Distribuce (teorie čísel) - Distribution (number theory)
v algebra a teorie čísel, a rozdělení je funkce na systému konečných množin do abelianská skupina který je analogický s integrálem: je tedy algebraickým analogem a rozdělení ve smyslu zobecněná funkce.
Původní příklady distribucí se vyskytují, nepojmenované, jako funkce φ na Q/Z uspokojující[1]
Takové distribuce se nazývají běžné distribuce.[2] Vyskytují se také v str-adická integrační teorie v Teorie Iwasawa.[3]
Nechť ... → Xn+1 → Xn → ... buďte projektivní systém konečných množin s surjekcemi indexovaných přirozenými čísly a let X být jejich projektivní limit. Dáme každému Xn the diskrétní topologie, aby X je kompaktní. Nechť φ = (φn) být rodinou funkcí na Xn brát hodnoty v abelianské skupině PROTI a kompatibilní s projektivním systémem:
pro některé váhová funkce w. Rodina φ je pak a rozdělení na projektivním systému X.
Funkce F na X je „lokálně konstantní“ nebo „kroková funkce“, pokud některé z nich promítne Xn. Můžeme definovat integrál krokové funkce proti φ jako
Definice se vztahuje na obecnější projektivní systémy, jako jsou systémy indexované kladnými celými čísly seřazenými podle dělitelnosti. Za důležitý zvláštní případ považujte projektivní systém Z/nZ indexovány kladnými celými čísly seřazenými podle dělitelnosti. Identifikujeme to se systémem (1 /n)Z/Z s limitem Q/Z.
Pro X v R necháme ⟨X⟩ Označuje zlomkovou část X normalizováno na 0 ≤ ⟨X⟩ <1, a nechť {X} označuje zlomkovou část normalizovanou na 0 <{X} ≤ 1.
Příklady
Funkce Hurwitz zeta
The věta o násobení pro Funkce Hurwitz zeta
dává distribuční vztah
Proto pro daný s, mapa je distribuce na Q/Z.
Bernoulliho distribuce
Připomeňme, že Bernoulliho polynomy Bn jsou definovány
pro n ≥ 0, kde bk jsou Bernoulliho čísla, s generující funkce
Vyhovují distribuční vztah
Tedy mapa
definován
je distribuce.[4]
Cyklomtomické jednotky
The cyklotomické jednotky uspokojit distribuční vztahy. Nechat A být prvkem Q/Z připravit na str a nechte GA označit exp (2πiA) -1. Pak pro A≠ 0 máme[5]
Univerzální distribuce
Jeden zvažuje distribuce na Z s hodnotami v nějaké abelianské skupině PROTI a usilovat o „univerzální“ nebo nejobecnější možnou distribuci.
Stickelbergerovy distribuce
Nechat h být běžnou distribucí na Q/Z měření hodnot v poli F. Nechat G(N) označuje multiplikativní skupinu Z/NZa pro jakoukoli funkci F na G(N) rozšiřujeme F na funkci zapnutou Z/NZ tím, že F být nulová G(N). Definujte prvek skupinové algebry F[G(N)] uživatelem
Skupinové algebry tvoří projektivní systém s omezením X. Pak funkce GN vytvořit distribuci na Q/Z s hodnotami v X, Stickelbergerova distribuce spojený s h.
p-adická opatření
Zvažte zvláštní případ, kdy je skupina hodnot PROTI rozdělení φ zapnuto X bere hodnoty v a místní pole K.konečný Qstr, nebo obecněji, v konečně-dimenzionálnístr-adic Banachův prostor Ž přes K., s oceněním | · |. Říkáme φ a opatření pokud | φ | je omezen na kompaktní otevřené podmnožiny souboru X.[6] Nechat D být prsten celých čísel K. a L mříž v Ž, tedy zdarma D-modul z Ž s K.⊗L = Ž. Až do měřítka může být přijato opatření, které má hodnoty v L.
Operátoři Hecke a opatření
Nechat D být pevné celé číslo prime to str a zvažte ZD, limit systému Z/strnD. Zvažte jakékoli vlastní funkce z Operátor Hecke Tstr s vlastním číslem λstr připravit na str. Popíšeme postup pro odvození míry ZD.
Opravte celé číslo N připravit na str a do D. Nechat F být D-modul všech funkcí na racionálních číslech s jmenovatelem coprime na N. Pro všechny hlavní l nedělí se N definujeme Operátor Hecke Tl podle
Nechat F být vlastní funkcí pro Tstr s vlastním číslem λstr v D. Kvadratická rovnice X2 - λstrX + str = 0 má kořeny π1, π2 s π1 jednotka a π2 dělitelné str. Definujte sekvenci A0 = 2, A1 = π1+ π2 = λstr a
aby
Reference
- Kubert, Daniel S.; Lang, Serge (1981). Modulární jednotky. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 244. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90517-0. Zbl 0492.12002.
- Lang, Serge (1990). Cyklomatomická pole I a II. Postgraduální texty z matematiky. 121 (druhé kombinované vydání). Springer Verlag. ISBN 3-540-96671-4. Zbl 0704.11038.
- Mazur, B.; Swinnerton-Dyer, P. (1974). "Aritmetika Weilových křivek". Inventiones Mathematicae. 25: 1–61. doi:10.1007 / BF01389997. Zbl 0281.14016.