Připojení (složený svazek) - Connection (composite bundle)

Kompozitní svazky ${ displaystyle Y až Sigma až X}$ hrát prominentní roli v teorie měřidel s lámání symetrie, např. gravitační teorie měřidla, neautonomní mechanika kde ${ displaystyle X = mathbb {R}}$ je časová osa, např. mechanika s parametry závislými na čase atd. Mezi nimi jsou důležité vztahy připojení na svazky vláken ${ displaystyle Y až X}$ , ${ displaystyle Y to Sigma}$ a ${ displaystyle Sigma až X}$ .

Kompozitní svazek

v diferenciální geometrie podle a složený svazek je míněno složení

{ displaystyle pi: Y až Sigma až X qquad qquad (1)}

svazků vláken

{ displaystyle pi _ {Y Sigma}: Y až Sigma, qquad pi _ { Sigma X}: Sigma až X.}

Je opatřen souřadnicemi svazku ${ displaystyle (x ^ { lambda}, sigma ^ {m}, y ^ {i})}$ , kde ${ displaystyle (x ^ { lambda}, sigma ^ {m})}$ jsou souřadnice svazku na svazku vláken ${ displaystyle Sigma až X}$ , tj. přechodové funkce souřadnic ${ displaystyle sigma ^ {m}}$ jsou nezávislé na souřadnicích ${ displaystyle y ^ {i}}$ .

Následující skutečnost poskytuje výše uvedené fyzické aplikace složených svazků. Vzhledem ke složenému svazku (1), let ${ displaystyle h}$ být globální částí svazku vláken ${ displaystyle Sigma až X}$ , jestli nějaký. Pak stahovací balíček ${ displaystyle Y ^ {h} = h ^ {*} Y}$ přes ${ displaystyle X}$ je podskupina svazku vláken ${ displaystyle Y až X}$ .

Složený hlavní svazek

Například, pojďme ${ displaystyle P až X}$ být hlavní balíček se strukturou Lie skupiny ${ displaystyle G}$ který je redukovatelný do své uzavřené podskupiny ${ displaystyle H}$ . K dispozici je složený svazek ${ Displaystyle P až P / H až X}$ kde ${ displaystyle P až P / H}$ je hlavní balíček se skupinou struktur ${ displaystyle H}$ a ${ displaystyle P / H až X}$ je svazek vláken spojený s ${ displaystyle P až X}$ . Vzhledem k globální sekci ${ displaystyle h}$ z ${ displaystyle P / H až X}$ , stahovací svazek ${ displaystyle h ^ {*} P}$ je snížený hlavní podskupina ${ displaystyle P}$ se strukturní skupinou ${ displaystyle H}$ . v teorie měřidel, sekce ${ displaystyle P / H až X}$ jsou považovány za klasická Higgsova pole.

Tryskové potrubí složeného svazku

Vzhledem ke složenému svazku ${ Displaystyle Y až Sigma až X}$ (1), zvažte tryskové potrubí ${ displaystyle J ^ {1} Sigma}$ , ${ displaystyle J _ { Sigma} ^ {1} Y}$ , a ${ displaystyle J ^ {1} Y}$ svazků vláken ${ displaystyle Sigma až X}$ , ${ displaystyle Y to Sigma}$ , a ${ displaystyle Y až X}$ , resp. Jsou opatřeny upravenými souřadnicemi ${ displaystyle (x ^ { lambda}, sigma ^ {m}, sigma _ { lambda} ^ {m})}$ , ${ displaystyle (x ^ { lambda}, sigma ^ {m}, y ^ {i}, { widehat {y}} _ { lambda} ^ {i}, y_ {m} ^ {i}) ,}$ , a ${ displaystyle (x ^ { lambda}, sigma ^ {m}, y ^ {i}, sigma _ { lambda} ^ {m}, y _ { lambda} ^ {i}).}$

Existuje kanonická mapa

{ displaystyle J ^ {1} Sigma times _ { Sigma} J _ { Sigma} ^ {1} Y až _ {Y} J ^ {1} Y, qquad y _ { lambda} ^ {i } = y_ {m} ^ {i} sigma _ { lambda} ^ {m} + { widehat {y}} _ { lambda} ^ {i}}

.

