Difomorfometrie - Diffeomorphometry

Difeomorfometrie je metrické studium obrazů, tvaru a formy v oboru výpočetní anatomie (CA) v lékařské zobrazování. Studium obrazů v výpočetní anatomie spoléhat na vysoce dimenzionální difeomorfismus skupiny ${ displaystyle varphi v operatorname {Diff} _ {V}}$ které generují oběžné dráhy formuláře ${ displaystyle { mathcal {I}} doteq { varphi cdot I mid varphi in operatorname {Diff} _ {V} }}$, na kterých obrázcích ${ displaystyle I in { mathcal {I}}}$ může být hustý skalární magnetická rezonance nebo počítačová axiální tomografie snímky. Pro deformovatelné tvary toto je sbírka rozdělovače ${ displaystyle { mathcal {M}} doteq { varphi cdot M mid varphi v operatorname {Diff} _ {V} }}$, body, křivky a povrchy. Difeomorfismy pohybují obrazy a tvary po oběžné dráze podle ${ displaystyle ( varphi, I) mapsto varphi cdot I}$ které jsou definovány jako skupinové akce výpočetní anatomie.

Dráha tvarů a forem je vytvořena do metrického prostoru indukcí metriky skupiny diffeomorfismů. Studie metrik na skupinách difeomorfismů a studium metrik mezi potrubími a povrchy byla oblast významného výzkumu.^{[1][2][3][4][5][6]} Ve výpočetní anatomii metrika diffeomorfometrie měří, jak blízko a daleko jsou dva tvary nebo obrázky od sebe. Neformálně metrický je konstruován definováním toku difemorfismů ${ displaystyle { dot { phi}} _ {t}, t v [0,1], phi _ {t} v operatorname {Diff} _ {V}}$ které spojují prvky skupiny z jednoho do druhého, tak pro ${ displaystyle varphi, psi v operatorname {Diff} _ {V}}$ pak ${ displaystyle phi _ {0} = varphi, phi _ {1} = psi}$. Metrika mezi dvěma souřadnicovými systémy nebo difeomorfismy je pak nejkratší délka nebo geodetický tok spojovat je. Metrika prostoru souvisejícího s geodetikou je dána vztahem${ displaystyle rho ( varphi, psi) = inf _ { phi: phi _ {0} = varphi, phi _ {1} = psi} int _ {0} ^ {1} | { dot { phi}} _ {t} | _ { phi _ {t}} , dt}$. Metriky na oběžných drahách ${ displaystyle { mathcal {I}}, { mathcal {M}}}$ jsou zděděny z metriky indukované ve skupině diffeomorfismu.

Skupina ${ displaystyle varphi v operatorname {Diff} _ {V}}$ je tedy vyroben do hladké Riemannovo potrubí s Riemannovou metrikou ${ displaystyle | cdot | _ { varphi}}$ přidružené k tečným prostorům vůbec ${ displaystyle varphi v operatorname {Diff} _ {V}}$. The Riemannova metrika uspokojuje v každém bodě potrubí ${ displaystyle phi in operatorname {Diff} _ {V}}$ tady je vnitřní produkt vyvolání normy na tečný prostor ${ displaystyle | { dot { phi}} _ {t} | _ { phi _ {t}}}$ který se hladce mění napříč ${ displaystyle operatorname {Diff} _ {V}}$.

Často známé Euklidovská metrika není přímo použitelný, protože vzory tvarů a obrázků netvoří a vektorový prostor. V Riemannovský orbitální model výpočetní anatomie, difeomorfismy působící na formy ${ displaystyle varphi cdot I in { mathcal {I}}, varphi in operatorname {Diff} _ {V}, M in { mathcal {M}}}$ nejednejte lineárně. Existuje mnoho způsobů, jak definovat metriky, a pro sady přidružené k tvarům Hausdorffova metrika Je další. Metoda použitá k vyvolání Riemannova metrika je vyvolat metriku na oběžné dráze tvarů jejím definováním, pokud jde o metrickou délku mezi difeomorfními souřadnicovými systémovými transformacemi toků. Měření délek geodetického toku mezi souřadnicovými systémy na oběžné dráze tvarů se nazývá diffeomorfometrie.

