Bidomain model - Bidomain model
The model bidomény je matematický model definovat elektrickou aktivitu srdce. Spočívá v přístupu kontinua (objem-průměr), ve kterém je srdeční mikrostruktura definována pomocí svalových vláken seskupených do listů, čímž se vytváří komplex trojrozměrný struktura s anizotropními vlastnostmi. Poté, aby se definovala elektrická aktivita, uvažují se dvě prostupující domény, kterými jsou intracelulární a extracelulární domény, které představují prostor uvnitř buněk a oblast mezi nimi.[1]
Model bidomény poprvé navrhl Schmitt v roce 1969[2] před matematickou formulací koncem 70. let.[3][4][5][6][7][8][9][10]
Jelikož se jedná o model kontinua, místo toho, aby popisoval každou buňku jednotlivě, představuje průměrné vlastnosti a chování skupiny buněk uspořádaných do složité struktury. Výsledek modelu je tedy komplexní a lze jej chápat jako zobecnění teorie kabelů do vyšších dimenzí a, jít definovat tzv bidoménové rovnice.[11][12]
Mnoho zajímavých vlastností modelu bidomény vychází ze stavu nerovných anizotropních poměrů. The elektrická vodivost v anizotropních tkáních není jedinečný ve všech směrech, ale liší se v paralelním a kolmém směru vzhledem k vláknovému. Navíc v tkáních s nerovnoměrnými anizotropními poměry je poměr vodivosti rovnoběžný a kolmý k vláknům odlišný v intracelulárních a extracelulární prostory. Například v srdeční tkáni je poměr anizotropie v intracelulárním prostoru asi 10: 1, zatímco v extracelulárním prostoru je to asi 5: 2.[13]Matematicky nerovné poměry anizotropie znamenají, že účinek anizotropie nelze odstranit změnou měřítka vzdálenosti v jednom směru.[14]Místo toho má anizotropie hlubší vliv na elektrické chování.[15]
Jsou tři příklady dopadu nerovných anizotropních poměrů
- distribuce transmembránový potenciál během unipolární stimulace listu srdeční tkáně,[16]
- the magnetické pole produkovaný frontou vlny akčního potenciálu šířící se srdeční tkání,[17]
- účinek zakřivení vláken na distribuci transmembránového potenciálu během úrazu elektrickým proudem.[18]
Formulace
Bidoménová doména
Bidoménová doména je v zásadě reprezentována dvěma hlavními oblastmi: srdečními buňkami, které se nazývají intracelulární doména, a prostorem, který je obklopuje, se nazývá extracelulární doména. Navíc se obvykle uvažuje o jiné oblasti, která se nazývá extramiokardiální oblast. Intracelulární a extracelulární domény, které jsou odděleny buněčná membrána, jsou považovány za jedinečný fyzický prostor představující srdce (), zatímco extramyokardiální doména je jedinečný fyzický prostor sousedící s nimi (). Extamyokardiální oblast může být považována za fluidní lázeň, zvláště když je třeba simulovat experimentální podmínky, nebo za lidské torzo simulovat fyziologické podmínky.[12]Hranice dvou hlavních definovaných fyzických domén je důležitá pro vyřešení modelu bidomény. Zde je hranice srdce označena jako zatímco hranice domény trupu je [12]
Neznámé a parametry
Neznámé v modelu bidomény jsou tři, intracelulární potenciál , extracelulární potenciál a transmembránový potenciál , který je definován jako rozdíl potenciálu přes buněčnou membránu .[12]
Kromě toho je třeba vzít v úvahu některé důležité parametry, zejména tenzorovou matici intracelulární vodivosti , matice tenzoru extracelulární vodivosti . Transmembránový proud proudí mezi intracelulárními a extracelulárními oblastmi a je částečně popsán odpovídajícím iontovým proudem přes membránu na jednotku plochy . Kromě toho kapacita membrány na jednotku plochy a poměr povrchu k objemu buněčné membrány je třeba zvážit odvození formulace modelu bidomény, což se provádí v následujícím textu sekce.[12]
Standardní formulace
Model bidomény je definován dvěma parciální diferenciální rovnice (PDE), z nichž první je a reakční difúzní rovnice z hlediska transmembránový potenciál zatímco druhá vypočítává extracelulární potenciál vycházející z dané distribuce transmembránového potenciálu.[12]
Model bidomény lze tedy formulovat následovně:
kde a lze definovat jako aplikované vnější stimulační proudy.[12]
Rovnice iontového proudu
Iontový proud je obvykle reprezentován an iontový model prostřednictvím systému obyčejné diferenciální rovnice (ODR). Matematicky lze psát kde se nazývá iontová proměnná. Pak obecně pro všechny , systém přečte[19]
Byly navrženy různé iontové modely:[19]
- fenomenologické modely, které jsou nejjednodušší a používají se k reprodukci maskulinního chování buňky.
