Klasický model XY - Classical XY model

The klasický model XY (někdy také nazývané klasický rotor (rotátor) Modelka nebo O (2) model) je mřížový model z statistická mechanika. Obecně lze model XY považovat za Stanleyho specializaci n-vektorový model ^[1] pro n = 2.

Definice

Vzhledem k tomu, D-dimenzionální mříž Λna každé mřížové místo j ∈ Λ existuje dvourozměrný, vektor délky jednotky s_j = (cos θ_j, hřích θ_j)

The konfigurace odstřeďování, s = (s_j)_{j ∈ Λ} je přiřazení úhlu −π < θ_j ≤ π pro každého j ∈ Λ.

Vzhledem k tomu, překlad-invariantní interakce J_ij = J(i − j) a bodově závislé externí pole ${ displaystyle mathbf {h} _ {j} = (h_ {j}, 0)}$, energie konfigurace je

${ displaystyle H ( mathbf {s}) = - součet _ {i neq j} J_ {ij} ; mathbf {s} _ {i} cdot mathbf {s} _ {j} - součet _ {j} mathbf {h} _ {j} cdot mathbf {s} _ {j} = - sum _ {i neq j} J_ {ij} ; cos ( theta _ {i } - theta _ {j}) - sum _ {j} h_ {j} cos theta _ {j}}$

Případ, ve kterém J_ij = 0 až na ij volá se nejbližší soused nejbližší soused případ.

The pravděpodobnost konfigurace je dán Boltzmannova distribuce s inverzní teplotou β ≥ 0:

${ displaystyle P ( mathbf {s}) = { frac {e ^ {- beta H ( mathbf {s})}} {Z}} qquad Z = int _ {[- pi, pi] ^ { Lambda}} prod _ {j in Lambda} d theta _ {j} ; e ^ {- beta H ( mathbf {s})}.}$

kde Z je normalizace nebo funkce oddílu.^[2] Zápis ${ displaystyle langle A ( mathbf {s}) rangle}$ označuje očekávání náhodné proměnné A(s) v limitu nekonečného objemu po periodické okrajové podmínky byly uloženy.

Důsledné výsledky

• Existence termodynamický limit pro energie zdarma a korelace spinů byly prokázány Ginibre, rozšiřující na tento případ Griffithova nerovnost.^[3]
• Za použití Griffithova nerovnost ve formulaci Ginibre, Aizenman a Simon^[4] prokázal, že dvoubodová rotace korelace feromagnetické XY model v rozměru D, spojka J > 0 a inverzní teplota β je dominoval od (tj. má horní hranice dané) dvoubodovou korelací feromagnetický Isingův model v rozměru D, spojka J > 0 a inverzní teplota β/2

${ displaystyle langle mathbf {s} _ {i} cdot mathbf {s} _ {j} rangle _ {J, 2 beta} leq langle sigma _ {i} sigma _ {j } rangle _ {J, beta}}$

Proto kritický β modelu XY nemůže být menší než dvojnásobek kritické teploty Isingova modelu

${ displaystyle beta _ {c} ^ {XY} geq 2 beta _ {c} ^ { rm {Is}}}$

Jedna dimenze

Jako v každém „nejbližším sousedovi“ n-vektorový model s volnými (neperiodickými) okrajovými podmínkami, pokud je vnější pole nulové, existuje jednoduché přesné řešení. V případě volných okrajových podmínek je Hamiltonian

${ displaystyle H ( mathbf {s}) = - J [ cos ( theta _ {1} - theta _ {2}) + cdots + cos ( theta _ {L-1} - theta _ {L})]}$

proto se funkce rozdělení dělí na změnu souřadnic

${ displaystyle theta _ {j} = theta _ {j} '+ theta _ {j-1} qquad j geq 2}$

To dává

${ displaystyle { begin {seřazeno} Z & = int _ {- pi} ^ { pi} d theta _ {1} cdots d theta _ {L} ; e ^ { beta J cos ( theta _ {1} - theta _ {2})} cdots e ^ { beta J cos ( theta _ {L-1} - theta _ {L})} & = 2 pi prod _ {j = 2} ^ {L} int _ {- pi} ^ { pi} d theta '_ {j} ; e ^ { beta J cos theta' _ {j }} = (2 pi) left [ int _ {- pi} ^ { pi} d theta '_ {j} ; e ^ { beta J cos theta' _ {j}} right] ^ {L-1} = (2 pi) ^ {L} (I_ {0} ( beta J)) ^ {L-1} end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle I_ {0}}$ je upravená Besselova funkce prvního druhu. Pomocí funkce rozdělení lze najít několik důležitých termodynamických veličin. Například v termodynamickém limitu (${ displaystyle L až infty}$), energie zdarma za otočení je

${ displaystyle f ( beta, h = 0) = - lim _ {L až infty} { frac {1} { beta L}} ln Z = - { frac {1} { beta }} ln [2 pi I_ {0} ( beta J)]}$

Pomocí vlastností upravených Besselových funkcí lze vyjádřit specifické teplo (na rotaci) jako^[5]

