Axiální vícepólové momenty - Axial multipole moments

Axiální vícepólové momenty plocha rozšíření série z elektrický potenciál distribuce acharge lokalizované poblíž původ podél jedné Kartézská osa, zde označovaný jako z-osa. Axiální vícepólovou expanzi lze však také použít na jakýkoli potenciál nebo pole, které se mění nepřímo se vzdáleností ke zdroji, tj. Jako ${displaystyle {frac {1} {R}}}$.Pro přehlednost nejprve ilustrujeme expanzi pro jednobodový náboj, poté zobecníme na libovolnou hustotu náboje ${displaystyle lambda (z)}$lokalizováno do z-osa.

Obrázek 1: Bodový náboj na ose z; Definice axiální multipólové expanze

Axiální vícepólové momenty a bodový náboj

The elektrický potenciál a bodový náboj q nachází se na z- osa v ${displaystyle z = a}$ (Obr. 1) se rovná

${displaystyle Phi (mathbf {r}) = {frac {q} {4pi varepsilon}} {frac {1} {R}} = {frac {q} {4pi varepsilon}} {frac {1} {sqrt {r ^ {2} + a ^ {2} -2arcos heta}}}.}$

Pokud je poloměr r pozorovacího bodu je větší než A, můžeme vyloučit ${displaystyle {frac {1} {r}}}$ a rozšířit mocniny druhé odmocniny ${displaystyle (a / r) <1}$ použitím Legendární polynomy

${displaystyle Phi (mathbf {r}) = {frac {q} {4pi varepsilon r}} součet _ {k = 0} ^ {infty} left ({frac {a} {r}} ight) ^ {k} P_ {k} (cos heta) equiv {frac {1} {4pi varepsilon}} součet _ {k = 0} ^ {infty} M_ {k} vlevo ({frac {1} {r ^ {k + 1}}} ight) P_ {k} (cos heta)}$

Kde axiální vícepólové momenty ${displaystyle M_ {k} ekv. qa ^ {k}}$ obsahovat vše specifické pro danou distribuci poplatků; ostatní části elektrický potenciál závisí pouze na souřadnicích pozorovacího bodu P. Zvláštní případy zahrnují axiálnímonopol okamžik ${displaystyle M_ {0} = q}$, axiální dipól okamžik ${displaystyle M_ {1} = qa}$ a axiální kvadrupól okamžik ${displaystyle M_ {2} ekv. qa ^ {2}}$. To ilustruje obecnou větu, že vícepólový moment lowestnon-zero je nezávislý na původ z souřadnicový systém, ale vyšší multipólové momenty nejsou (obecně).

Naopak, pokud je poloměr r je méně než A, můžeme vyloučit ${displaystyle {frac {1} {a}}}$ a rozšiřování pravomocí ${displaystyle (r / a) <1}$, opět pomocí Legendární polynomy

${displaystyle Phi (mathbf {r}) = {frac {q} {4pi varepsilon a}} součet _ {k = 0} ^ {infty} left ({frac {r} {a}} ight) ^ {k} P_ {k} (cos heta) equiv {frac {1} {4pi varepsilon}} součet _ {k = 0} ^ {infty} I_ {k} r ^ {k} P_ {k} (cos heta)}$

Kde vnitřní axiální vícepólové momenty ${displaystyle I_ {k} equiv {frac {q} {a ^ {k + 1}}}}$ obsahují vše specifické pro dané rozložení náboje; ostatní části závisí pouze na souřadnicích pozorovacího bodu P.

Obecné axiální vícepólové momenty

Abychom získali obecné axiální vícepólové momenty, nahradíme bodový náboj předchozí sekce elementem nekonečně malého náboje ${displaystyle lambda (zeta) dzeta}$, kde ${displaystyle lambda (zeta)}$ představuje polohu hustoty náboje ${displaystyle z = zeta}$ na z-osa. Pokud je poloměr rpozorovacího bodu P je větší než největší ${displaystyle left | zeta ight |}$ pro který ${displaystyle lambda (zeta)}$je významné (označené ${displaystyle zeta _ {ext {max}}}$), elektrický potenciál lze psát

