Pozitivní prvek - Positive element

v matematika, zvláště funkční analýza, a samoadjung (nebo Hermitian ) prvek ${ displaystyle A}$ a C * -algebra ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je nazýván pozitivní Pokud je to spektrum ${ displaystyle sigma (A)}$ sestává z nezáporných reálných čísel. Navíc prvek ${ displaystyle A}$ C * -algebry ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je pozitivní právě tehdy, když nějaké existují ${ displaystyle B}$ v ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ takhle ${ displaystyle A = B ^ {*} B}$ . Pozitivním prvkem je samoadjung a tedy normální.

Li ${ displaystyle T}$ je ohraničený lineární operátor na komplexu Hilbertův prostor ${ displaystyle H}$ , pak se tento pojem shoduje s podmínkou, že ${ displaystyle langle Tx, x rangle}$ je nezáporný pro každý vektor ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle H}$ . Všimněte si, že ${ displaystyle langle Tx, x rangle}$ je skutečný pro každého ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle H}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle T}$ je sebe-adjunkt. Pozitivní operátor na Hilbertově prostoru tedy vždy je samoadjung (a self-adjoint všude definováno operátor na Hilbertově prostoru je vždy omezen kvůli Hellingerova-Toeplitzova věta ).

Sada pozitivních prvků C * -algebry tvoří a konvexní kužel.

Pozitivní a pozitivní definitivní operátoři

Omezený lineární operátor ${ displaystyle P}$ na vnitřní produktový prostor ${ displaystyle V}$ se říká, že je pozitivní (nebo pozitivní semidefinit) pokud ${ displaystyle P = S ^ {*} S}$ pro nějakého omezeného operátora ${ displaystyle S}$ na ${ displaystyle V}$ , a říká se, že je pozitivní určitý -li ${ displaystyle S}$ je také ne singulární.

(Já) Následující podmínky pro omezeného operátora ${ displaystyle P}$ na ${ displaystyle V}$ být pozitivní semidefinitní jsou ekvivalentní:

${ displaystyle P = S ^ {*} S}$ pro nějakého omezeného operátora ${ displaystyle S}$ na ${ displaystyle V}$ ,
${ displaystyle P = T ^ {2}}$ pro nějakého samoadjungujícího operátora ${ displaystyle T}$ na ${ displaystyle V}$ ,
${ displaystyle langle Pu, u rangle geq 0, forall u ve V}$ .

(II) Následující podmínky pro omezeného operátora ${ displaystyle P}$ na ${ displaystyle V}$ být pozitivní definitivní jsou ekvivalentní:

${ displaystyle P = S ^ {*} S}$ pro nějaký ne-singulární ohraničený operátor ${ displaystyle S}$ na ${ displaystyle V}$ ,
${ displaystyle P = T ^ {2}}$ pro nějakého nepojmenovaného operátora se samostatným připojením ${ displaystyle T}$ na ${ displaystyle V}$ ,
${ displaystyle langle Pu, u rangle> 0, forall u neq 0}$ v ${ displaystyle V}$ .

(III) Složitá matice ${ displaystyle A = { begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}}}$ představuje kladný (polo) určitý operátor právě tehdy ${ displaystyle A}$ je Hermitian (nebo samo-adjunkt) a ${ displaystyle a}$ , ${ displaystyle d}$ a ${ displaystyle det (A) = ad-bc}$ jsou (přísně) kladná reálná čísla.

Příklady

Následující matice ${ displaystyle A}$ není od té doby pozitivní ${ displaystyle det (A) = 0}$ . Nicméně, ${ displaystyle A}$ je od té doby pozitivní semidefinitní ${ displaystyle a = 1}$ , ${ displaystyle d = 1}$ a ${ displaystyle det (A) = 0}$ jsou nezáporné.

{ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & 1 1 & 1 end {bmatrix}}.}

Částečné řazení pomocí pozitivity

Definováním

{ displaystyle A geq B iff A-B { text {je pozitivní}}}

pro samoadjungované prvky v C * -algebře ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ , jeden získá a částečná objednávka na množině samonastavovacích prvků v ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ . Všimněte si, že podle této definice máme ${ displaystyle A geq 0}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle A}$ je pozitivní, což je výhodné.

Toto částečné pořadí je analogické přirozenému pořadí na reálných číslech, ale pouze do určité míry. Například respektuje násobení kladnými reálnými hodnotami a přidání prvků s vlastními adjunty, ale ${ displaystyle AB geq CD}$ nemusí platit pro pozitivní prvky ${ displaystyle A, B, C, D v { mathcal {A}}}$ s ${ displaystyle A geq C}$ a ${ displaystyle B geq D}$ .

Reference

Conway, John (1990), Kurz funkční analýzy, Springer Verlag, ISBN 0-387-97245-5