Skupina difeomorfismů generovaných jako Lagrangeovy a Eulerianovy toky

Difefomorfismy v výpočetní anatomie jsou generovány k uspokojení Lagrangeova a Eulerova specifikace tokových polí, ${ displaystyle varphi _ {t}, t v [0,1]}$, generované běžnou diferenciální rovnicí

${ displaystyle { frac {d} {dt}} varphi _ {t} = v_ {t} circ varphi _ {t}, varphi _ {0} = operatorname {id};}$

(Lagrangeův tok)

s Eulerianovými vektorovými poli ${ displaystyle v doteq (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3})}$ v ${ displaystyle { mathbb {R}} ^ {3}}$ pro ${ displaystyle v_ {t} = { dot { varphi}} _ {t} circ varphi _ {t} ^ {- 1}, t v [0,1]}$. Inverze pro tok je dána vztahem${ displaystyle { frac {d} {dt}} varphi _ {t} ^ {- 1} = - (D varphi _ {t} ^ {- 1}) v_ {t}, varphi _ { 0} ^ {- 1} = operatorname {id},}$a ${ displaystyle 3 krát 3}$ Jacobian matrix for flow in ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ uveden jako ${ displaystyle D varphi doteq vlevo ({ frac { částečné varphi _ {i}} { částečné x_ {j}}} vpravo).}$

Pro zajištění plynulého toku difeomorfismů s inverzí, vektorová pole ${ displaystyle { mathbb {R}} ^ {3}}$ musí být alespoň 1krát nepřetržitě diferencovatelné v prostoru^[7][8] které jsou modelovány jako prvky Hilbertova prostoru ${ displaystyle (V, | cdot | _ {V})}$ za použití Sobolev vkládání vět tak, aby každý prvek ${ displaystyle v_ {i} v H_ {0} ^ {3}, i = 1,2,3,}$ má 3-čtvercově integrovatelné deriváty, z čehož vyplývá ${ displaystyle (V, | cdot | _ {V})}$ plynulé vkládání do jednorázových nepřetržitě rozlišitelných funkcí.^[7][8] Skupina difeomorfismu jsou toky s vektorovými poli absolutně integrovatelnými v Sobolevově normě:

${ displaystyle operatorname {Diff} _ {V} doteq { varphi = varphi _ {1}: { dot { varphi}} _ {t} = v_ {t} circ varphi _ {t }, varphi _ {0} = operatorname {id}, int _ {0} ^ {1} | v_ {t} | _ {V} , dt < infty } .}$

(Diffeomorphism Group)

Riemannovský orbitální model

Tvary v Computational Anatomy (CA) jsou studovány pomocí diffeomorfního mapování pro stanovení korespondence mezi anatomickými souřadnicovými systémy. V tomto nastavení jsou trojrozměrné lékařské obrazy modelovány jako difemorfické transformace některých exemplářů, nazývaných šablona ${ displaystyle I_ {temp}}$, což má za následek, že pozorované obrazy budou prvky náhodného orbitální model CA. U obrázků jsou definovány jako ${ displaystyle I in { mathcal {I}} doteq {I = I_ {temp} circ varphi, varphi in operatorname {Diff} _ {V} }}$, přičemž u grafů představujících dílčí potrubí označeno jako ${ displaystyle { mathcal {M}} doteq { varphi cdot M_ {temp}: varphi in operatorname {Diff} _ {V} }}$.

