Skupinové akce ve výpočetní anatomii - Group actions in computational anatomy

Skupinové akce jsou pro Riemannova geometrie a definování oběžné dráhy (teorie řízení). Oběžné dráhy výpočetní anatomie skládá se z anatomické tvary a lékařské obrazy; anatomické tvary jsou podmanifolds diferenciální geometrie skládající se z bodů, křivek, ploch a dílčích objemů. Tím se zobecnily myšlenky známějších oběžných drah lineární algebra což jsou lineární vektorové prostory. Lékařské snímky jsou skalární a tenzorové snímky z lékařské zobrazování. Skupinové akce se používají k definování modelů lidského tvaru, které se přizpůsobují variacím. Tyto oběžné dráhy jsou deformovatelné šablony, jak byly původně formulovány abstraktněji teorie vzorů.

Orbitový model výpočetní anatomie

Ústředním modelem lidské anatomie ve výpočetní anatomii je a Skupiny a skupinové akce, klasická formulace z diferenciální geometrie. Dráha se nazývá prostor tvary a formy.^[1] Prostor tvarů je označen ${ displaystyle m in { mathcal {M}}}$ , s skupina ${ displaystyle ({ mathcal {G}}, circ)}$ se zákonem o složení ${ displaystyle circ}$ ; akce skupiny na tvary je označena ${ displaystyle g cdot m}$ , kde je akce skupiny ${ displaystyle g cdot m in { mathcal {M}}, m in { mathcal {M}}}$ je definován tak, aby uspokojil

{ displaystyle (g circ g ^ { prime}) cdot m = g cdot (g ^ { prime} cdot m) v { mathcal {M}}.}

Dráha ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ šablony se stane prostorem všech tvarů, ${ displaystyle { mathcal {M}} doteq {m = g cdot m _ { mathrm {temp}}, g in { mathcal {G}} }}$ .

Několik skupinových akcí ve výpočetní anatomii

Centrální skupina v CA definována na svazcích v ${ displaystyle { mathbb {R}} ^ {3}}$ jsou skupina difeomorfismu ${ displaystyle { mathcal {G}} doteq mathrm {rozdíl}}$ což jsou mapování s 3 složkami ${ displaystyle phi ( cdot) = ( phi _ {1} ( cdot), phi _ {2} ( cdot), phi _ {3} ( cdot))}$ zákon o složení funkcí ${ displaystyle phi circ phi ^ { prime} ( cdot) doteq phi ( phi ^ { prime} ( cdot))}$ , s inverzní ${ displaystyle phi circ phi ^ {- 1} ( cdot) = phi ( phi ^ {- 1} ( cdot)) = operatorname {id}}$ .

Submanifolds: orgány, subcortical struktury, mapy, a ponoření

Pro dílčírozdělovače ${ displaystyle X podmnožina { mathbb {R}} ^ {3} v { mathcal {M}}}$ , parametrizované grafem nebo ponoření ${ displaystyle m (u), u v U}$ , difeomorfní akce tok polohy

{ Displaystyle phi cdot m (u) doteq phi circ m (u), u v U}

.

Skalární obrazy jako MRI, CT, PET

Nejoblíbenější jsou skalární obrázky, ${ displaystyle I (x), x in { mathbb {R}} ^ {3}}$ , s akcí na pravé straně přes inverzní.

{ displaystyle phi cdot I (x) = I circ phi ^ {- 1} (x), x in { mathbb {R}} ^ {3}}

.

Orientované tečny na křivkách, vlastní vektory tenzorových matic

Při různých akcích se používá mnoho různých zobrazovacích modalit. Pro takové obrázky ${ displaystyle I (x)}$ je tedy trojrozměrný vektor

{ displaystyle varphi cdot I = ((D varphi) , I) circ varphi ^ {- 1},}

{ displaystyle varphi hvězda I = ((D varphi ^ {T}) ^ {- 1} I) circ varphi ^ {- 1}}

Tenzorové matice

Cao a kol.^[2] zkoumané akce pro mapování MRI obrazů měřené difuzním tenzorovým zobrazováním a reprezentované prostřednictvím tam principiálního vlastního vektoru. Pro tenzorová pole pozitivně orientovaný ortonormální základ ${ displaystyle I (x) = (I_ {1} (x), I_ {2} (x), I_ {3} (x))}$ z ${ displaystyle { mathbb {R}} ^ {3}}$ , nazývané rámce, označen vektorový součin ${ displaystyle I_ {1} krát I_ {2}}$ pak

