální ${ displaystyle Sigma}$ .^[2]

Monodoménový model

Monodoménový model je zjednodušením modelu s dvoudoménami, který je navzdory některým nefyziologickým předpokladům schopen reprezentovat realistické elektrofyziologické jevy alespoň pro to, co se týká transmembránového potenciálu ${ displaystyle V_ {m}}$ .^[2]^[1]

Standardní formulace je následující parciální diferenciální rovnice, jejíž jediná neznámá ${ displaystyle V_ {m}}$ je transmembránový potenciál:

{ displaystyle chi C_ {m} { frac { částečné V_ {m}} { částečné t}} - nabla cdot left ( mathbf { sigma} _ {i} { frac { lambda } {1+ lambda}} nabla V_ {m} vpravo) + chi I_ {ion} = I_ {aplikace} quad quad { text {in}} Omega _ {H}}

kde ${ displaystyle lambda}$ je parametr, který souvisí s tenzory intracelulární a extracelulární vodivosti.^[2]

Okrajová podmínka použitá pro tento model je^[9]

{ displaystyle left ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m} right) cdot mathbf {n} = 0 quad quad { text {on}} částečné Omega _ {H}.}

Model tkáně trupu

V dopředném problému elektrokardiografie je trup považován za pasivní vodič a jeho model lze odvodit od Maxwellovy rovnice za kvazi-statického předpokladu.^[1]^[2]

Standardní formulace se skládá z parciální diferenciální rovnice s jedním neznámým skalárním polem, potenciálem trupu ${ displaystyle u_ {T}}$ . V zásadě je model trupu následující zobecněný Laplaceova rovnice

{ displaystyle nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T}) = 0 quad quad { text {in}} Omega _ {T},}

kde ${ displaystyle mathbf { sigma} _ {T}}$ je tenzor vodivosti a ${ displaystyle Omega _ {T}}$ je doménou obklopující srdce, tj. lidské tělo.^[2]

Derivace

Pokud jde o model bidomény, model trupu lze odvodit z Maxwellových rovnic a rovnice spojitosti po určitých předpokladech. Za prvé, protože elektrická a magnetická aktivita uvnitř těla je generována na nízké úrovni, lze uvažovat o kvazi-statickém předpokladu. Na tělo lze tedy pohlížet jako na pasivní vodič, což znamená, že jeho kapacitní, indukční a propagační účinek lze ignorovat.^[1]

Za kvazi-statického předpokladu jsou Maxwellovy rovnice^[1]

{ displaystyle { begin {cases} nabla cdot mathbf {E} & = { frac { rho} { epsilon _ {0}}} nabla times mathbf {E} & = 0 nabla cdot mathbf {B} & = 0 nabla times mathbf {B} & = mu _ {0} mathbf {J} end {cases}}}

a rovnice kontinuity je^[1]

{ displaystyle nabla cdot mathbf {J} = 0.}

Protože jeho zvlnění je nulové, může být elektrické pole reprezentováno gradientem pole skalárního potenciálu, potenciálem trupu

{ displaystyle mathbf {E} = - nabla u_ {T}}

(1)

kde záporné znaménko znamená, že proud teče z regionů s vyšším potenciálem.^[1]

Poté lze celkovou hustotu proudu vyjádřit pomocí vodivého proudu a dalších různých aplikovaných proudů, takže z rovnice kontinuity^[1]

{ displaystyle nabla cdot mathbf {J} = nabla cdot ( mathbf {J} _ {aplikace} + mathbf { sigma} _ {T} mathbf {E}) = 0}

(2)

Poté nahrazením (1) v (2)

{ displaystyle nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T}) = nabla cdot mathbf {J} _ {aplikace} = I_ {v}}

ve kterém ${ displaystyle I_ {v}}$ je aktuální na jednotku objemu.^[1]