Riemannova metrika

Dráha tvarů a forem ve výpočetní anatomii je generována akcí skupiny ${ displaystyle { mathcal {I}} doteq { varphi cdot I: varphi in operatorname {Diff} _ {V} }}$ , ${ displaystyle { mathcal {M}} doteq { varphi cdot M: varphi v operatorname {Diff} _ {V} }}$. Ty jsou přeměněny na Riemannovy dráhy zavedením metriky spojené s každým bodem a přidruženým tečným prostorem. Za tímto účelem je definována metrika na skupině, která indukuje metriku na oběžné dráze. Vezměte jako metriku pro Výpočetní anatomie na každém prvku tečného prostoru ${ displaystyle varphi v operatorname {Diff} _ {V}}$ ve skupině difeomorfismů

${ displaystyle | { dot { varphi}} | _ { varphi} doteq | { dot { varphi}} circ varphi ^ {- 1} | _ {V} = | v | _ {V},}$

s vektorovými poli modelovanými tak, aby byla v Hilbertově prostoru s normou v Hilbertův prostor ${ displaystyle (V, | cdot | _ {V})}$. My modelujeme ${ displaystyle V}$ jako reprodukce jádra Hilbertova prostoru (RKHS) definované operátorem diferenciálu 1-1 ${ displaystyle A: V rightarrow V ^ {*}}$, kde ${ displaystyle V ^ {*}}$ je dual-space. Obecně, ${ displaystyle sigma doteq Av ve V ^ {*}}$ je zobecněná funkce nebo distribuce, lineární forma spojená s vnitřním produktem a normou pro zobecněné funkce jsou interpretovány integrací částmi podle pro ${ displaystyle v, w ve V}$,

${ displaystyle langle v, w rangle _ {V} doteq int _ {X} Av cdot w , dx, | v | _ {V} ^ {2} doteq int _ { X} Av cdot v , dx, v, w ve V .}$

Když ${ displaystyle Av doteq mu , dx}$, hustota vektoru, ${ displaystyle int Av cdot v , dx doteq int mu cdot v , dx = součet _ {i = 1} ^ {3} mu _ {i} v_ {i} , dx .}$

Operátor diferenciálu je vybrán tak, aby Greenovo jádro spojené s inverzí je dostatečně hladké, aby vektorová pole podporují 1-spojitou derivaci. The Sobolevovo vkládání argumenty věty byly provedeny při demonstraci, že pro plynulé toky je nutná 1-spojitá derivace. The Zelenina operátor generovaný z Greenova funkce (skalární případ) spojený s operátorem diferenciálu vyhlazuje.

Pro správnou volbu ${ displaystyle A}$ pak ${ displaystyle (V, | cdot | _ {V})}$ je u provozovatele RKHS ${ displaystyle K = A ^ {- 1}: V ^ {*} rightarrow V}$. Greenova jádra spojená s operátorem diferenciálu vyhlazují, protože pro ovládání dostatečného množství derivátů ve čtvercovém integrálním smyslu jádro ${ displaystyle k ( cdot, cdot)}$ je kontinuálně diferencovatelný v obou proměnných, což znamená

${ displaystyle KAv (x) _ {i} doteq sum _ {j} int _ {{ mathbb {R}} ^ {3}} k_ {ij} (x, y) Av_ {j} (y ) , dy ve V .}$

Diffeomorfometrie prostoru tvarů a forem

Pravá invariantní metrika o difeomorfismech

Metrika skupiny difeomorfismů je definována vzdáleností definovanou na dvojicích prvků ve skupině difeomorfismů podle

${ displaystyle d _ { mathrm {Diff} _ {V}} ( psi, varphi) = inf _ {v_ {t}} vlevo ( int _ {0} ^ {1} int _ {X } Av_ {t} cdot v_ {t} , dx , dt: phi _ {0} = psi, phi _ {1} = varphi, { dot { phi}} _ {t} = v_ {t} circ phi _ {t} right) ^ {1/2} .}$

(metrické difeomorfismy)

