Válcové vícepólové momenty - Cylindrical multipole moments

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Válcové vícepólové momenty"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Téma tohoto článku nemusí splňovat požadavky Wikipedie obecný pokyn k notabilitě. Pomozte prosím určit notabilitu citováním spolehlivé sekundární zdroje to jsou nezávislý tématu a poskytnout jeho významné pokrytí nad rámec pouhé triviální zmínky. Pokud nelze určit významnost, je pravděpodobné, že článek bude sloučeny, přesměrovánnebo smazáno. Najít zdroje: "Válcové vícepólové momenty"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Červen 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Válcové vícepólové momenty jsou koeficienty v a rozšíření série a potenciál která se logaritmicky mění podle vzdálenosti ke zdroji, tj. jako ${displaystyle ln R}$. Takové potenciály vznikají v elektrický potenciál poplatků za dlouhé linky a analogických zdrojů pro magnetický potenciál a gravitační potenciál.

Kvůli jasnosti ilustrujeme expanzi pro jednořádkový poplatek, poté zobecníme na libovolné rozdělení síťových poplatků. Prostřednictvím tohoto článku jsou primované souřadnice jako ${displaystyle (ho ^ {prime}, heta ^ {prime})}$ odkazují na polohu liniových nábojů, zatímco neupravené souřadnice, jako např ${displaystyle (ho, heta)}$ odkazují na bod, ve kterém je potenciál pozorován. Používáme válcové souřadnice napříč libovolným vektorem ${displaystyle mathbf {r}}$ má souřadnice ${displaystyle (ho, heta, z)}$kde ${displaystyle ho}$ je poloměr od ${displaystyle z}$ osa, ${displaystyle heta}$ je azimutální úhel a ${displaystyle z}$ je normální Kartézská souřadnice. Předpokladem je, že síťové poplatky jsou nekonečně dlouhé a jsou v souladu s ${displaystyle z}$ osa.

Válcové vícepólové momenty síťového náboje

Obrázek 1: Definice pro válcové multipóly; při pohledu dolů ${displaystyle z ^ {prime}}$ osa

The elektrický potenciál poplatku za linku ${displaystyle lambda}$ nachází se na ${displaystyle (ho ^ {prime}, heta ^ {prime})}$ darováno

${displaystyle Phi (ho, heta) = {frac {-lambda} {2pi epsilon}} ln R = {frac {-lambda} {4pi epsilon}} ln vlevo | ho ^ {2} + vlevo (ho ^ {prime} ight) ^ {2} -2ho ho ^ {prime} cos (heta - heta ^ {prime}) ight |}$

kde ${displaystyle R}$ je nejkratší vzdálenost mezi liniovým nábojem a pozorovacím bodem.

Podle symetrie nemá elektrický potenciál nekonečné liniové nabíjení žádný ${displaystyle z}$-závislost. Poplatek za linku ${displaystyle lambda}$ je poplatek za jednotku délky v ${displaystyle z}$-direction, a má jednotky (poplatek / délka). Pokud je poloměr ${displaystyle ho}$ pozorovacího bodu je větší než poloměr ${displaystyle ho ^ {prime}}$ poplatku za linku můžeme vyloučit ${displaystyle ho ^ {2}}$

${displaystyle Phi (ho, heta) = {frac {-lambda} {4pi epsilon}} vlevo {2ln ho + ln vlevo (1- {frac {ho ^ {prime}} {ho}} e ^ {ileft (heta - heta ^ {prime} ight)} ight) left (1- {frac {ho ^ {prime}} {ho}} e ^ {- ileft (heta - heta ^ {prime} ight)} ight) ight}}$

a rozbalte logaritmy v pravomoci ${displaystyle (ho ^ {prime} / ho) <1}$

${displaystyle Phi (ho, heta) = {frac {-lambda} {2pi epsilon}} vlevo {ln ho -sum _ {k = 1} ^ {infty} vlevo ({frac {1} {k}} vpravo) vlevo ({frac {ho ^ {prime}} {ho}} ight) ^ {k} vlevo [cos k heta cos k heta ^ {prime} + sin k heta sin k heta ^ {prime} ight] ight}}$