A konečně, protože kromě srdce není v trupu žádný zdroj proudu, lze proud na jednotku objemu nastavit na nulu, což dává zobecněnou Laplaceovu rovnici, která představuje standardní formulaci difuzního problému uvnitř trupu^[1]

{ displaystyle nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T}) = 0 quad quad { text {in}} Omega _ {T}.}

Hraniční podmínka

Okrajové podmínky zohledňují vlastnosti média obklopujícího trup, tj. Vzduchu kolem těla. Obecně má vzduch nulovou vodivost, což znamená, že proud nemůže proudit ven z trupu. To se překládá v následující rovnici^[1]

{ displaystyle mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T} cdot mathbf {n} _ {T} = 0 quad quad { text {on}} gama _ {T}}

kde ${ displaystyle mathbf {n} _ {T}}$ je jednotka vně kolmá k trupu a ${ displaystyle Gamma _ {T}}$ je hranice trupu, což znamená povrch trupu.^[1]^[2]

Vodivost trupu

Trup se obvykle považuje za izotropní vodivost, což znamená, že proud protéká ve všech směrech stejným způsobem. Trup však není prázdný nebo homogenní obal, ale obsahuje různé orgány charakterizované různými koeficienty vodivosti, které lze experimentálně získat. Jednoduchý příklad parametrů vodivosti v trupu, který zohledňuje kosti a plíce, uvádí následující tabulka.^[2]

Hodnoty vodivosti trupu.^[2]
${ displaystyle sigma _ {T} ^ { text {lungs}}}$	${ displaystyle sigma _ {T} ^ { text {bones}}}$	${ displaystyle sigma _ {T} ^ { text {zbývající regiony}}}$
(S / cm)	(S / cm)	(S / cm)
${ displaystyle 2,4 krát 10 ^ {- 4}}$	${ displaystyle 4 krát 10 ^ {- 5}}$	${ displaystyle 6 krát 10 ^ {- 4}}$

Modely srdce a trupu

Spojení mezi modelem elektrické aktivity a modelem trupu je dosaženo pomocí vhodných okrajových podmínek v epikardu, tj. Na povrchu rozhraní mezi srdcem a trupem.^[1]^[2]

Model srdce-trup lze plně spojit, pokud se uvažuje o dokonalém elektrickém přenosu mezi dvěma doménami, nebo ho lze odpojit, pokud je elektrický model srdce a model trupu řešen samostatně s omezenou nebo nedokonalou výměnou informací mezi nimi.^[2]

Plně spojené modely srdce a trupu

Je dosaženo úplného spojení mezi srdcem a trupem, které vytváří dokonalý stav elektrického přenosu mezi srdcem a trupem. To se provádí s ohledem na následující dvě rovnice, které vytvářejí vztah mezi extracelulárním potenciálem a potenciálem trupu^[2]

{ displaystyle { begin {aligned} u_ {e} & = u_ {T} quad quad & { text {on}} Sigma ( mathbf { sigma} _ {e} nabla u_ { e}) cdot mathbf {n} _ {e} & = - ( mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T}) cdot mathbf {n} _ {T} quad quad & { text {on}} Sigma. end {zarovnáno}}}

Tato rovnice zajišťuje kontinuitu potenciálu i proudu napříč epikardem.^[2]

Pomocí těchto okrajových podmínek je možné získat dva různé plně spojené modely srdce a trupu, s ohledem buď na bidoménu, nebo na model monodomény pro elektrickou aktivitu srdce. Z numerického hlediska jsou tyto dva modely výpočetně velmi drahé a mají podobné výpočetní náklady.^[2]

Alternativní okrajové podmínky

Okrajové podmínky, které představují dokonalou elektrickou vazbu mezi srdcem a trupem, jsou nejpoužívanější a ty klasické. Mezi srdcem a trupem je však perikard, vak s dvojitou stěnou, který obsahuje serózní tekutinu, která má specifický účinek na elektrický přenos. S ohledem na kapacita ${ displaystyle C_ {p}}$ a odporový ${ displaystyle R_ {p}}$ účinek, který má perikard, lze alternativní okrajové podmínky, které zohledňují tento účinek, formulovat následovně^[10]