Tato vzdálenost poskytuje pravo-invariantní metriku diffeomorfometrie,^[9][10][11] invariantní k reparametizaci prostoru, protože pro všechny ${ displaystyle phi in operatorname {Diff} _ {V}}$,

${ displaystyle d _ { operatorname {Diff} _ {V}} ( psi, varphi) = d _ { operatorname {Diff} _ {V}} ( psi circ phi, varphi circ phi) .}$

Metrika tvarů a tvarů

Vzdálenost na obrázcích,^[12] ${ displaystyle d _ { mathcal {I}}: { mathcal {I}} times { mathcal {I}} rightarrow mathbb {R} ^ {+}}$,

${ displaystyle d _ { mathcal {I}} (I, J) = inf _ { phi in operatorname {Diff} _ {V}: phi cdot I = J} d _ { operatorname {Diff} _ {V}} (id, phi) ;}$

(metrické tvary)

Vzdálenost tvarů a tvarů,^[13] ${ displaystyle d _ { mathcal {M}}: { mathcal {M}} krát { mathcal {M}} rightarrow mathbb {R} ^ {+}}$,

${ displaystyle d _ { mathcal {M}} (M, N) = inf _ { phi in operatorname {Diff} _ {V}: phi cdot M = N} d _ { mathrm {Diff} _ {V}} ( operatorname {id}, phi) .}$

(metrické tvary)

Metrika geodetických toků orientačních bodů, povrchů a objemů na oběžné dráze

Pro výpočet metriky jsou geodetické systémy dynamickým systémem, tokem souřadnic ${ displaystyle t mapsto phi _ {t} v operatorname {Diff} _ {V}}$ a řízení vektorového pole ${ displaystyle t mapsto v_ {t} ve V}$ související prostřednictvím ${ displaystyle { dot { phi}} _ {t} = v_ {t} cdot phi _ {t}, phi _ {0} = operatorname {id}.}$ Hamiltonovský pohled^{[14][15][16][17][18]} upravuje rozložení hybnosti ${ displaystyle Av ve V ^ {*}}$ z hlediska Hamiltonova hybnost, Lagrangeův multiplikátor ${ displaystyle p: { dot { phi}} mapsto (p mid { dot { phi}})}$ omezující Lagrangeovu rychlost ${ displaystyle { dot { phi}} _ {t} = v_ {t} circ phi _ {t}}$. proto:

${ displaystyle H ( phi _ {t}, p_ {t}, v_ {t}) = int _ {X} p_ {t} cdot (v_ {t} circ phi _ {t}) , dx - { frac {1} {2}} int _ {X} Av_ {t} cdot v_ {t} , dx.}$

The Princip principu Pontryagin^[14] dává Hamiltonian ${ displaystyle H ( phi _ {t}, p_ {t}) doteq max _ {v} H ( phi _ {t}, p_ {t}, v) .}$Optimalizační vektorové pole ${ displaystyle v_ {t} doteq operatorname {argmax} _ {v} H ( phi _ {t}, p_ {t}, v)}$ s dynamikou ${ displaystyle { dot { phi}} _ {t} = { frac { částečné H ( phi _ {t}, p_ {t})} { částečné p}}, { dot {p} } _ {t} = - { frac { částečné H ( phi _ {t}, p_ {t})} { částečné phi}}}$. Podél geodézie je Hamiltonian konstantní:^[19]${ displaystyle H ( phi _ {t}, p_ {t}) = H ( operatorname {id}, p_ {0}) = { frac {1} {2}} int _ {X} p_ { 0} cdot v_ {0} , dx}$. Metrická vzdálenost mezi souřadnicovými systémy spojenými prostřednictvím geodetiky určená indukovanou vzdáleností mezi identitou a skupinovým prvkem:

${ displaystyle d _ { mathrm {Diff} _ {V}} ( operatorname {id}, varphi) = | v_ {0} | _ {V} = { sqrt {2H ( operatorname {id} , p_ {0})}}}$