{ displaystyle varphi cdot I = left ({ frac {D varphi I_ {1}} { | D varphi , I_ {1} |}}, { frac {(D varphi ^ {T}) ^ {- 1} I_ {3} krát D varphi , I_ {1}} { | (D varphi ^ {T}) ^ {- 1} I_ {3} krát D varphi , I_ {1} |}}, { frac {(D varphi ^ {T}) ^ {- 1} I_ {3}} { | (D varphi ^ {T}) ^ {- 1} I_ {3} |}} vpravo) circ varphi ^ {- 1} ,}

Frénetův rámec tří ortonormálních vektorů, ${ displaystyle I_ {1}}$ deformuje jako tečna, ${ displaystyle I_ {3}}$ deformuje jako normální k rovině generované ${ displaystyle I_ {1} krát I_ {2}}$ , a ${ displaystyle I_ {3}}$ . H je jedinečně omezeno základem, který je pozitivní a ortonormální.

Pro ${ displaystyle 3 krát 3}$ nezáporné symetrické matice, akce by se stala ${ displaystyle varphi cdot I = (D varphi , ID varphi ^ {T}) circ varphi ^ {- 1}}$ .

Pro mapování obrázků MRI DTI^[3]^[4] (tenzory), pak se vlastní hodnoty zachovají s difeomorfismem rotujícími vlastními vektory a zachovají vlastní hodnoty. Vzhledem k vlastním prvkům ${ displaystyle { lambda _ {i}, e_ {i}, i = 1,2,3 }}$ , pak se akce stane

{ displaystyle varphi cdot I doteq ( lambda _ {1} { hat {e}} _ {1} { hat {e}} _ {1} ^ {T} + lambda _ {2} { hat {e}} _ {2} { hat {e}} _ {2} ^ {T} + lambda _ {3} { hat {e}} _ {3} { hat {e} } _ {3} ^ {T}) circ varphi ^ {- 1}}

{ displaystyle { hat {e}} _ {1} = { frac {D varphi e_ {1}} { | D varphi e_ {1} |}} , { hat {e}} _ {2} = { frac {D varphi e_ {2} - langle { hat {e}} _ {1}, (D varphi e_ {2} rangle { hat {e}} _ { 1}} { | D varphi e_ {2} - langle { hat {e}} _ {1}, (D varphi e_ {2} rangle { hat {e}} _ {1} |}} , { hat {e}} _ {3} doteq { hat {e}} _ {1} times { hat {e}} _ {2} .}

Funkce distribuce orientace a vysoké úhlové rozlišení HARDI

Funkce distribuce orientace (ODF) charakterizuje úhlový profil funkce hustoty pravděpodobnosti difúze molekul vody a lze ji rekonstruovat pomocí difuzního zobrazování s vysokým úhlovým rozlišením (HARDI). ODF je funkce hustoty pravděpodobnosti definovaná na jednotkové kouli, ${ displaystyle { mathbb {S}} ^ {2}}$ . V oblasti informační geometrie,^[5] prostor ODF tvoří Riemannovo potrubí s metrikou Fisher-Rao. Pro účely LDDMM ODF mapování je zvolena reprezentace druhé odmocniny, protože se jedná o jedno z nejúčinnějších reprezentací, jaké jsou dosud k dispozici, protože různé Riemannovy operace, jako jsou geodetika, exponenciální mapy a mapy logaritmu, jsou k dispozici v uzavřené formě. V následujícím textu označte druhou odmocninu ODF ( ${ displaystyle { sqrt { text {ODF}}}}$ ) tak jako ${ displaystyle psi ({ bf {s}})}$ , kde ${ displaystyle psi ({ bf {s}})}$ není negativní, aby zajistila jedinečnost a ${ displaystyle int _ {{ bf {s}} in { mathbb {S}} ^ {2}} psi ^ {2} ({ bf {s}}) d { bf {s} } = 1}$ .

Označme diffeomorfní transformaci jako ${ displaystyle phi}$ . Skupinová akce difeomorfismu na ${ displaystyle psi ({ bf {s}})}$ , ${ displaystyle phi cdot psi}$ , musí zaručit nezápornost a ${ displaystyle int _ {{ bf {s}} in { mathbb {S}} ^ {2}} phi cdot psi ^ {2} ({ bf {s}}) d { bf {s}} = 1}$ . Na základě odvození v^[6] tato skupinová akce je definována jako

{ displaystyle { begin {aligned} (D phi) psi circ phi ^ {- 1} (x) = { sqrt { frac { det {{ bigl (} D _ { phi ^ { -1}} phi { bigr)} ^ {- 1}}} { left | {{ bigl (} D _ { phi ^ {- 1}} phi { bigr)} ^ {- 1 }} { bf {s}} doprava | ^ {3}}}} quad psi doleva ({ frac {(D _ { phi ^ {- 1}} phi { bigr)} ^ {-1} { bf {s}}} { | (D _ { phi ^ {- 1}} phi { bigr)} ^ {- 1} { bf {s}} |}}, phi ^ {- 1} (x) right), end {zarovnáno}}}

kde ${ displaystyle (D phi)}$ je Jacobian of ${ displaystyle phi}$ .