{ displaystyle { begin {zarovnaný} R_ {p} mathbf { sigma} _ {e} nabla u_ {e} cdot mathbf {n} & = R_ {p} C_ {p} { frac { částečné (u_ {T} -u_ {e})} { částečné t}} + (u_ {T} -u_ {e}) quad quad & { text {on}} Sigma mathbf { sigma} _ {e} nabla u_ {e} cdot mathbf {n} & = mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T} cdot mathbf {n} quad quad & { text {on}} Sigma end {zarovnáno}}}

Formulace s modelem bidomény

Plně spojený model srdce a trupu, s ohledem na model bidomény pro elektrickou aktivitu srdce v jeho úplné podobě^[2]

{ displaystyle { begin {cases} nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) + nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla u_ {e}) = A_ {m} vlevo (C_ {m} { frac { částečné V_ {m}} { částečné t}} + I_ {ion} (V_ {m}, w) pravé) + I_ {app} & { text {in}} Omega _ {H} nabla cdot left (( mathbf { sigma} _ {i} + mathbf { sigma} _ {e}) nabla u_ {e} right) + nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) = 0 & { text {in}} Omega _ {H} { frac { částečné w} { částečné {t}}} + g (V_ {m}, w) = 0 & { text {in}} Omega _ {H} nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T}) = 0 & { text {in}} Omega _ {T} ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) cdot mathbf {n} + ( mathbf { sigma} _ {i} nabla u_ {e}) cdot mathbf {n} = 0 & { text {on}} Sigma u_ {e} = u_ {T} & { text {on}} Sigma ( mathbf { sigma} _ {e} nabla u_ {e}) cdot mathbf {n} = ( mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T}) cdot mathbf {n} & { text {on}} Sigma ( mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T}) cdot mathbf {n} = 0 & { text {on}} Gamma _ {T} end {cases}}}

kde první čtyři rovnice jsou parciální diferenciální rovnice představující model bidomény, iontový model a model trupu, zatímco zbývající představují okrajové podmínky pro modely bidomain a trupu a podmínky vazby mezi nimi.^[2]

Formulace s modelem monodomény

Plně spojený model srdce a trupu s ohledem na model monodomény protože elektrická aktivita srdce je složitější než problém s bidoménou. Podmínky vazby skutečně souvisejí s potenciálem trupu s extracelulárním potenciálem, který není vypočítán modelem monodomény. Je tedy nutné použít i druhou rovnici model bidomény (za stejných předpokladů, z nichž je odvozen model monodomény), čímž se získá:^[2]

{ displaystyle nabla cdot left (( mathbf { sigma} _ {i} + mathbf { sigma} _ {e}) nabla u_ {e} doprava) + nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) = 0 quad quad { text {in}} Omega _ {H}.}

Tímto způsobem není třeba měnit podmínky spojování a kompletní model srdce-trupu se skládá ze dvou různých bloků:^[2]

Nejprve je třeba vyřešit model monodomény s obvyklou okrajovou podmínkou:

{ displaystyle { begin {cases} chi C_ {m} { frac { částečné V_ {m}} { částečné t}} - nabla cdot left ( mathbf { sigma} _ {i} { frac { lambda} {1+ lambda}} nabla V_ {m} right) + chi I_ {ion} = I_ {app} & { text {in}} Omega _ {H} left ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m} right) cdot mathbf {n} = 0 & { text {on}} částečné Omega _ {H}. end {případy}}}

Poté musí být vyřešen spojený model, který zahrnuje výpočet extracelulárního potenciálu, model trupu a podmínky spojení:

{ displaystyle { begin {cases} nabla cdot left (( mathbf { sigma} _ {i} + mathbf { sigma} _ {e}) nabla u_ {e} right) + nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) = 0 & { text {in}} Omega _ {H} nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T}) = 0 & { text {in}} Omega _ {T} mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T} cdot mathbf {n} = 0 & { text {on}} Gamma _ {T} u_ {e} = u_ {T} & { text {on}} Sigma ( mathbf { sigma} _ {e} nabla u_ {e}) cdot mathbf {n} = ( mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T}) cdot mathbf {n} & { text {on}} Sigma konec {případů}}}

Odpojené modely srdce a trupu

Plně spojené modely srdce a trupu jsou velmi podrobné modely, ale jejich výpočetní náklady jsou také nákladné.^[2] Možné zjednodušení poskytuje tzv odpojený předpoklad ve kterém je srdce považováno za zcela elektricky izolované od srdce.^[2] Matematicky je to provedeno tak, že proud nemůže proudit napříč epikardem, od srdce k trupu, a to^[2]

{ displaystyle mathbf { sigma} _ {e} nabla u_ {e} cdot mathbf {n} = 0 quad quad { text {on}} Sigma.}

Použitím této rovnice na okrajové podmínky plně spojených modelů je možné získat dva nespojené modely srdce a trupu, ve kterých lze elektrické modely řešit odděleně od modelu trupu, což snižuje výpočetní náklady.^[2]

Odpojený model srdce a trupu s modelem bidomain

Odpojená verze plně spřaženého modelu srdce-trup, který k zobrazení elektrické aktivity srdce používá bidoménu, se skládá ze dvou oddělených částí:^[2]

The model bidomény v jeho izolované formě

{ displaystyle { begin {cases} nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) + nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla u_ {e}) = A_ {m} vlevo (C_ {m} { frac { částečné V_ {m}} { částečné t}} + I_ {ion} (V_ {m}, w) pravé) + I_ {app} & { text {in}} Omega _ {H} nabla cdot left (( mathbf { sigma} _ {i} + mathbf { sigma} _ {e}) nabla u_ {e} right) + nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) = 0 & { text {in}} Omega _ {H} { frac { částečné w} { částečné {t}}} + g (V_ {m}, w) = 0 & { text {in}} Omega _ {H} ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) cdot mathbf {n} + ( mathbf { sigma} _ {i} nabla u_ {e}) cdot mathbf {n} = 0 & { text {on }} Sigma mathbf { sigma} _ {e} nabla u_ {e} cdot mathbf {n} = 0 & { text {on}} Sigma. End {případy}}}

Difúzní model trupu ve standardní formulaci s podmínkou potenciální kontinuity

{ displaystyle { begin {cases} nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T}) = 0 & { text {in}} Omega _ {T} mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T} cdot mathbf {n} = 0 & { text {on}} Gamma _ {T} u_ {T} = u_ {e} & { text {on}} Sigma end {cases}}}

Odpojený model srdce a trupu s modelem modomény

Stejně jako v případě plně spojeného modelu srdce a trupu, který využívá model monodomény, je třeba vypočítat mimobuněčný potenciál i v odpovídajícím nespojeném modelu. V tomto případě musí být vyřešeny tři různé a nezávislé problémy:^[2]

Model monodomény s obvyklou okrajovou podmínkou:

{ displaystyle { begin {cases} chi C_ {m} { frac { částečné V_ {m}} { částečné t}} - nabla cdot left ( mathbf { sigma} _ {i} { frac { lambda} {1+ lambda}} nabla V_ {m} right) + chi I_ {ion} = I_ {app} & { text {in}} Omega _ {H} left ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m} right) cdot mathbf {n} = 0 & { text {on}} částečné Omega _ {H}. end {případy}}}

Problém spočítat extracelulární potenciál s okrajovou podmínkou na epikardu předepisující žádný intracelulární proudový tok:

{ displaystyle { begin {cases} nabla cdot left (( mathbf { sigma} _ {i} + mathbf { sigma} _ {e}) nabla u_ {e} right) + nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) = 0 & { text {in}} Omega _ {H} ( mathbf { sigma} _ {i} + mathbf { sigma} _ {e}) nabla u_ {e} cdot mathbf {n} = - ( mathbf { sigma} _ {i} nabla V_ {m}) cdot mathbf {n } & { text {on}} Sigma end {případy}}}

Difúzní model trupu s okrajovou podmínkou potenciální kontinuity v epikardu:

{ displaystyle { begin {cases} nabla cdot ( mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T}) = 0 & { text {in}} Omega _ {T} mathbf { sigma} _ {T} nabla u_ {T} cdot mathbf {n} = 0 & { text {on}} Gamma _ {T} u_ {T} = u_ {e} & { text {on}} Sigma end {cases}}}

Výpočet elektrokardiogramu

Precordiální svody v EKG

Řešení plně spojených nebo odpojených modelů srdce a trupu umožňuje získat elektrický potenciál generovaný srdcem v každém bodě lidského trupu, zejména na celém povrchu trupu. Definováním poloh elektrod na trupu je možné v těchto bodech najít časový vývoj potenciálu. Poté elektrokardiogramy lze vypočítat například podle 12 standardních elektrod s ohledem na následující vzorce^[2]

{ displaystyle { begin {cases} I & = u_ {T} (L) -u_ {T} (R) II & = u_ {T} (F) -u_ {T} (R) III & = u_ {T} (F) -u_ {T} (L) aVR & = { frac {3} {2}} (u_ {T} (R) -u_ {w}) aVL & = { frac { 3} {2}} (u_ {T} (L) -u_ {w}) aVF & = { frac {3} {2}} (u_ {T} (F) -u_ {w}) V_ {i} & = u_ {T} (V_ {i}) - u_ {w} quad i = 1, dots, 6 end {cases}}}

kde ${ displaystyle u_ {W} = (u_ {T} (L) + u_ {T} (R) + u_ {T} (F)) / 3}$ a ${ displaystyle L, R, F, {V_ {i} } _ {i = 1, tečky, 6}}$ jsou standardní umístění elektrod.^[2]

Numerické metody

Modely srdce a trupu jsou vyjádřeny jako parciální diferenciální rovnice jejichž neznámé jsou funkcí prostoru i času. Jsou zase spojeny s iontovým modelem, který je obvykle vyjádřen jako systém obyčejné diferenciální rovnice. K řešení těchto problémů lze použít řadu numerických schémat. Obvykle Metoda konečných prvků se používá pro diskretizaci prostoru a pro časovou diskretizaci se používají semimplicitní schémata konečných rozdílů.^[1]^[2]

Odpojený model srdce-trupu je nejjednodušší léčit numericky, protože elektrický model srdce lze vyřešit odděleně od modelu trupu, takže je možné použít klasické numerické metody k řešení každého z nich. To znamená, že modely bidomain a monodomain lze vyřešit například pomocí a vzorec zpětné diferenciace pro časovou diskretizaci, zatímco problémy s výpočtem extracelulárního potenciálu a potenciálu trupu lze snadno vyřešit použitím pouze metody konečných prvků, protože jsou časově nezávislé.^[1]^[2]

Plně spojené modely srdce a trupu jsou naopak složitější a vyžadují složitější numerické modely. Například model plně srdce-trupu, který používá model bidomény pro elektrickou simulaci srdečního chování, lze vyřešit zvážením dekompozice domény techniky, jako je rozklad Dirichlet-Neumannovy domény.^[2]^[11]

Geometrický model trupu

Trojrozměrný model trupu včetně většiny orgánů.^[12]