které lze zapsat jako

${displaystyle Phi (ho, heta) = {frac {-Q} {2pi epsilon}} ln ho + left ({frac {1} {2pi epsilon}} ight) součet _ {k = 1} ^ {infty} {frac {C_ {k} cos k heta + S_ {k} sin k heta} {ho ^ {k}}}}$

kde jsou vícepólové momenty definovány jako
${displaystyle Q = lambda,}$
${displaystyle C_ {k} = {frac {lambda} {k}} vlevo (ho ^ {prime} ight) ^ {k} cos k heta ^ {prime},}$
a
${displaystyle S_ {k} = {frac {lambda} {k}} vlevo (ho ^ {prime} ight) ^ {k} sin k heta ^ {prime}.}$

Naopak, pokud je poloměr ${displaystyle ho}$ pozorovacího bodu je méně než poloměr ${displaystyle ho ^ {prime}}$ poplatku za linku můžeme vyloučit ${displaystyle left (ho ^ {prime} ight) ^ {2}}$ a rozšířit logaritmy v pravomocích ${displaystyle (ho / ho ^ {prime}) <1}$

${displaystyle Phi (ho, heta) = {frac {-lambda} {2pi epsilon}} vlevo {ln ho ^ {prime} -sum _ {k = 1} ^ {infty} vlevo ({frac {1} {k} } ight) left ({frac {ho} {ho ^ {prime}}} ight) ^ {k} left [cos k heta cos k heta ^ {prime} + sin k heta sin k heta ^ {prime} ight] ight }}$

které lze zapsat jako

${displaystyle Phi (ho, heta) = {frac {-Q} {2pi epsilon}} ln ho ^ {prime} + left ({frac {1} {2pi epsilon}} ight) součet _ {k = 1} ^ { infty} ho ^ {k} vlevo [I_ {k} cos k heta + J_ {k} sin k heta ight]}$

kde jsou vnitřní vícepólové momenty definovány jako
${displaystyle Q = lambda,}$
${displaystyle I_ {k} = {frac {lambda} {k}} {frac {cos k heta ^ {prime}} {left (ho ^ {prime} ight) ^ {k}}},}$
a
${displaystyle J_ {k} = {frac {lambda} {k}} {frac {sin k heta ^ {prime}} {left (ho ^ {prime} ight) ^ {k}}}.}$

Obecné válcové vícepólové momenty

Zobecnění na libovolné rozdělení poplatků za vedení ${displaystyle lambda (ho ^ {prime}, heta ^ {prime})}$ je přímočará. Funkční forma je stejná

${displaystyle Phi (mathbf {r}) = {frac {-Q} {2pi epsilon}} ln ho + left ({frac {1} {2pi epsilon}} ight) součet _ {k = 1} ^ {infty} { frac {C_ {k} cos k heta + S_ {k} sin k heta} {ho ^ {k}}}}$

a momenty lze psát

${displaystyle Q = int d heta ^ {prime} int ho ^ {prime} dho ^ {prime} lambda (ho ^ {prime}, heta ^ {prime})}$

${displaystyle C_ {k} = left ({frac {1} {k}} ight) int d heta ^ {prime} int dho ^ {prime} left (ho ^ {prime} ight) ^ {k + 1} lambda ( ho ^ {prime}, heta ^ {prime}) cos k heta ^ {prime}}$

${displaystyle S_ {k} = left ({frac {1} {k}} ight) int d heta ^ {prime} int dho ^ {prime} left (ho ^ {prime} ight) ^ {k + 1} lambda ( ho ^ {prime}, heta ^ {prime}) sin k heta ^ {prime}}$

Všimněte si, že ${displaystyle lambda (ho ^ {prime}, heta ^ {prime})}$ představuje linkový poplatek na jednotku plochy v ${displaystyle (ho - heta)}$ letadlo.

