Dehn – Sommervilleovy rovnice - Dehn–Sommerville equations

V matematice je Dehn – Sommervilleovy rovnice jsou kompletní sada lineárních vztahů mezi počty ploch různé dimenze a zjednodušený mnohostěn. U polytopů dimenze 4 a 5 byly nalezeny Max Dehn v roce 1905. Jejich obecnou podobu ustanovil Duncan Sommerville v roce 1927. Rovnice Dehn – Sommerville lze přepracovat jako podmínku symetrie pro h-vektor zjednodušeného mnohostěnu a to se stalo standardní formulací v nedávné kombinatorické literatuře. Dualitou platí analogické rovnice jednoduché polytopy.

Prohlášení

Nechat P být d-dimenzionální zjednodušený mnohostěn. Pro i = 0, 1, ..., d - 1, nechte F_i označte počet i-dimenzionální tváře z P. Sekvence

${displaystyle f (P) = (f_ {0}, f_ {1}, ldots, f_ {d-1})}$

se nazývá F-vektor polytopu P. Navíc nastavit

${displaystyle f _ {- 1} = 1, f_ {d} = 1.}$

Pak pro všechny k = −1, 0, ..., d - 2, následující Dehn – Sommervilleova rovnice drží:

${displaystyle sum _ {j = k} ^ {d-1} (- 1) ^ {j} {jin {j + 1} {k + 1}} f_ {j} = (- 1) ^ {d-1 } f_ {k}.}$

Když k = -1, vyjadřuje to Eulerova charakteristika z (d - 1) -dimenzionální zjednodušená sféra se rovná 1 + (-1)^d − 1.

Dehn – Sommervilleovy rovnice s různými k nejsou nezávislí. Existuje několik způsobů, jak vybrat maximální nezávislou podmnožinu skládající se z ${extstyle left [{frac {d + 1} {2}} ight]}$ rovnice. Li d je pak rovnice s k = 0, 2, 4, ..., d - 2 jsou nezávislé. Další nezávislá množina se skládá z rovnic s k = −1, 1, 3, ..., d - 3. Pokud d je liché, pak rovnice s k = −1, 1, 3, ..., d - 2 tvoří jednu nezávislou množinu a rovnice s k = −1, 0, 2, 4, ..., d - 3 tvoří další.

Ekvivalentní formulace

Sommerville našel jiný způsob, jak vyjádřit tyto rovnice:

${displaystyle sum _ {i = -1} ^ {k-1} (- 1) ^ {d + i} {iný {di-1} {dk}} f_ {i} = součet _ {i = -1} ^ {dk-1} (- 1) ^ {i} {jiné {di-1} {k}} f_ {i},}$

kde 0 ≤ k ≤¹⁄₂(d − 1). To lze dále usnadnit zavedením pojmu h-vektor P. Pro k = 0, 1, ..., d, nechť

${displaystyle h_ {k} = součet _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {k-i} {jiné {d-i} {k-i}} f_ {i-1}.}$

Sekvence

${displaystyle h (P) = (h_ {0}, h_ {1}, ldots, h_ {d})}$

se nazývá h-vektor z P. The F-vektor a h-vektor se navzájem jednoznačně určuje prostřednictvím vztahu

${displaystyle sum _ {i = 0} ^ {d} f_ {i-1} (t-1) ^ {di} = součet _ {k = 0} ^ {d} h_ {k} t ^ {dk}. }$

Potom lze Dehn – Sommervillovy rovnice přepracovat jednoduše jako

${displaystyle h_ {k} = h_ {d-k} quad {ext {for}} 0leq kleq d.}$

Rovnice s 0 ≤ k ≤¹⁄₂(d − 1) jsou nezávislé a ostatní jsou jim zjevně ekvivalentní.

Richard Stanley podal výklad složek h-vektor jednoduchého konvexního mnohostoru P z hlediska projektivní torická odrůda X spojené s (dvojí)P. Jmenovitě, jsou to rozměry sudé křižovatková kohomologie skupinyX:

${displaystyle h_ {k} = dim _ {mathbb {Q}} operatorname {IH} ^ {2k} (X, mathbb {Q})}$

(divný křižovatková kohomologie skupiny X jsou všechny nulové). V tomto jazyce poslední forma Dehn – Sommervilleových rovnic, symetrie h-vector, je projevem Poincaré dualita v průsečíkové kohomologiiX.

Reference

• Branko Grünbaum, Konvexní Polytopes. Druhé vydání. Postgraduální texty z matematiky, 221, Springer, 2003 ISBN  0-387-00424-6
• Richard Stanley, Kombinatorika a komutativní algebra. Druhé vydání. Progress in Mathematics, 41. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1996. x + 164 pp. ISBN  0-8176-3836-9
• Duncan Sommerville (1927) Vztahy spojující úhlové součty a objem polytopu v prostoru n rozměrů Sborník Královské společnosti Series A 115: 103–19, weblink from JSTOR.
• G. Ziegler, Přednášky na Polytopech, Springer, 1998. ISBN  0-387-94365-X