Směrovaná algebraická topologie - Directed algebraic topology

v matematika, řízená algebraická topologie je upřesnění algebraická topologie pro směrované prostory, topologické prostory a jejich kombinatorické protějšky vybavené určitou představou o směru. Některé běžné příklady směrovaných prostorů jsou časoprostory a jednoduché sady. Základním cílem je najít algebraické invarianty, které klasifikují směrované prostory až k směrovaným analogům ekvivalence homotopy. Například, homotopické skupiny a základní n-grupoidy prostorů zobecnit na homotopy monoidů a zásadní n-kategorie řízených prostorů. Směrovaná algebraická topologie, stejně jako algebraická topologie, je motivována potřebou popsat kvalitativní vlastnosti komplexních systémů z hlediska algebraických vlastností stavových prostorů, které jsou často směrovány časem. Takto nasměrovaná algebraická topologie najde uplatnění v Souběžnost (počítačová věda), Řízení síťového provozu, Obecná relativita, Nekomutativní geometrie, Teorie přepisování, a Biologické systémy.^[1]

Směrované prostory

Bylo navrženo mnoho matematických definic, které formalizují představu o směrovaném prostoru. E. W. Dijkstra představil jednoduchý dialekt, se kterým se vypořádat semafory, takzvaný „PV jazyk“,^[2] a poskytnout každému PV programu abstraktní model: jeho „geometrickou sémantiku“. Každý takový model připouští přirozené částečně objednaný prostor (nebo pospace) struktura tj. a topologie a a částečná objednávka.^[3] Body modelu by měly být považovány za stavy programu a částečné pořadí za vztah „kauzality“ mezi státy. V návaznosti na tento přístup představují směrované cesty přes model, tj. Monotónní spojité cesty, stopy provádění programu. Z hlediska informatiky však mají výsledná místa vážnou nevýhodu. Protože dílčí objednávky jsou ze své podstaty antisymetrické, jediné směrované smyčky tj. směrované cesty, které končí tam, kde začínají, jsou konstantní smyčky.

Inspirovaný hladké potrubí, L. Fajstrup, E. Goubault a M. Raussen používají snop - teoretický přístup k definování místní pozice.^[4] Zhruba řečeno, místní pospace je topologický prostor společně s otevřená krytina jejichž prvky jsou obdařeny částečným řádem. Vzhledem k dvěma prvkům U a V krytiny je nutné, aby se dílčí řády na U a V shodovaly na křižovatce. Ačkoli místní pospace umožňují směrované smyčky, tvoří kategorii, jejíž vrchnosti - pokud existují - mohou být poněkud špatně vychované.

S vědomím, že směrované cesty (místního) pospace se jeví jako vedlejší produkt (místního) dílčího řádu - i když samy obsahují většinu relevantních informací o směru - definuje Marco Grandis d-mezery^[5] jako topologické prostory obdařené sbírkou cest, o jejichž členech se říká, že jsou směrovány, takže je směrována jakákoli konstantní cesta, je stále směrováno zřetězení dvou směrovaných cest a je směrována jakákoli podcesta směrované cesty. D-prostory přijímají nekonstantní směrované smyčky a tvoří kategorii, která se těší vlastnostem podobným těm, které má kategorie topologických prostorů.

Jak ukázal Sanjeevi Krishnan, nevýhodám místních pozpaces se lze vyhnout, pokud rozšíříme pojem pospaces pomocí „cosheaves“. Pojem proud^[6] je definována takto. Přesněji řečeno, zvažujeme předobjednávky na otevřených podmnožinách a vyžaduje se, aby vzhledem k jakékoli otevřené podmnožině U a jakékoli otevřené pokrývce Ω U byl předobjednávka spojená s U 'generována' předobjednávkami spojenými s každým členem Ω. Výsledná kategorie se chová stejně pěkně jako kategorie d-prostorů. Ve skutečnosti je možné definovat směrovanou geometrickou realizaci kubické množiny (zjednodušená množina) tak, aby její základním topologickým prostorem byla (obvyklá) geometrická realizace. Ve skutečnosti existuje přirozené vložení G kategorie proudů do kategorie d-prostorů. Toto vložení připouští levici adjunkční funktor F. Obrazy F a G jsou izomorfní, izomorfismus se získá omezením F a G na tyto obrazy. Kategorie d-prostorů tak může být považována za jednu z nejobecnějších formalizací intuitivní představy o směrovaném prostoru.

