Hitchin – Thorpe nerovnost - Hitchin–Thorpe inequality

v diferenciální geometrie the Hitchin – Thorpe nerovnost je vztah, který omezuje topologii 4 rozdělovače které nesou Einsteinova metrika.

Prohlášení o nerovnosti Hitchin – Thorpe

Nechat M být Zavřeno, orientovaný, čtyřrozměrný hladké potrubí. Pokud existuje a Riemannova metrika na M což je Einsteinova metrika, pak

{displaystyle chi (M) geq {frac {3} {2}} | au (M) |,}

kde $χ (M)$ je Eulerova charakteristika z $M$ a $τ (M)$ je podpis z $M$ . Tuto nerovnost poprvé uvedl John Thorpe v poznámce pod čarou k článku z roku 1969 zaměřenému na potrubí vyšší dimenze.^[1] Nigel Hitchin poté znovu objevil nerovnost a v roce 1974 poskytl úplnou charakteristiku případu rovnosti;^[2] zjistil, že pokud $(M, G)$ je Einsteinovo potrubí, pro které se získá rovnost v Hitchin-Thorpe nerovnosti, pak Ricciho zakřivení z $G$ je nula; pokud se dílčí zakřivení nerovná shodně nule, pak $(M, G)$ je Rozdělovač Calabi – Yau jehož univerzální kryt je Povrch K3.

Důkaz

Nechat $(M, G)$ být čtyřrozměrný hladký Riemannovo potrubí, kterým je Einstein. Vzhledem k jakémukoli bodu $p$ z $M$ , existuje a $G p$ - nadpřirozený základ $E 1, E 2, E 3, E 4$ tečného prostoru $T p M$ tak, že operátor zakřivení $Rm p$ , což je symetrická lineární mapa $\land 2 T p M$ do sebe, má matici

{displaystyle {egin {pmatrix} lambda _ {1} & 0 & 0 & mu _ {1} & 0 & 0 0 & lambda _ {2} & 0 & 0 & mu _ {2} & 0 0 & 0 & lambda _ {3} & 0 & 0 & mu _ {3} mu _ {1} & 0 & 0 & lambda _ { 1} & 0 & 0 0 & mu _ {2} & 0 & 0 & lambda _ {2} & 0 0 & 0 & mu _ {3} & 0 & 0 & lambda _ {3} end {pmatrix}}}

vzhledem k základu $E 1 \land E 2, E 1 \land E 3, E 1 \land E 4, E 3 \land E 4, E 4 \land E 2, E 2 \land E 3$ . Jeden to má $μ 1 + μ 2 + μ 3$ je nula a to $λ 1 + λ 2 + λ 3$ je čtvrtina z skalární zakřivení z $G$ na $p$ . Dále za podmínek $λ 1 \leq λ 2 \leq λ 3$ a $μ 1 \leq μ 2 \leq μ 3$ , každá z těchto šesti funkcí je jedinečně určena a definuje spojitou funkci se skutečnou hodnotou $M$ .

Podle Teorie Chern-Weil, pokud $M$ je orientována pak Eulerova charakteristika a podpis $M$ lze vypočítat pomocí

{displaystyle {egin {aligned} chi (M) & = {frac {1} {4pi ^ {2}}} int _ {M} {ig (} lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} + mu _ {1} ^ {2} + mu _ {2} ^ {2} + mu _ {3} ^ {2} {ig)}, dmu _ {g} au (M) & = {frac {1} {3pi ^ {2}}} int _ {M} {ig (} lambda _ {1} mu _ {1} + lambda _ {2} mu _ {2} + lambda _ {3} mu _ {3} {ig)}, dmu _ {g} .end {aligned}}}

Vybaven těmito nástroji se nerovnost Hitchin-Thorpe rovná základnímu pozorování

{displaystyle lambda _ {1} ^ {2} + lambda _ {2} ^ {2} + lambda _ {3} ^ {2} + mu _ {1} ^ {2} + mu _ {2} ^ {2 } + mu _ {3} ^ {2} = underbrace {(lambda _ {1} -mu _ {1}) ^ {2} + (lambda _ {2} -mu _ {2}) ^ {2} + (lambda _ {3} -mu _ {3}) ^ {2}} _ {geq 0} +2 {ig (} lambda _ {1} mu _ {1} + lambda _ {2} mu _ {2} + lambda _ {3} mu _ {3} {ig)}.}

Selhání konverzace

Přirozenou otázkou je, zda nerovnost Hitchin-Thorpe poskytuje a dostatečný stav za existenci Einsteinových metrik. V roce 1995 Claude LeBrun a Andrea Sambusetti nezávisle ukázali, že odpověď je ne: existuje nekonečně mnoho nedomomoromálních kompaktních, hladkých, orientovaných 4 potrubí $M$ které nemají žádnou Einsteinovu metriku, ale přesto uspokojují

{displaystyle chi (M)> {frac {3} {2}} | au (M) |.}

LeBrunovy příklady jsou ve skutečnosti jednoduše spojeny a příslušná překážka závisí na hladké struktuře potrubí.^[3] Naproti tomu Sambusettiho obstrukce platí pouze pro 4-potrubí s nekonečnou základní skupinou, ale odhad objemové entropie, který používá k prokázání neexistence, závisí pouze na typu homotopy potrubí.^[4]

Poznámky pod čarou

^ Thorpe, J. (1969). "Několik poznámek k Gauss-Bonnetově vzorci". J. Math. Mech. 18 (8): 779–786. JSTOR 24893137.
^ Hitchin, N. (1974). „Kompaktní čtyřrozměrná Einsteinova potrubí“. J. Diff. Geom. 9 (3): 435–442. doi:10.4310 / jdg / 1214432419.
^ LeBrun, C. (1996). „Čtyři potrubí bez Einsteinových metrik“. Matematika. Res. Písmena. 3 (2): 133–147. doi:10.4310 / MRL.1996.v3.n2.a1.
^ Sambusetti, A. (1996). "Překážka existenci Einsteinových metrik na čtyřech potrubích". C. R. Acad. Sci. Paříž. 322 (12): 1213–1218. ISSN 0764-4442.

Reference

Besse, Arthur L. (1987). Rozdělovače Einstein. Klasika z matematiky. Berlín: Springer. ISBN 3-540-74120-8.

[1] Thorpe, J. (1969). "Několik poznámek k Gauss-Bonnetově vzorci". J. Math. Mech. 18 (8): 779–786. JSTOR 24893137.

[2] Hitchin, N. (1974). „Kompaktní čtyřrozměrná Einsteinova potrubí“. J. Diff. Geom. 9 (3): 435–442. doi:10.4310 / jdg / 1214432419.

[3] LeBrun, C. (1996). „Čtyři potrubí bez Einsteinových metrik“. Matematika. Res. Písmena. 3 (2): 133–147. doi:10.4310 / MRL.1996.v3.n2.a1.

[4] Sambusetti, A. (1996). "Překážka existenci Einsteinových metrik na čtyřech potrubích". C. R. Acad. Sci. Paříž. 322 (12): 1213–1218. ISSN 0764-4442.

[1]

[2]

[3]

[4]