Vnitřní válcové vícepólové momenty

Podobně vnitřní válcová vícepólová expanze má funkční formu

${displaystyle Phi (ho, heta) = {frac {-Q} {2pi epsilon}} ln ho ^ {prime} + left ({frac {1} {2pi epsilon}} ight) součet _ {k = 1} ^ { infty} ho ^ {k} vlevo [I_ {k} cos k heta + J_ {k} sin k heta ight]}$

kde jsou definovány momenty

${displaystyle Q = int d heta ^ {prime} int ho ^ {prime} dho ^ {prime} lambda (ho ^ {prime}, heta ^ {prime})}$

${displaystyle I_ {k} = left ({frac {1} {k}} ight) int d heta ^ {prime} int dho ^ {prime} left [{frac {cos k heta ^ {prime}} {left (ho ^ {prime} ight) ^ {k-1}}} ight] lambda (ho ^ {prime}, heta ^ {prime})}$

${displaystyle J_ {k} = left ({frac {1} {k}} ight) int d heta ^ {prime} int dho ^ {prime} left [{frac {sin k heta ^ {prime}} {left (ho ^ {prime} ight) ^ {k-1}}} ight] lambda (ho ^ {prime}, heta ^ {prime})}$

Interakční energie válcových multipólů

Lze odvodit jednoduchý vzorec interakční energie válcových multipólů (hustota náboje 1) s druhou hustotou náboje. Nechat ${displaystyle f (mathbf {r} ^ {prime})}$ být druhou hustotou náboje a definovat ${displaystyle lambda (ho, heta)}$ jako jeho integrál nad z

${displaystyle lambda (ho, heta) = int dz f (ho, heta, z)}$

Elektrostatická energie je dána integrálem náboje vynásobeným potenciálem způsobeným válcovými multipóly

${displaystyle U = int d heta int ho dho lambda (ho, heta) Phi (ho, heta)}$

Pokud jsou válcové multipóly vnější, stane se tato rovnice

${displaystyle U = {frac {-Q_ {1}} {2pi epsilon}} int ho dho lambda (ho, heta) ln ho}$

${displaystyle + left ({frac {1} {2pi epsilon}} ight) součet _ {k = 1} ^ {infty} C_ {1k} int d heta int dho left [{frac {cos k heta} {ho ^ { k-1}}} ight] lambda (ho, heta)}$

${displaystyle + left ({frac {1} {2pi epsilon}} ight) součet _ {k = 1} ^ {infty} S_ {1k} int d heta int dho left [{frac {sin k heta} {ho ^ { k-1}}} ight] lambda (ho, heta)}$

kde ${displaystyle Q_ {1}}$, ${displaystyle C_ {1k}}$ a ${displaystyle S_ {1k}}$ jsou válcové vícepólové momenty rozložení náboje 1. Tento energetický vzorec lze snížit na pozoruhodně jednoduchou formu

${displaystyle U = {frac {-Q_ {1}} {2pi epsilon}} int ho dho lambda (ho, heta) ln ho + left ({frac {1} {2pi epsilon}} ight) součet _ {k = 1 } ^ {infty} kleft (C_ {1k} I_ {2k} + S_ {1k} J_ {2k} ight)}$

kde ${displaystyle I_ {2k}}$ a ${displaystyle J_ {2k}}$ jsou vnitřní válcové multipóly druhé hustoty náboje.

Analogický vzorec platí, pokud je hustota náboje 1 složena z vnitřních válcových multipólů

${displaystyle U = {frac {-Q_ {1} ln ho ^ {prime}} {2pi epsilon}} int ho dho lambda (ho, heta) + left ({frac {1} {2pi epsilon}} ight) součet _ {k = 1} ^ {infty} kleft (C_ {2k} I_ {1k} + S_ {2k} J_ {1k} ight)}$

kde ${displaystyle I_ {1k}}$ a ${displaystyle J_ {1k}}$ jsou vnitřní válcové vícepólové momenty rozložení náboje 1 a ${displaystyle C_ {2k}}$ a ${displaystyle S_ {2k}}$ jsou vnější válcové multipóly druhé hustoty náboje.

Jako příklad lze tyto vzorce použít k určení interakční energie malého protein v elektrostatické pole dvouvláknové DNA molekula; druhý je relativně přímý a nese konstantní lineární hustotu náboje kvůli fosfát skupiny jeho páteře.

Viz také

• Teorie potenciálu
• Vícepólové momenty
• Multipole expanze
• Axiální vícepólové momenty
• Sférické vícepólové momenty