${displaystyle Phi (mathbf {r}) = {frac {1} {4pi varepsilon}} součet _ {k = 0} ^ {infty} M_ {k} vlevo ({frac {1} {r ^ {k + 1} }} ight) P_ {k} (protože heta)}$

kde axiální vícepólové momenty ${displaystyle M_ {k}}$ jsou definovány

${displaystyle M_ {k} ekviv int dzeta lambda (zeta) zeta ^ {k}}$

Zvláštní případy zahrnují axiální monopol moment (= celkem nabít )

${displaystyle M_ {0} equiv int dzeta lambda (zeta)}$,

axiální dipól okamžik ${displaystyle M_ {1} ekviv int dzeta lambda (zeta) zeta}$a axiální kvadrupól okamžik ${displaystyle M_ {2} ekviv int dzeta lambda (zeta) zeta ^ {2}}$.Každý následující termín v expanzi se inverzně mění s větší silou ${displaystyle r}$např. monopolní potenciál se mění jako ${displaystyle {frac {1} {r}}}$, dipólový potenciál se mění jako ${displaystyle {frac {1} {r ^ {2}}}}$, kvadrupólový potenciál se mění jako ${displaystyle {frac {1} {r ^ {3}}}}$atd. Tedy na velké vzdálenosti (${displaystyle {frac {zeta _ {ext {max}}} {r}} ll 1}$), potenciál je dobře aproximován vedoucím nenulovým vícepólovým členem.

Nejnižší nenulový axiální vícepólový moment je při posunu neměnný b v původ, ale vyšší momenty obecně závisí na volbě původu. Posunuté vícepólové momenty${displaystyle M_ {k} ^ {prime}}$ bylo by

${displaystyle M_ {k} ^ {prime} equiv int dzeta lambda (zeta) left (zeta + bight) ^ {k}}$

Rozšíření polynomu pod integrál

${displaystyle left (zeta + bight) ^ {l} = zeta ^ {l} + lbzeta ^ {l-1} + ldots + lzeta b ^ {l-1} + b ^ {l}}$

vede k rovnici

${displaystyle M_ {k} ^ {prime} = M_ {k} + lbM_ {k-1} + ldots + lb ^ {l-1} M_ {1} + b ^ {l} M_ {0}}$

Pokud nižší momenty ${displaystyle M_ {k-1}, M_ {k-2}, ldots, M_ {1}, M_ {0}}$jsou tedy nula ${displaystyle M_ {k} ^ {prime} = M_ {k}}$. Stejná rovnice ukazuje, že vícepólové momenty vyšší než první nenulový moment závisí na volbě původ (obecně).

Vnitřní axiální vícepólové momenty

Naopak, pokud je poloměr r je menší než nejmenší${displaystyle left | zeta ight |}$ pro který ${displaystyle lambda (zeta)}$je významné (označené ${displaystyle zeta _ {min}}$), elektrický potenciál lze psát

${displaystyle Phi (mathbf {r}) = {frac {1} {4pi varepsilon}} součet _ {k = 0} ^ {infty} I_ {k} r ^ {k} P_ {k} (cos heta)}$

kde vnitřní axiální vícepólové momenty ${displaystyle I_ {k}}$ jsou definovány

${displaystyle I_ {k} equiv int dzeta {frac {lambda (zeta)} {zeta ^ {k + 1}}}}$

Zvláštní případy zahrnují vnitřní axiální monopol okamžik (${displaystyle eq}$ celkový poplatek)

${displaystyle M_ {0} equiv int dzeta {frac {lambda (zeta)} {zeta}}}$,

vnitřní axiální dipól okamžik ${displaystyle M_ {1} ekviv int dzeta {frac {lambda (zeta)} {zeta ^ {2}}}}$,atd. Každý následující termín v expanzi se mění s větší silou ${displaystyle r}$, např. vnitřní monopolní potenciál se mění jako ${displaystyle r}$, dipólový potenciál se mění jako ${displaystyle r ^ {2}}$atd. Na krátké vzdálenosti (${displaystyle {frac {r} {zeta _ {min}}} ll 1}$), potenciál je dobře aproximován předním nenulovým vnitřním vícepólovým výrazem.

Viz také

• Teorie potenciálu
• Vícepólové momenty
• Multipole expanze
• Sférické vícepólové momenty
• Válcové vícepólové momenty
• Pevné harmonické
• Laplaceova expanze

Reference

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Axiální vícepólové momenty"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Dubna 2008) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

externí odkazy