Simulovat a elektrokardiogram pomocí plně spojených nebo odpojených modelů je nutná trojrozměrná rekonstrukce lidského trupu. Dnes diagnostické zobrazovací techniky, jako je MRI a CT může poskytnout dostatečně přesné obrazy, které umožňují podrobnou rekonstrukci anatomických lidských částí, a tím získat vhodnou geometrii trupu. například Visible Human Data^[13] je užitečný soubor dat k vytvoření trojrozměrného modelu trupu podrobně popsaného s vnitřními orgány, včetně kosterní struktury a svalů.^[1]

Dynamický model pro elektrokardiogram

I když jsou výsledky poměrně podrobné, řešení trojrozměrného modelu je obvykle poměrně nákladné. Možným zjednodušením je dynamický model založený na třech spojených obyčejných diferenciálních rovnicích.^[3]

Kvazi-periodicita srdečního rytmu je reprodukována trojrozměrnou trajektorií kolem přitahujícího mezního cyklu v ${ displaystyle (x, y)}$ letadlo. Hlavní vrcholy EKG, kterými jsou P, Q, R, S a T, jsou popsány v pevných úhlech ${ displaystyle theta _ {P}, theta _ {Q}, theta _ {R}, theta _ {S} { text {a}} theta _ {T}}$ , které dávají následující tři ODR^[3]

{ displaystyle { begin {cases} x '& = alpha z- omega y y' & = alpha y + omega x z '& = - sum _ {i in {P, Q, R, S, T }} a_ {i} Delta theta _ {i} { text {exp}} left (- { frac { Delta theta _ {i} ^ {2}} {2b_ {i} ^ {2}}} right) - (z-z_ {0}) end {cases}}}

s ${ displaystyle alpha = 1 - { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$ , ${ displaystyle Delta theta _ {i} = ( theta - theta _ {i}) { text {mod}} (2 pi)}$ , ${ displaystyle theta = { text {atan}} 2 (y, x)}$

Rovnice lze snadno vyřešit klasickými numerickými algoritmy jako Metody Runge-Kutta pro ODR.^[3]