Řízené homotopy mezi směrovanými cestami

Bez ohledu na druh směrovaného prostoru na úvahách (pospaces, lokální pospaces, d-mezery nebo proudy) je zřejmé zapomnětlivý funktor do kategorie topologických prostorů. Vzhledem ke dvěma směrovaným cestám γ a δ je směrovaná homotopie od γ do δ morfismem směrovaných prostorů h, jehož podkladová mapa U (h) je homotopie - v obvyklém smyslu - mezi podkladem cesta (topologie) U (γ) a U (δ). V algebraické topologii existuje homotopie od α do β právě tehdy, pokud existuje homotopie od β do α. Z důvodu nevratnosti to již neplatí pro směrované homotopy. V důsledku toho definujeme kongruenci ${ displaystyle sim}$ jako nejméně rovnocenný vztah na směrovaných drahách, který je kompatibilní se zřetězením a vztahuje se na γ až δ, jakmile existuje směrovaná homotopie od γ do δ. Vraťme se zpět k motivaci počítačové vědy, kde směrované cesty představují stopy po provedení, směrované homotopy poskytují způsob, jak identifikovat stopy po provedení. Proto vzhledem k směrovanému prostoru X, který modeluje nějaký souběžný program P, lze topologii X považovat za „místní komutace“ akcí v programu P. V klasických modelech souběžnosti, jako jsou „asynchronní grafy“ „Mazurkiewiczových stop“, místní komutace jsou poskytovány vztahem přes šipky nebo akce.

Základní kategorie

Základní kategorie směrovaného prostoru je definována napodobováním konstrukce základní grupoid^[7][8] topologického prostoru. Přesněji řečeno zaměřený prostor ${ displaystyle X}$, uvažujeme o (malé) kategorii ${ displaystyle DX}$ přesměrovaných cest ${ displaystyle X}$ až po monotónní reparametrizaci^[9] a definovat základní kategorii ${ displaystyle X}$ jako kvocient ${ displaystyle pi _ {1} (X) : = DX / sim}$. Tato konstrukce vede k funktoru ${ displaystyle pi _ {1}}$ z kategorie směrovaných prostorů do kategorie malých kategorií.

Některé vlastnosti

Funktor základní kategorie splňuje něco takového Věta Seifert – van Kampen.

Funktor základní kategorie zachovává binární produkty.

V důsledku antisymetrie je základní kategorie C pospace bez smyčky tj. pro všechny objekty x a y, pokud jsou obě homsety C (x, y) a C (y, x) neprázdné, pak x = y a C (x, x) je singleton.

Dvě směrované cesty γ a δ sdílející stejný obraz, tj. {Γ (t) | t∊dom (γ)} = {δ (t) | t∊dom (δ)} jsou dihomotopické, tj. γ ~ δ. Tato vlastnost zjevně selhává v algebraické topologii, např. zvažte cesty vinutí kolem kruhu.

Vzhledem k tomu, že X je model nějakého souběžného programu P, lze počítat homsety základní kategorie X. Kromě toho, pokud v P nedojde k žádné instrukci smyčky, pak jsou homsety X konečné. To je případ, kdy P je PV program ve smyslu původně daném Dijkstra. Ve srovnání jsou všechny netriviální homsety kategorie směrovaných cest DX nespočetné.

Kategorie komponent

Zatímco konstrukce základní kategorie drasticky zmenšuje velikost homsetů DX, ponechává svou sbírku objektů beze změny. A přesto, pokud X je geometrický model nějakého souběžného programu P, je tato kolekce nespočetná. The kategorie komponent byl představen, aby našel úplnou podkategorii základní kategorie s co nejmenším počtem objektů, i když obsahuje všechny relevantní informace z originálu.^[10] Li ${ displaystyle C}$ je bez smyčky kategorie, poté její kategorie komponent ${ displaystyle pi _ {0} (C)}$ lze popsat v jazyce teorie kategorií bez předpokladu ${ displaystyle C}$ je základní kategorií nějakého směrovaného prostoru. V tomto případě intuitivní pojem bezvýznamný morfismus je formován jako sbírka ${ displaystyle Sigma}$ morfismů ${ displaystyle C}$ splňující některé vlastnosti stability a jejichž prvky oba zachovávají minulost jejich zdroje a budoucnost jejich cíle. Pak ${ displaystyle pi _ {0} (C)}$ je definován jako kvocient^[11] ${ displaystyle C / Sigma}$ který je prokázán jako rovnocenný s lokalizace kategorie ${ displaystyle C [ Sigma ^ {- 1}]}$.^[12] Kategorie komponent FV programu P je poté definována jako ${ displaystyle pi _ {0} ( pi _ {1} (X))}$ kde ${ displaystyle X}$ je geometrický model P. Jako zajímavá vlastnost je kategorie komponent libovolného FV programu konečný.

