Amitsurův komplex - Amitsur complex - Wikipedia

V algebře je Amitsurův komplex je přirozený komplex spojené s a kruhový homomorfismus. To bylo představeno v (Amitsur 1959 ). Když je homomorfismus věrně plochý, Amitsurův komplex je přesný (tedy určující rozlišení), což je základem teorie věrně plochý sestup.

Pojem by měl být považován za mechanismus, který jde nad rámec konvenčního lokalizace prstenů a modulů.^[1]

Definice

Nechat ${ displaystyle theta: R k S}$ být homomorfismem (nepotřebných komutativních) prstenů. Nejprve definujte kosimplicitní sada ${ displaystyle C ^ { bullet} = S ^ { otimes odrážka +1}}$ (kde ${ displaystyle otimes}$ odkazuje na ${ displaystyle otimes _ {R}}$, ne ${ displaystyle otimes _ { mathbb {Z}}}$) jak následuje. Definujte mapy tváří ${ displaystyle d ^ {i}: S ^ { otimes {n + 1}} to S ^ { otimes n + 2}}$ vložením 1 na i-té místo:^{[poznámka 1]}

${ displaystyle d ^ {i} (x_ {0} otimes cdots otimes x_ {n}) = x_ {0} otimes cdots otimes x_ {i-1} otimes 1 otimes x_ {i} otimes cdots otimes x_ {n}.}$

Definujte degenerace ${ displaystyle s ^ {i}: S ^ { otimes n + 1} to S ^ { otimes n}}$ vynásobením i-té a (i + 1) -tá místa:

${ displaystyle s ^ {i} (x_ {0} otimes cdots otimes x_ {n}) = x_ {0} otimes cdots otimes x_ {i} x_ {i + 1} otimes cdots krát x_ {n}.}$

Vyhovují „zjevným“ kosimplicitním identitám a tak ${ displaystyle S ^ { otimes odrážka +1}}$ je kosimplicitní sada. Poté určí komplex s augumentací ${ displaystyle theta}$, Amitsurův komplex:^[2]

${ displaystyle 0 až R , { nadměrné { theta} { to}} , S , { nadměrné { delta ^ {0}} { to}} , S ^ { další 2 } , { nadměrné { delta ^ {1}} { to}} , S ^ { další 3} to cdots}$

kde ${ displaystyle delta ^ {n} = součet _ {i = 0} ^ {n + 1} (- 1) ^ {i} d ^ {i}.}$

Přesnost Amitsurova komplexu

Věrně plochý kufřík

Ve výše uvedených zápisech, pokud ${ displaystyle theta}$ je věrně plochá, potom Grothendieckova věta uvádí, že (rozšířený) komplex ${ displaystyle 0 to R { overset { theta} { to}} S ^ { otimes bullet +1}}$ je přesný a tedy i rozlišení. Obecněji, pokud ${ displaystyle theta}$ je tedy vpravo věrně plochá pro každou levici R-modul M,

${ displaystyle 0 to M to S otimes _ {R} M to S ^ { otimes 2} otimes _ {R} M to S ^ { otimes 3} otimes _ {R} M do cdots}$

je přesný.^[3]

Důkaz:

Krok 1: Výrok je pravdivý, pokud ${ displaystyle theta: R k S}$ rozděluje se jako prstenový homomorfismus.

Že "${ displaystyle theta}$ rozdělí “ ${ displaystyle rho circ theta = operatorname {id} _ {R}}$ pro nějaký homomorfismus ${ displaystyle rho: S až R}$ (${ displaystyle rho}$ je zatažení a ${ displaystyle theta}$ část). Vzhledem k tomu, a ${ displaystyle rho}$, definovat

${ displaystyle h: S ^ { otimes n + 1} otimes M to S ^ { otimes n} otimes M}$

podle

${ displaystyle { begin {aligned} & h (x_ {0} otimes m) = rho (x_ {0}) otimes m, & h (x_ {0} otimes cdots otimes x_ {n} otimes m) = theta ( rho (x_ {0})) x_ {1} otimes cdots otimes x_ {n} otimes m. end {zarovnáno}}}$

Snadný výpočet ukazuje následující identitu: s ${ displaystyle delta ^ {- 1}: M { přesahující { theta otimes operatorname {id} _ {M}} { to}} S otimes _ {R} M}$,

${ displaystyle h circ delta ^ {n} + delta ^ {n-1} circ h = operatorname {id} _ {S ^ { otimes n + 1} otimes M}}$.

To znamená h je operátor homotopy a tak ${ displaystyle operatorname {id} _ {S ^ { otimes n + 1} otimes M}}$ určuje nulovou mapu na cohomologii: tj. komplex je přesný.

Krok 2: Toto prohlášení je obecně platné.

Poznamenáváme to ${ displaystyle S to T: = S otimes _ {R} S, , x mapsto 1 otimes x}$ je část ${ displaystyle T až S, , x mnohokrát y mapsto xy}$. Krok 1 tedy platí pro homomorfismus děleného kruhu ${ displaystyle S až T}$ znamená:

${ displaystyle 0 to M_ {S} to T otimes _ {S} M_ {S} to T ^ { otimes 2} otimes _ {S} M_ {S} to cdots,}$

kde ${ displaystyle M_ {S} = S otimes _ {R} M}$, je přesný. Od té doby ${ displaystyle T otimes _ {S} M_ {S} simeq S ^ { otimes 2} otimes _ {R} M}$atd., slovem „věrně plochý“ je původní sekvence přesná. ${ displaystyle square}$

Případ topologie oblouku

Bhatt & Scholze (2019, §8) ukazují, že Amitsurův komplex je přesný, pokud R a S jsou (komutativní) perfektní prsteny a mapa musí být krycí v topologie oblouku (což je slabší stav, než být krytím v plochá topologie ).

Reference

• Artin, Michael (1999), Nekomutativní prsteny (Berkeley skripta) (PDF)
• Amitsur, Shimshon (1959), „Jednoduché algebry a kohomologické skupiny libovolných polí“, Transakce Americké matematické společnosti, 90 (1): 73–112
• Bhatt, Bhargav; Scholze, Peter (2019), Hranoly a hranolová kohomologie, arXiv:1905.08229
• Amitsurův komplex v nLab