Kompozitní připojení

Tato kanonická mapa definuje vztahy mezi připojeními na svazcích vláken ${ displaystyle Y až X}$ , ${ displaystyle Y to Sigma}$ a ${ displaystyle Sigma až X}$ . Tato spojení jsou dána odpovídajícími tangenciální formy spojení

{ displaystyle gamma = dx ^ { lambda} otimes ( částečné _ { lambda} + gamma _ { lambda} ^ {m} částečné _ {m} + gamma _ { lambda} ^ { i} částečné _ {i}),}

{ displaystyle A _ { Sigma} = dx ^ { lambda} otimes ( částečné _ { lambda} + A _ { lambda} ^ {i} částečné _ {i}) + d sigma ^ {m} otimes ( částečný _ {m} + A_ {m} ^ {i} částečný _ {i}),}

{ displaystyle Gamma = dx ^ { lambda} otimes ( částečné _ { lambda} + gamma _ { lambda} ^ {m} částečné _ {m}).}

Spojení ${ displaystyle A _ { Sigma}}$ na svazku vláken ${ displaystyle Y to Sigma}$ a spojení ${ displaystyle Gamma}$ na svazku vláken ${ displaystyle Sigma až X}$ definovat připojení

{ displaystyle gamma = dx ^ { lambda} otimes ( částečné _ { lambda} + gamma _ { lambda} ^ {m} částečné _ {m} + (A _ { lambda} ^ {i } + A_ {m} ^ {i} Gamma _ { lambda} ^ {m}) částečný _ {i})}

na složeném svazku ${ displaystyle Y až X}$ . Říká se tomu kompozitní připojení. Jedná se o jedinečné spojení, které vodorovný zdvih ${ displaystyle gamma tau}$ na ${ displaystyle Y}$ vektorového pole ${ displaystyle tau}$ na ${ displaystyle X}$ pomocí kompozitního spojení ${ displaystyle gamma}$ se shoduje se složením ${ displaystyle A _ { Sigma} ( Gamma tau)}$ vodorovných výtahů ${ displaystyle tau}$ na ${ displaystyle Sigma}$ prostřednictvím spojení ${ displaystyle Gamma}$ a pak na ${ displaystyle Y}$ prostřednictvím spojení ${ displaystyle A _ { Sigma}}$ .

Vertikální kovariantní diferenciál

Vzhledem ke složenému svazku ${ displaystyle Y}$ (1), existuje následující přesná sekvence vektorových svazků ${ displaystyle Y}$ :

{ displaystyle 0 až V _ { Sigma} Y až VY až Y krát _ { Sigma} V Sigma až 0, qquad qquad (2)}

kde ${ displaystyle V _ { Sigma} Y}$ a ${ displaystyle V _ { Sigma} ^ {*} Y}$ jsou svislý tečný svazek a vertikální kotangenský svazek z ${ displaystyle Y to Sigma}$ . Každé připojení ${ displaystyle A _ { Sigma}}$ na svazku vláken ${ displaystyle Y to Sigma}$ poskytuje rozdělení

{ displaystyle A _ { Sigma}: TY supset VY ni { dot {y}} ^ {i} částečný _ {i} + { dot { sigma}} ^ {m} částečný _ {m } to ({ dot {y}} ^ {i} -A_ {m} ^ {i} { dot { sigma}} ^ {m}) částečný _ {i}}

přesné sekvence (2). Pomocí tohoto rozdělení lze vytvořit první objednávku operátor diferenciálu

{ displaystyle { widetilde {D}}: J ^ {1} Y až T ^ {*} X otimes _ {Y} V _ { Sigma} Y, qquad { widetilde {D}} = dx ^ { lambda} otimes (y _ { lambda} ^ {i} -A _ { lambda} ^ {i} -A_ {m} ^ {i} sigma _ { lambda} ^ {m}) částečné _ {i},}

na složeném svazku ${ displaystyle Y až X}$ . Říká se tomu vertikální kovarianční diferenciál.Má následující důležitou vlastnost.

Nechat ${ displaystyle h}$ být částí svazku vláken ${ displaystyle Sigma až X}$ a nechte ${ displaystyle h ^ {*} Y podmnožina Y}$ být stahovacím balíčkem ${ displaystyle X}$ . Každé připojení ${ displaystyle A _ { Sigma}}$ vyvolává zpětné připojení

{ displaystyle A_ {h} = dx ^ { lambda} otimes [ částečné _ { lambda} + ((A_ {m} ^ {i} circle h) částečné _ { lambda} h ^ {m } + (A circ h) _ { lambda} ^ {i}) částečný _ {i}]}

na ${ displaystyle h ^ {*} Y}$ . Pak omezení vertikálního kovariantního diferenciálu ${ displaystyle { widetilde {D}}}$ na ${ displaystyle J ^ {1} h ^ {*} Y podmnožina J ^ {1} Y}$ se shoduje se známým kovarianční diferenciál ${ displaystyle D ^ {A_ {h}}}$ na ${ displaystyle h ^ {*} Y}$ vzhledem ke zpětnému připojení ${ displaystyle A_ {h}}$ .

Reference

Saunders, D., Geometrie svazků trysek. Cambridge University Press, 1989. ISBN 0-521-36948-7.
Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Spojení v teorii klasického a kvantového pole. World Scientific, 2000. ISBN 981-02-2013-8.

externí odkazy

Sardanashvily, G., Pokročilá diferenciální geometrie pro teoretiky. Svazky vláken, proudová potrubí a Lagrangeova teorie, Lambert Academic Publishing, 2013. ISBN 978-3-659-37815-7; arXiv:0908.1886