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^Ó ^p ^q ^r ^s ^t ^u Pullan, Andrew J .; Buist, Martin L .; Cheng, Leo K. (2005). Matematické modelování elektrické aktivity srdce: z buňky na povrch těla a zpět. World Scientific. ISBN 978-9812563736.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^Ó ^p ^q ^r ^s ^t ^u ^proti ^w ^X ^y ^z ^aa ^ab ^ac ^inzerát ^ae ^af Boulakia, Muriel; Cazeau, Serge; Fernández, Miguel A .; Gerbeau, Jean-Frédéric; Zemzemi, Nejib (24. prosince 2009). „Matematické modelování elektrokardiogramů: numerická studie“ (PDF). Annals of Biomedical Engineering. 38 (3): 1071–1097. doi:10.1007 / s10439-009-9873-0. PMID 20033779. S2CID 10114284.
^ ^A ^b ^C ^d McSharry, P.E .; Clifford, G.D .; Tarassenko, L .; Smith, LA (březen 2003). "Dynamický model pro generování syntetických signálů na elektrokardiogramu". Transakce IEEE na biomedicínském inženýrství. 50 (3): 289–294. doi:10.1109 / TBME.2003.808805. PMID 12669985. S2CID 544816.
^ ^A ^b ^C ^d Lines, G.T .; Buist, M.L .; Grottum, P .; Pullan, A.J .; Sundnes, J .; Tveito, A. (1. července 2002). "Matematické modely a numerické metody pro řešení problému v srdeční elektrofyziologii". Výpočetní technika a vizualizace ve vědě. 5 (4): 215–239. doi:10.1007 / s00791-003-0101-4. S2CID 123211416.
^ Einthoven, Waller (1903). „Die galvanometrische Registrierung des menschlichen Elektrokardiogramms, zugleich eine Beurteilung der Anwendung des Capillarelektrometers in der Physiologie“. Pfluegers Arch. 99 (9–10): 472–480. doi:10.1007 / BF01811855. S2CID 10400303.
^ Henriquez, C.S .; Plonsey, R. (1987). "Vliv odporových diskontinuit na tvar vln a rychlost v jednom srdečním vlákně". Med. Biol. Eng. Comput. 25 (4): 428–438. doi:10.1007 / BF02443364. PMID 3450994. S2CID 3038844.
^ Muller-Borer, B.J .; Erdman, D.J .; Buchanan, J.W. (1994). "Elektrická vazba a šíření impulsu v anatomicky modelované komorové tkáni". IEEE Trans. Biomed. Eng. 41 (5): 445–454. doi:10.1109/10.293219. PMID 8070804. S2CID 14407776.
^ Hren, R .; Nenonen, J .; Horáček, B.M. (1998). "Simulované epikardiální potenciálové mapy během stimulace aktivují reflexe vláknité struktury myokardu". Ann. Biomed. Eng. 26 (6): 1022–1035. doi:10.1114/1.73. PMID 9846940. S2CID 9978399.
^ Keener, James; Sneyd, James (2009). Matematická fyziologie 2009: fyziologie systémů ii (2. přepracované vydání). Springer. ISBN 978-1-4939-3709-7.
^ Boulakia, Muriel; Fernández, Miguel A .; Gerbeau, Jean-Frédéric; Zemzemi, Nejib (2007). "Směrem k numerické simulaci elektrokardiogramů". Funkční zobrazování a modelování srdce. Přednášky z informatiky. Springer. 4466: 240–249. doi:10.1007/978-3-540-72907-5_25. ISBN 978-3-540-72906-8.
^ Fernández, Miguel A .; Zemzemi, Nejib (1. července 2010). „Odpojená schémata časových pochodů ve výpočetní srdeční elektrofyziologii a numerické simulaci EKG“ (PDF). Matematické biologické vědy. 226 (1): 58–75. doi:10.1016 / j.mbs.2010.04.003. ISSN 0025-5564. PMID 20416327.
^ Ferrer, Ana; Sebastián, Rafael; Sánchez-Quintana, Damián; Rodríguez, José F .; Godoy, Eduardo J .; Martínez, Laura; Saiz, Javier (2. listopadu 2015). „Podrobné anatomické a elektrofyziologické modely lidské atria a trupu pro simulaci aktivace síní“. PLOS ONE. 10 (11): e0141573. doi:10.1371 / journal.pone.0141573. ISSN 1932-6203. PMC 4629897. PMID 26523732.
^ Spitzer, V .; Ackerman, M. J .; Scherzinger, A.L .; Whitlock, D. (1. března 1996). „Viditelný lidský muž: technická zpráva“. Journal of the American Medical Informatics Association. 3 (2): 118–130. doi:10.1136 / jamia.1996.96236280. PMC 116294. PMID 8653448.

[Pullan-2005-1] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^Ó ^p ^q ^r ^s ^t ^u Pullan, Andrew J .; Buist, Martin L .; Cheng, Leo K. (2005). Matematické modelování elektrické aktivity srdce: z buňky na povrch těla a zpět. World Scientific. ISBN 978-9812563736.

[Boulakia-2009-2] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^Ó ^p ^q ^r ^s ^t ^u ^proti ^w ^X ^y ^z ^aa ^ab ^ac ^inzerát ^ae ^af Boulakia, Muriel; Cazeau, Serge; Fernández, Miguel A .; Gerbeau, Jean-Frédéric; Zemzemi, Nejib (24. prosince 2009). „Matematické modelování elektrokardiogramů: numerická studie“ (PDF). Annals of Biomedical Engineering. 38 (3): 1071–1097. doi:10.1007 / s10439-009-9873-0. PMID 20033779. S2CID 10114284.

