Equiareal mapa (matematika) - Equiareal map (mathematics)

v diferenciální geometrie, an ekviarealová mapa (nebo ekviplošná mapa) je hladká mapa od jednoho povrch do jiného, ​​který zachovává oblastech čísel.

Vlastnosti

Li M a N jsou dva povrchy v Euklidovský prostor R³, pak ekvioblastová mapa F lze charakterizovat kteroukoli z následujících ekvivalentních podmínek:

• The plocha povrchu z F(U) se rovná ploše U pro každého otevřená sada U na M.
• The zarazit z plošný prvek μ_N na N je rovný μ_M, prvek oblasti na M.
• V každém bodě p z M, a tečné vektory proti a w na M na p,

${ displaystyle | df_ {p} (v) krát df_ {p} (w) | = | v krát w | ,}$

kde × označuje euklidovský křížový produkt vektorů a df označuje tlačit kupředu podél F.

Příklad

Příklad ekviarealové mapy kvůli Archimedes ze Syrakus, je projekce ze sféry jednotek X² + y² + z² = 1 k jednotkovému válci X² + y² = 1 ven z jejich společné osy. Explicitní vzorec je

${ displaystyle f (x, y, z) = left ({ frac {x} { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}, { frac {y} { sqrt { x ^ {2} + y ^ {2}}}}, z vpravo)}$

pro (X, y, z) bod na jednotkové kouli.

Lineární transformace

Každý Euklidovská izometrie z Euklidovské letadlo je ekviarealistický, ale obrácený není pravdivý. Ve skutečnosti, smykové mapování a zmáčknout mapování jsou protiklady konverzace.

Mapování smyku vezme obdélník na rovnoběžník stejné oblasti. Mapování je napsáno v maticové formě

${ displaystyle (x, y) { begin {pmatrix} 1 & 0 v & 1 end {pmatrix}} = (x + vy, y).}$

Běžná aplikace je klasická kinematika kde y je časová hodnota (čas). V této souvislosti je střih a Galileova transformace.

Mapování sevření prodlouží a zmenší strany obdélníku recipročně, aby byla oblast zachována. Psaný v maticové formě, s λ> 1 se stisknutí přečte

${ displaystyle (x, y) { begin {pmatrix} lambda & 0 0 & 1 / lambda end {pmatrix}} = ( lambda x, y / lambda).}$

V relativistické kinematice rychlost světla C je supremem pro rychlost. Hyperboly xy = k jsou stabilní při mačkání. Rychlost, zastoupená na hyperbole a dorovnána rychlost, je transformováno „hyperbolickou rotací“ v rámci (–c, c).

Podle vnější algebry lineární transformace ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & c b & d end {pmatrix}}}$ vynásobí plochu velikostí její určující inzerát – před naším letopočtem. Tato rotace, střih a zmáčknutí vyčerpají typy ekviarealových lineárních transformací, je znázorněno na 2 × 2 reálné matice jako komplexní čísla. Tato zobrazení tvoří speciální lineární skupinu SL (2, R).

V mapových projekcích

V kontextu geografické mapy, a mapová projekce je nazýván stejná plocha, ekvivalent, authalic, ekviarealnebo zachování oblasti, pokud jsou oblasti zachovány až do konstantního faktoru; vložení cílové mapy, obvykle považováno za podmnožinu R², zjevným způsobem v R³, výše uvedený požadavek je oslaben na:

${ displaystyle | df_ {p} (v) krát df_ {p} (w) | = kappa | v krát w |}$

pro některé κ > 0 ne v závislosti na ${ displaystyle v}$ a ${ displaystyle w}$Příklady těchto projekcí viz rovnoměrná projekce mapy.

Viz také

• Jakobiánská matice a determinant

Reference

• Pressley, Andrew (2001), Elementární diferenciální geometrieSpringer College of Mathematics Series, London: Springer-Verlag, ISBN  978-1-85233-152-8, PAN  1800436