- fyziologické modely, které zohledňují jak makroskopické chování, tak buněčnou fyziologii s poměrně podrobným popisem nejdůležitějšího iontového proudu.
Model extramyokardiální oblasti
V některých případech se uvažuje o extramyokardiální oblasti. To implikuje přidání k modelu bidomain rovnice popisující potenciální šíření uvnitř extramyokardiální domény.[12]
Obvykle je tato rovnice jednoduchá generalizovaná Laplaceova rovnice typu[12]
kde je potenciál v extramyokardiální oblasti a je odpovídající tenzor vodivosti.
Kromě toho se uvažuje o izolované doméně, což znamená, že jsou přidány následující okrajové podmínky
což je normální jednotka namířená mimo extramyokardiální doménu.[12]
Pokud je extramyokardiální oblastí lidské tělo, vede tento model k dopředný problém elektrokardiologie.[12]
Derivace
Bidoménové rovnice jsou odvozeny z Maxwellovy rovnice elektromagnetismu, s ohledem na některá semplifikace.[12]
Prvním předpokladem je, že intracelulární proud může proudit pouze mezi intracelulárními a extracelulárními oblastmi, zatímco intracelulární a extramyokardiální oblasti mohou mezi nimi komunikovat, takže proud může proudit do a z extramyokardiálních oblastí, ale pouze v extracelulárním prostoru.[12]
Použitím Ohmův zákon a kvazi-statický předpoklad, gradient pole skalárního potenciálu umí popsat elektrické pole , což znamená, že[12]
Pak, pokud představují proudovou hustotu elektrického pole , lze získat dvě rovnice[12]
kde dolní index a představují intracelulární a extracelulární množství.[12]
Druhým předpokladem je, že srdce je izolované, takže proud, který opouští jednu oblast, musí proudit do druhé. Poté musí být hustota proudu v každé z intracelulárních a extracelulárních domén stejná, ale opačná v signe, a může být definována jako součin poměru povrchu k objemu buněčné membrány a transmembránové hustoty iontového proudu. na jednotku plochy, což znamená, že[12]
Kombinací předchozích předpokladů se získá zachování proudových hustot, jmenovitě[12]
(1)
ze kterého sečteme dvě rovnice[12]
Tato rovnice přesně stanoví, že všechny proudy opouštějící jednu doménu musí vstupovat do druhé.[12]
Odtud je snadné najít druhou rovnici odčítání modelu bidomény z obou stran. Ve skutečnosti,[12]
a vědět, že transmembrální potenciál je definován jako [12]
Poté, s vědomím transmembrálního potenciálu, lze obnovit extracelulární potenciál.
Poté lze proud, který protéká buněčnou membránou, modelovat pomocí kabelová rovnice,[12]
(2)
Kombinace rovnic (1) a (2) dává[12]
Nakonec sčítání a odčítání vlevo a přeskupit , můžeme získat první rovnici modelu bidomény[12]
který popisuje vývoj transmembrálního potenciálu v čase.
Konečná formulace popsaná v standardní formulace část je získána zevšeobecněním, s přihlédnutím k možným vnějším stimulům, které lze poskytnout prostřednictvím externích aplikovaných proudů a .[12]
Okrajové podmínky
K vyřešení modelu jsou zapotřebí okrajové podmínky. Klasičtější okrajové podmínky jsou následující, formulované Tungem.[6]
Za prvé, jako předtím v odvodit části, nedošlo k žádnému toku proudu mezi intracelulárními a extramyokardiálními doménami. To lze matematicky popsat jako[12]
kde je vektor, který představuje navenek normální jednotku k povrchu myokardu srdce. Protože intracelulární potenciál není ve formulaci bidomény výslovně uveden, je tento stav obvykle popsán z hlediska transmembránového a extracelulárního potenciálu, s vědomím, že , jmenovitě[12]
Pokud jde o extracelulární potenciál, je-li uvedena oblast myokardu, uvažuje se rovnováha v toku mezi extracelulární a extramyokardiální oblastí[12]
Zde jsou uvažovány normální vektory z pohledu obou domén, proto je nutné negativní znaménko. Navíc je nutný dokonalý přenos potenciálu na srdeční hranici, což dává[12]
- .