Témata

Homotopy s vyšší objednávkou

Teorii homotopy zaměřenou na vyšší řád lze vyvinout prostřednictvím válec funktor a cesta funktor, všechny konstrukce a vlastnosti jsou vyjádřeny v nastavení kategorické algebry${ displaystyle ^ {[1]}}$. Tento přístup zdůrazňuje kombinatorickou roli kubických množin v směrované algebraické topologii.

Přístup kategorie modelů

Philippe Gaucher navrhl alternativní formalizaci pojmu směrovaný prostor, který je zhruba řečeno založen na kategorii řízených grafů obohacených v topologických prostorech, tj. Soubor šipek od x do y je vybaven topologií. Tento přístup vede k tzv. Kategorii Proudí,^[13] který připouští netriviální kategorie modelu struktura. Představil topologickou verzi (zde topologická kategorie znamená kategorii vybavenou topologickým zapomnětlivým funktorem směrem ke kategorii množin) s využitím varianty d-prostorů Marco Grandise, vícebodových d-prostorů.^[14] V nedávných dokumentech zkonstruoval podobné struktury modelové kategorie na kubických vyšších dimenzionálních přechodových systémech (jejichž reflexní podkategorie je jednou z Cattani-Sassoneových vyšších dimenzionálních přechodových systémů) ^[15] a na označených symetrických předkubických sadách.^[16] Společným bodem všech těchto struktur modelových kategorií je 1) přítomnost kofibrace {0,1} → {0} identifikující dva stavy, 2) nesmluvnost směrovaného segmentu, 3) silný vztah s počítačem- vědecká představa o bisimulaci. Válce kategorie toků a kategorie vícebodových d-prostorů způsobují, že koule oscilují udržováním konstantní množiny stavů. Všechny objekty modelových kategorií toků a vícebodových d-prostorů jsou vláknité. Lze ověřit, že válce těchto modelových kategorií splňují vlastnost výměny homotopy zavedenou Lafont-Métayer-Worytkiewicz ve své práci o globálních kategoriích omega. Válce kategorie kubických přechodových systémů a označených symetrických předkubických množin způsobují, že kostky oscilují také udržováním konstantní množiny stavů. Tyto posledně jmenované struktury modelových kategorií jsou konstruovány pomocí doktora M. Olschoka, který zobecňuje Cisinského práci na homotopické teorii toposů. V těchto druhých strukturách modelové kategorie jsou všechny objekty cofibrant.

Thomas Kahl prokázal existenci netriviální modelové kategorie pospaces. Přesto se tato struktura stěží liší od modelové struktury v topologických prostorech. V mnoha ohledech to spočívá pouze v zapomenutí částečného pořadí objektů.

Krzysztof Worytkiewicz používá pokročilé metody z teorie modelových kategorií (zejména lokalizace a dokončení) k vytvoření modelové kategorie z malých kategorií konečně-dimenzionálních řízených hyperkrychlí.

Ve skutečnosti musí každý pokus definovat modelovou strukturu nad nějakou kategorií směrovaných prostorů čelit následující otázce: měla by být zahrnuta mapa ${ displaystyle {* } hookrightarrow [0,1]}$ být cofibration, a slabá rovnocennost, oba (triviální kofibrace) nebo žádný. Například pokud předpokládáme ${ displaystyle {0 } hookrightarrow [0,1]}$ je tedy triviální kofibrace ${ displaystyle {0 } krát [0,1] pohár [0,1] krát {0 }}$ (jako subprostor směrované roviny) je ekvivalentní s bodem, protože sbírka triviálních kofibrací je stabilní pod tlakem.^[17] Tato skutečnost je pro aplikaci informatiky nepřípustná, i když je to triviální fakt z teorie homotopie, pokud upustíme od směrového prvku.

Směrované krytiny

...

Software

...

Reference

Další čtení

• Směrovaná algebraická topologie a souběžnost, Lisbeth Fajstrup, Éric Goubault, Samuel Mimram, Emmanuel Haucourt, Martin Raussen
• Teorie řízené homotopy, II. Konstrukty homotopy, Marco Grandis, Teorie a aplikace kategorií, sv. 10, č. 14, 2002, s. 369–391
• Několik bodů na směrovanou algebraickou topologii, Marco Grandis
• Řízená kombinatorická homologie a nekomutativní tori, Marco Grandis, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 138 (2005), 233-262