Reference

^ Miller, Michael I .; Younes, Laurent; Trouvé, Alain (01.03.2014). „Diffeomorphometry and geodesic positioning systems for human anatomy“. Technologie. 2 (1): 36. doi:10.1142 / S2339547814500010. ISSN 2339-5478. PMC 4041578. PMID 24904924.
^ Cao Y1, Miller MI, Winslow RL, Younes, velké deformace, diffeomorfní metrické mapování vektorových polí. IEEE Trans Med Imaging. Září 2005; 24 (9): 1216-30.
^ Alexander, D. C .; Pierpaoli, C .; Basser, P. J .; Gee, J. C. (2001-11-01). „Prostorové transformace obrazů difúze tenzorové magnetické rezonance“ (PDF). Transakce IEEE na lékařském zobrazování. 20 (11): 1131–1139. doi:10.1109/42.963816. ISSN 0278-0062. PMID 11700739. S2CID 6559551.
^ Cao, Yan; Miller, Michael I .; Mori, Susumu; Winslow, Raimond L .; Younes, Laurent (05.07.06). "Diffeomorphic Matching of Diffusion Tensor Images". Konference o počítačovém vidění a rozpoznávání vzorů 2006 (CVPRW'06). Řízení. Konference IEEE Computer Society o počítačovém vidění a rozpoznávání vzorů. 2006. p. 67. doi:10.1109 / CVPRW.2006.65. ISBN 978-0-7695-2646-1. ISSN 1063-6919. PMC 2920614. PMID 20711423.
^ Amari, S (1985). Diferenciálně-geometrické metody ve statistice. Springer.
^ Du, J; Goh, A; Qiu, A (2012). "Diffeomorphic metric mapping of high angular resolution diffusion imaging based on Riemannian structure of orientation distribution functions". IEEE Trans Med Imaging. 31 (5): 1021–1033. doi:10.1109 / TMI.2011.2178253. PMID 22156979. S2CID 11533837.

[1] Miller, Michael I .; Younes, Laurent; Trouvé, Alain (01.03.2014). „Diffeomorphometry and geodesic positioning systems for human anatomy“. Technologie. 2 (1): 36. doi:10.1142 / S2339547814500010. ISSN 2339-5478. PMC 4041578. PMID 24904924.

[2] Cao Y1, Miller MI, Winslow RL, Younes, velké deformace, diffeomorfní metrické mapování vektorových polí. IEEE Trans Med Imaging. Září 2005; 24 (9): 1216-30.

[3] Alexander, D. C .; Pierpaoli, C .; Basser, P. J .; Gee, J. C. (2001-11-01). „Prostorové transformace obrazů difúze tenzorové magnetické rezonance“ (PDF). Transakce IEEE na lékařském zobrazování. 20 (11): 1131–1139. doi:10.1109/42.963816. ISSN 0278-0062. PMID 11700739. S2CID 6559551.

[4] Cao, Yan; Miller, Michael I .; Mori, Susumu; Winslow, Raimond L .; Younes, Laurent (05.07.06). "Diffeomorphic Matching of Diffusion Tensor Images". Konference o počítačovém vidění a rozpoznávání vzorů 2006 (CVPRW'06). Řízení. Konference IEEE Computer Society o počítačovém vidění a rozpoznávání vzorů. 2006. p. 67. doi:10.1109 / CVPRW.2006.65. ISBN 978-0-7695-2646-1. ISSN 1063-6919. PMC 2920614. PMID 20711423.

[5] Amari, S (1985). Diferenciálně-geometrické metody ve statistice. Springer.

[6] Du, J; Goh, A; Qiu, A (2012). "Diffeomorphic metric mapping of high angular resolution diffusion imaging based on Riemannian structure of orientation distribution functions". IEEE Trans Med Imaging. 31 (5): 1021–1033. doi:10.1109 / TMI.2011.2178253. PMID 22156979. S2CID 11533837.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]