[McSharry-2003-3] A ^b ^C ^d McSharry, P.E .; Clifford, G.D .; Tarassenko, L .; Smith, LA (březen 2003). "Dynamický model pro generování syntetických signálů na elektrokardiogramu". Transakce IEEE na biomedicínském inženýrství. 50 (3): 289–294. doi:10.1109 / TBME.2003.808805. PMID 12669985. S2CID 544816.

[Lines_-2002-4] A ^b ^C ^d Lines, G.T .; Buist, M.L .; Grottum, P .; Pullan, A.J .; Sundnes, J .; Tveito, A. (1. července 2002). "Matematické modely a numerické metody pro řešení problému v srdeční elektrofyziologii". Výpočetní technika a vizualizace ve vědě. 5 (4): 215–239. doi:10.1007 / s00791-003-0101-4. S2CID 123211416.

[5] Einthoven, Waller (1903). „Die galvanometrische Registrierung des menschlichen Elektrokardiogramms, zugleich eine Beurteilung der Anwendung des Capillarelektrometers in der Physiologie“. Pfluegers Arch. 99 (9–10): 472–480. doi:10.1007 / BF01811855. S2CID 10400303.

[Henriquez-1987-6] Henriquez, C.S .; Plonsey, R. (1987). "Vliv odporových diskontinuit na tvar vln a rychlost v jednom srdečním vlákně". Med. Biol. Eng. Comput. 25 (4): 428–438. doi:10.1007 / BF02443364. PMID 3450994. S2CID 3038844.

[Muller-Borer-7] Muller-Borer, B.J .; Erdman, D.J .; Buchanan, J.W. (1994). "Elektrická vazba a šíření impulsu v anatomicky modelované komorové tkáni". IEEE Trans. Biomed. Eng. 41 (5): 445–454. doi:10.1109/10.293219. PMID 8070804. S2CID 14407776.

[Hren-1998-8] Hren, R .; Nenonen, J .; Horáček, B.M. (1998). "Simulované epikardiální potenciálové mapy během stimulace aktivují reflexe vláknité struktury myokardu". Ann. Biomed. Eng. 26 (6): 1022–1035. doi:10.1114/1.73. PMID 9846940. S2CID 9978399.

[9] Keener, James; Sneyd, James (2009). Matematická fyziologie 2009: fyziologie systémů ii (2. přepracované vydání). Springer. ISBN 978-1-4939-3709-7.

[Boulakia-2007-10] Boulakia, Muriel; Fernández, Miguel A .; Gerbeau, Jean-Frédéric; Zemzemi, Nejib (2007). "Směrem k numerické simulaci elektrokardiogramů". Funkční zobrazování a modelování srdce. Přednášky z informatiky. Springer. 4466: 240–249. doi:10.1007/978-3-540-72907-5_25. ISBN 978-3-540-72906-8.

[Fernández-11] Fernández, Miguel A .; Zemzemi, Nejib (1. července 2010). „Odpojená schémata časových pochodů ve výpočetní srdeční elektrofyziologii a numerické simulaci EKG“ (PDF). Matematické biologické vědy. 226 (1): 58–75. doi:10.1016 / j.mbs.2010.04.003. ISSN 0025-5564. PMID 20416327.

[12] Ferrer, Ana; Sebastián, Rafael; Sánchez-Quintana, Damián; Rodríguez, José F .; Godoy, Eduardo J .; Martínez, Laura; Saiz, Javier (2. listopadu 2015). „Podrobné anatomické a elektrofyziologické modely lidské atria a trupu pro simulaci aktivace síní“. PLOS ONE. 10 (11): e0141573. doi:10.1371 / journal.pone.0141573. ISSN 1932-6203. PMC 4629897. PMID 26523732.

[Spitzer-13] Spitzer, V .; Ackerman, M. J .; Scherzinger, A.L .; Whitlock, D. (1. března 1996). „Viditelný lidský muž: technická zpráva“. Journal of the American Medical Informatics Association. 3 (2): 118–130. doi:10.1136 / jamia.1996.96236280. PMC 116294. PMID 8653448.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]