Místo toho, pokud je srdce považováno za izolované, což znamená, že není prezentována žádná oblast myokardu, je možná okrajová podmínka pro extracelulární problém
Redukce na model monodomény
Za předpokladu stejných poměrů anizotropie pro intra- a extracelulární domény, tj. pro některé skalární lze model zredukovat na jednu rovnici, tzv monodoménová rovnice
kde jedinou proměnnou je nyní transmembránový potenciál a tenzor vodivosti je kombinací a [12]
Formulace s okrajovými podmínkami v izolované doméně
Pokud je srdce považováno za izolovanou tkáň, což znamená, že mimo něj nemůže proudit žádný proud, přečte se konečná formulace s okrajovými podmínkami[12]
Numerické řešení
Existují různé možné techniky řešení bidoménových rovnic. Mezi nimi lze najít schémata konečných rozdílů, schémata konečných prvků a také schémata konečného objemu. Pro numerické řešení těchto rovnic je možné učinit zvláštní úvahy kvůli vysokému časovému a prostorovému rozlišení potřebnému pro numerickou konvergenci.[20][21]
Viz také
Reference
- ^ Lines, G.T .; Buist, M.L .; Grottum, P .; Pullan, A.J .; Sundnes, J .; Tveito, A. (1. července 2002). "Matematické modely a numerické metody pro řešení problému v srdeční elektrofyziologii". Výpočetní technika a vizualizace ve vědě. 5 (4): 215–239. doi:10.1007 / s00791-003-0101-4. S2CID 123211416.
- ^ Schmitt, O. H. (1969). Zpracování informací v nervovém systému; sborník sympozia konaného na State University of New York v Buffalu ve dnech 21. – 24. října 1968. Springer-Science and Business. 325–331. ISBN 978-3-642-87086-6.
- ^ Muler AL, Markin VS (1977). "Elektrické vlastnosti anizotropního nervového svalu syncytia-I. Distribuce elektrotonického potenciálu". Biofizika. 22 (2): 307–312. PMID 861269.
- ^ Muler AL, Markin VS (1977). "Elektrické vlastnosti anizotropního nervového svalu syncytia-II. Šíření ploché přední části excitace". Biofizika. 22 (3): 518–522. PMID 889914.
- ^ Muler AL, Markin VS (1977). "Elektrické vlastnosti anizotropního nervového svalu syncytia-III. Stabilní forma excitační fronty". Biofizika. 22 (4): 671–675. PMID 901827.
- ^ A b Tung L (1978). "Bi-doménový model pro popis ischemických myokardiálních d-c potenciálů". PhD disertační práce, MIT, Cambridge, Massachusetts.
- ^ Miller WT III; Geselowitz DB (1978). „Simulační studie elektrokardiogramu, I. Normální srdce“. Výzkum oběhu. 43 (2): 301–315. doi:10.1161 / 01.res.43.2.301. PMID 668061.
- ^ Peskoff A (1979). „Elektrický potenciál v trojrozměrných elektricky syncyciálních tkáních“. Bulletin of Mathematical Biology. 41 (2): 163–181. doi:10.1016 / s0092-8240 (79) 80031-2. PMID 760880.
- ^ Peskoff A (1979). "Elektrický potenciál ve válcových syncytiích a svalových vláknech". Bulletin of Mathematical Biology. 41 (2): 183–192. doi:10.1016 / s0092-8240 (79) 80032-4. PMID 760881.
- ^ Eisenberg RS, Barcilon V, Mathias RT (1979). "Elektrické vlastnosti sférické syncytie". Biofyzikální deník. 48 (3): 449–460. Bibcode:1985BpJ .... 48..449E. doi:10.1016 / S0006-3495 (85) 83800-5. PMC 1329358. PMID 4041538.
