Cheegerova konstanta - Cheeger constant

v Riemannova geometrie, Cheegerova izoperimetrická konstanta a kompaktní Riemannovo potrubí M je kladné reálné číslo h(M) definováno z hlediska minima plocha a nadpovrch který rozděluje M na dva nesouvislé kousky. V roce 1970 Jeff Cheeger ukázala nerovnost, která se týkala prvního netriviálního vlastní číslo z Operátor Laplace – Beltrami na M na h(M). To se ukázalo jako velmi vlivný nápad v Riemannově geometrii a globální analýza a inspiroval analogickou teorii pro grafy.

Definice

Nechat M být n-dimenzionální Zavřeno Riemannovo potrubí. Nechat PROTI(A) označují objem n-rozměrný dílčí potrubí A a S(E) označují n−1rozměrný objem dílčího potrubí E (v této souvislosti se běžně nazývá „oblast“). The Cheegerova izoperimetrická konstanta z M je definován jako

{displaystyle h (M) = inf _ {E} {frac {S (E)} {min (V (A), V (B))}}}}

Kde infimum je převzato vše hladce n−1rozměrné dílčí potrubí E z M které ji rozdělují na dva nesouvislé podmanifoldy A a B. Izoperimetrická konstanta může být definována obecněji pro nekompaktní Riemannovy potrubí konečného objemu.

Cheegerova nerovnost

Cheegerova konstanta h(M) a ${displaystyle scriptstyle {lambda _ {1} (M)},}$ nejmenší kladné vlastní číslo Laplacian na M, souvisí následující základní nerovnost prokázaná Jeff Cheeger:

{displaystyle lambda _ {1} (M) geq {frac {h ^ {2} (M)} {4}}.}

Tato nerovnost je optimální v následujícím smyslu: pro všechny h > 0, přirozené číslo k a ε > 0, existuje dvourozměrný Riemannovo potrubí M s izoperimetrickou konstantou h(M) = h a takové, že kvlastní číslo Laplacianu je uvnitř ε z Cheeger vázán (Buser, 1978).

Buserova nerovnost

Peter Buser prokázal horní hranici pro ${displaystyle scriptstyle {lambda _ {1} (M)}}$ z hlediska izoperimetrické konstanty h(M). Nechat M být n-rozměrné uzavřené Riemannovo potrubí, jehož Ricciho zakřivení je omezen níže - (n−1)A², kde A ≥ 0. Potom

{displaystyle lambda _ {1} (M) leq 2a (n-1) h (M) + 10h ^ {2} (M).}

Viz také

Reference

Buser, Peter (1982). "Poznámka k izoperimetrické konstantě". Ann. Sci. École Norm. Sup. (4). 15 (2): 213–230. PAN 0683635.
Buser, Peter (1978). „Über eine Ungleichung von Cheeger“ [O nerovnosti Cheegera]. Matematika. Z. (v němčině). 158 (3): 245–252. doi:10.1007 / BF01214795. PAN 0478248.
Cheeger, Jeff (1970). "Dolní mez pro nejmenší vlastní hodnotu Laplacian". V Gunning, Robert C. (ed.). Problémy v analýze (příspěvky věnované Salomon Bochner, 1969). Princeton, N. J .: Princeton Univ. Lis. str. 195–199. PAN 0402831.

Lubotzky, Alexander (1994). Diskrétní skupiny, rozšiřující se grafy a invariantní míry. Moderní Birkhäuserova klasika. S dodatkem Jonathana D. Rogawského. Basilej: Birkhäuser Verlag. doi:10.1007/978-3-0346-0332-4. ISBN 978-3-0346-0331-7. PAN 2569682.