Orientační bod nebo geodetická sada bodů

Pro památky, ${ displaystyle x_ {i}, i = 1, tečky, n}$, Hamiltonova hybnost

${ displaystyle p (i), i = 1, tečky, n}$

s formou Hamiltonian dynamiky

${ displaystyle H ( phi _ {t}, p_ {t}) = { frac {1} {2}} textstyle sum _ {j} sum _ {i} displaystyle p_ {t} (já ) cdot K ( phi _ {t} (x_ {i}), phi _ {t} (x_ {j})) p_ {t} (j)}$

s

${ displaystyle { begin {cases} v_ {t} = textstyle sum _ {i} displaystyle K ( cdot, phi _ {t} (x_ {i})) p_ {t} (i), { dot {p}} _ {t} (i) = - (Dv_ {t}) _ {| _ { phi _ {t} (x_ {i})}} ^ {T} p_ { t} (i), i = 1,2, dots, n end {cases}}}$

Metrika mezi orientačními body ${ displaystyle d ^ {2} = textový styl sum _ {i} p_ {0} (i) cdot sum _ {j} displaystyle K (x_ {i}, x_ {j}) p_ {0} (j).}$

Dynamika spojená s touto geodetikou je uvedena na přiloženém obrázku.

Povrchová geodetika

Pro povrchy, Hamiltonova hybnost je definována napříč povrchem má Hamiltonian

${ displaystyle H ( phi _ {t}, p_ {t}) = { frac {1} {2}} int _ {U} int _ {U} p_ {t} (u) cdot K ( phi _ {t} (m (u)), phi _ {t} (m (v))) p_ {t} (v) , du , dv}$

a dynamika

${ displaystyle { begin {cases} v_ {t} = textstyle int _ {U} displaystyle K ( cdot, phi _ {t} (m (u))) p_ {t} (u) , du , { dot {p}} _ {t} (u) = - (Dv_ {t}) _ {| _ { phi _ {t} (m (u))}} ^ {T } p_ {t} (u), u v U end {případů}}}$

Metrika mezi souřadnicemi povrchu ${ displaystyle d ^ {2} = (p_ {0} mid v_ {0}) = int _ {U} p_ {0} (u) cdot int _ {U} K (m (u), m (u ^ { prime})) p_ {0} (u ^ { prime}) , du , du ^ { prime}}$

Objemová geodetika

Pro objemy Hamiltonian

${ displaystyle H ( phi _ {t}, p_ {t}) = { frac {1} {2}} int _ {{ mathbb {R}} ^ {3}} int _ {{ mathbb {R}} ^ {3}} p_ {t} (x) cdot K ( phi _ {t} (x), phi _ {t} (y)) p_ {t} (y) , dx , dy displaystyle}$

s dynamikou

${ displaystyle { begin {cases} v_ {t} = textstyle int _ {X} displaystyle K ( cdot, phi _ {t} (x)) p_ {t} (x) , dx , { dot {p}} _ {t} (x) = - (Dv_ {t}) _ {| _ { phi _ {t} (x)}} ^ {T} p_ {t} ( x), x in { mathbb {R}} ^ {3} end {cases}}}$

Metrika mezi objemy ${ displaystyle displaystyle d ^ {2} = (p_ {0} mid v_ {0}) = int _ { mathbb {R} ^ {3}} p_ {0} (x) cdot int _ {{ mathbb {R}} ^ {3}} K (x, y) p_ {0} (y) , dy , dx.}$

Software pro difeomorfní mapování

Softwarové sady obsahující různé algoritmy diffeomorfního mapování zahrnují následující:

• Deformetrica^[20]
• Mravenci^[21]
• DARTEL^[22] Voxelová morfometrie (VBM)
• DÉMONY^[23]
• LDDMM^[24]
• Stacionární LDDMM^[25]

Cloudový software

• MRICloud^[26]

Reference