Kombinatorická komutativní algebra - Combinatorial commutative algebra

Kombinatorická komutativní algebra je relativně nový, rychle se rozvíjející matematický disciplína. Jak název napovídá, leží na křižovatce dvou dalších zavedených polí, komutativní algebra a kombinatorika a často používá metody jedné k řešení problémů vznikajících v druhé. Méně zjevné, polyedrická geometrie hraje významnou roli.

Jedním z milníků ve vývoji předmětu bylo Richard Stanley Důkaz z roku 1975 Horní mez domněnky pro zjednodušené sféry, který byl založen na dřívější práci Melvin Hochster a Gerald Reisner. Zatímco problém lze formulovat čistě v geometrických pojmech, metody důkazu vycházely z technik komutativní algebry.

Věta podpisu v kombinatorické komutativní algebře je charakterizací h-vektory z jednoduché polytopy předpokládal v roce 1970 Peter McMullen. Známý jako G-teorém, to bylo prokázáno v roce 1979 Stanley (nutnost podmínek, algebraický argument) a Louis Billera a Carl W. Lee (dostatečnost, kombinatorická a geometrická konstrukce). Hlavní otevřenou otázkou bylo rozšíření této charakterizace ze zjednodušených polytopů na zjednodušené sféry G-dohad, který v roce 2018 vyřešil Karim Adiprasito.

Důležité pojmy kombinatorické komutativní algebry

• Bez náměstí monomiální ideál v polynomiální kruh a Stanley – Reisnerův prsten a zjednodušený komplex.
• Cohen – Macaulayův prsten.
• Monomiální prsten, úzce souvisí s afinní poloskupinový kruh a do souřadnicový kruh z afinní torická odrůda.
• Algebra s rovnacím zákonem. Existuje několik verzí těchto, včetně Hodgeovy algebry z Corrado de Concini, David Eisenbud, a Claudio Procesi.

Viz také

• Algebraická kombinatorika
• Polyedrická kombinatorika
• Graf nulového dělitele

Reference

Základní práce o komplexech Stanley-Reisner jednoho z průkopníků teorie:

• Melvin Hochster, Cohen – Macaulayovy kroužky, kombinatorika a zjednodušené komplexy. Ring theory, II (Proc. Second Conf., Univ. Oklahoma, Norman, Okla., 1975), str. 171–223. Poznámky k přednášce v Pure and Appl. Math., Sv. 26, Dekker, New York, 1977.

První kniha je klasická (první vydání vydané v roce 1983):

• Richard Stanley, Kombinatorika a komutativní algebra. Druhé vydání. Progress in Mathematics, 41. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1996. x + 164 pp. ISBN  0-8176-3836-9

Velmi vlivná a dobře napsaná učebnicová monografie:

• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen – Macaulayovy prsteny. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii + 403 pp. ISBN  0-521-41068-1

Dodatečné čtení:

• Rafael Villarreal, Monomiální algebry. Monografie a učebnice čisté a aplikované matematiky, 238. Marcel Dekker, Inc., New York, 2001. x + 455 pp. ISBN  0-8247-0524-6
• Takayuki Hibi, Algebraická kombinatorika na konvexních polytopech, Carslaw Publications, Glebe, Austrálie, 1992
• Bernd Sturmfels, Gröbnerovy základny a konvexní polytopy. University Lecture Series, 8. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xii + 162 pp. ISBN  0-8218-0487-1
• Winfried Bruns, Joseph Gubeladze, Polytopes, Rings, and K-Theory, Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2009. 461 s. ISBN  978-0-387-76355-2

Nedávný přírůstek do rostoucí literatury v oboru obsahuje výklad aktuálních výzkumných témat:

• Ezra Miller, Bernd Sturmfels, Kombinatorická komutativní algebra. Postgraduální texty z matematiky, 227. Springer-Verlag, New York, 2005. xiv + 417 stran ISBN  0-387-22356-8
• Jürgen Herzog a Takayuki Hibi, Monomiální ideály. Postgraduální texty z matematiky, 260. Springer-Verlag, New York, 2011. 304 s.