Hill diferenciální rovnice - Hill differential equation

v matematika, Hill rovnice nebo Hill diferenciální rovnice je lineární druhého řádu obyčejná diferenciální rovnice

kde je periodická funkce minimálním obdobím . Tím myslíme to pro všechny

a pokud je číslo s

, rovnice pro některé musí selhat .[1] Je pojmenován po George William Hill, který ji představil v roce 1886.[2]

Protože má období , Hill rovnici lze přepsat pomocí Fourierova řada z :

Mezi důležité speciální případy Hillovy rovnice patří Mathieuova rovnice (ve kterém pouze výrazy odpovídající n = 0, 1 jsou zahrnuty) a Meissnerova rovnice.

Hillova rovnice je důležitým příkladem v chápání periodických diferenciálních rovnic. V závislosti na přesném tvaru , řešení mohou zůstat omezená po celou dobu, nebo amplituda oscilací v řešeních může exponenciálně růst.[3] Přesná forma řešení Hillovy rovnice je popsána v Teorie Floquet. Řešení lze také psát ve smyslu Hill determinantů.

Kromě své původní aplikace na měsíční stabilitu se Hillova rovnice objevuje v mnoha nastaveních, včetně modelování a kvadrupólový hmotnostní spektrometr, jako jednorozměrný Schrödingerova rovnice elektronu v krystalu, kvantová optika dvouúrovňových systémů a v fyzika akcelerátoru.

Reference

  1. ^ Magnus, W .; Winkler, S. (2013). Hillova rovnice. Kurýr. ISBN  9780486150291.
  2. ^ Hill, G.W. (1886). „Z části pohybu lunárního perigeu, který je funkcí středních pohybů Slunce a Měsíce“ (PDF). Acta Math. 8 (1): 1–36. doi:10.1007 / BF02417081.
  3. ^ Teschl, Gerald (2012). Obyčejné diferenciální rovnice a dynamické systémy. Prozřetelnost: Americká matematická společnost. ISBN  978-0-8218-8328-0.

externí odkazy