- ^ Neu JC, Krassowska W (1993). "Homogenizace syncyciálních tkání". Kritické recenze v biomedicínském inženýrství. 21 (2): 137–199. PMID 8243090.
- ^ A b C d E F G h i j k l m n Ó str q r s t u proti w X y z aa ab ac inzerát ae af ag Pullan, Andrew J .; Buist, Martin L .; Cheng, Leo K. (2005). Matematické modelování elektrické aktivity srdce: z buňky na povrch těla a zpět. World Scientific. ISBN 978-9812563736.
- ^ Roth BJ (1997). "Hodnoty elektrické vodivosti použité s bidoménovým modelem srdeční tkáně". Transakce IEEE na biomedicínském inženýrství. 44 (4): 326–328. doi:10.1109/10.563303. PMID 9125816. S2CID 24225323.
- ^ Roth BJ (1992). "Jak anizotropie intracelulárních a extracelulárních vodivosti ovlivňuje stimulaci srdečního svalu". Journal of Mathematical Biology. 30 (6): 633–646. doi:10.1007 / BF00948895. PMID 1640183. S2CID 257193.
- ^ Henriquez CS (1993). "Simulace elektrického chování srdeční tkáně pomocí modelu bidomény". Kritické recenze v biomedicínském inženýrství. 21 (1): 1–77. PMID 8365198.
- ^ Sepulveda NG, Roth BJ, Wikswo JP (1989). „Aktuální injekce do dvourozměrné bidomény“. Biofyzikální deník. 55 (5): 987–999. Bibcode:1989BpJ .... 55..987S. doi:10.1016 / S0006-3495 (89) 82897-8. PMC 1330535. PMID 2720084.
- ^ Sepulveda NG, Wikswo JP (1987). „Elektrické a magnetické pole z dvourozměrné bisyncytie“. Biofyzikální deník. 51 (4): 557–568. Bibcode:1987BpJ .... 51..557S. doi:10.1016 / S0006-3495 (87) 83381-7. PMC 1329928. PMID 3580484.
- ^ Trayanova N, Roth BJ, Malden LJ (1993). „Odezva sférického srdce na rovnoměrné elektrické pole: Bidoménová analýza srdeční stimulace“. Transakce IEEE na biomedicínském inženýrství. 40 (9): 899–908. doi:10.1109/10.245611. PMID 8288281. S2CID 7593406.
- ^ A b Boulakia, Muriel; Cazeau, Serge; Fernández, Miguel A .; Gerbeau, Jean-Frédéric; Zemzemi, Nejib (24. prosince 2009). „Matematické modelování elektrokardiogramů: numerická studie“ (PDF). Annals of Biomedical Engineering. 38 (3): 1071–1097. doi:10.1007 / s10439-009-9873-0. PMID 20033779. S2CID 10114284.
- ^ Niederer, S. A .; Kerfoot, E .; Benson, A. P .; Bernabeu, M. O .; Bernus, O .; Bradley, C .; Cherry, E. M .; Clayton, R .; Fenton, F. H .; Garny, A .; Heidenreich, E .; Land, S .; Maleckar, M .; Pathmanathan, P .; Plank, G .; Rodriguez, J. F .; Roy, I .; Sachse, F. B .; Seemann, G .; Skavhaug, O .; Smith, N. P. (3. října 2011). „Ověření simulátorů elektrofyziologie srdeční tkáně pomocí srovnávacího testu verze N“. Filozofické transakce Královské společnosti A: Matematické, fyzikální a technické vědy. 369 (1954): 4331–4351. Bibcode:2011RSPTA.369.4331N. doi:10.1098 / rsta.2011.0139. PMC 3263775. PMID 21969679.
- ^ Pathmanathan, Pras; Bernabeu, Miguel O .; Bordas, Rafel; Cooper, Jonathan; Garny, Alan; Pitt-Francis, Joe M .; Whiteley, Jonathan P .; Gavaghan, David J. (2010). „Numerický průvodce řešením bidoménových rovnic srdeční elektrofyziologie“. Pokrok v biofyzice a molekulární biologii. 102 (2–3): 136–155. doi:10.1016 / j.pbiomolbio.2010.05.006. PMID 20553747.