${ displaystyle { frac {c} {k_ {B}}} = lim _ {L to infty} { frac {1} {L (k_ {B} T) ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2}} { částečné beta ^ {2}}} ( ln Z) = K ^ {2} vlevo (1 - { frac { mu} {K}} - mu ^ {2} vpravo)}$

kde ${ displaystyle K = J / k_ {B} T}$, a ${ displaystyle mu}$ je funkce korelace krátkého dosahu,

Přesné specifické teplo na rotaci v jednorozměrném modelu XY

${ displaystyle mu (K) = langle cos ( theta - theta ') rangle = { frac {I_ {1} (K)} {I_ {0} (K)}}}$

Ani v termodynamickém limitu nedochází k odchylkám v měrném teple. Stejně jako jednorozměrný Isingův model nemá ani jednorozměrný model XY žádné fázové přechody při konečné teplotě.

Stejný výpočet pro periodické okrajové podmínky (a stále h = 0) vyžaduje formalizmus přenosové matice, i když výsledek je stejný.^[6].

(Podrobnosti o formalismu přenosové matice zobrazíte kliknutím na „Zobrazit“ vpravo.)

Funkci oddílu lze vyhodnotit jako

${ displaystyle Z = { text {tr}} left { prod _ {i = 1} ^ {N} mast d theta _ {i} e ^ { beta J cos ( theta _ { i} - theta _ {i + 1})} doprava }}$

které lze považovat za stopu matice, konkrétně produkt matic (v tomto případě skalárů). Stopa matice je jednoduše součtem jejích vlastních čísel a v termodynamickém limitu ${ displaystyle L až infty}$ přežije pouze největší vlastní číslo, takže funkci oddílu lze zapsat jako opakovaný součin tohoto maximálního vlastního čísla. To vyžaduje řešení problému vlastních čísel

${ displaystyle mast d theta ' exp { beta J cos ( theta' - theta) } psi ( theta ') = z_ {i} psi ( theta)}$

Všimněte si expanze

${ displaystyle exp { beta J cos ( theta - theta ') } = součet _ {n = - infty} ^ { infty} I_ {n} ( beta J) e ^ { in ( theta - theta ')} = sum _ {n = - infty} ^ { infty} omega _ {n} psi _ {n} ^ {*} ( theta') psi _ {n} ( theta)}$

což představuje diagonální maticovou reprezentaci na základě vlastních vlastních funkcí rovinné vlny ${ displaystyle psi = exp (v theta)}$. Vlastní čísla matice jsou jednoduše upraveny Besselovy funkce vyhodnocené na ${ displaystyle beta J}$, jmenovitě ${ displaystyle omega _ {n} = 2 pi I_ {n} ( beta J)}$. Pro jakoukoli konkrétní hodnotu ${ displaystyle beta J}$, tyto upravené Besselovy funkce uspokojují ${ displaystyle I_ {0}> I_ {1}> I_ {2}> cdots}$ a ${ displaystyle I _ {- n} ( beta J) = I_ {n} ( beta J)}$. Proto v termodynamickém limitu vlastní hodnota ${ displaystyle I_ {0}}$ bude dominovat stopě, a tak ${ displaystyle Z = [2 pi I_ {0} ( beta J)] ^ {L}}$.

Tento přístup k přenosové matici je také vyžadován při použití volných okrajových podmínek, ale s aplikovaným polem ${ displaystyle h neq 0}$. Pokud se použije pole ${ displaystyle h}$ je dostatečně malý na to, aby mohl být považován za poruchu systému v nulovém poli, pak magnetická susceptibilita ${ displaystyle chi equiv částečné M / částečné h}$ lze odhadnout. To se provádí pomocí vlastních čísel vypočítaných přístupem přenosové matice a výpočtu energetického posunu druhého řádu teorie poruch, pak ve srovnání s expanzí volné energie ${ displaystyle F = F_ {0} - { frac {1} {2}} chi h ^ {2}}$. Jeden najde ^[7]

${ displaystyle chi (h to 0) = { frac {C} {T}} { frac {1+ mu} {1- mu}}}$

kde ${ displaystyle C}$ je Curieova konstanta (hodnota typicky spojená s citlivostí v magnetických materiálech). Tento výraz platí i pro jednorozměrný Isingův model s náhradou ${ displaystyle mu = tanh K}$.

Dva rozměry

Střední mganetizace pro mřížku 25x25 (Ota:^[8] 30x30), což naznačuje zvýšení magnetického momentu, který není přítomen v termodynamickém limitu

Dvourozměrný model XY s interakcemi nejbližšího souseda je příkladem dvourozměrného systému se spojitou symetrií, který nemá pořadí na velké vzdálenosti, jak to vyžaduje Mermin – Wagnerova věta. Stejně tak neexistuje konvenční fázový přechod, který by byl spojen s lámání symetrie. Jak však bude diskutováno později, systém vykazuje známky přechodu z neuspořádaného vysokoteplotního stavu do kvazi-uspořádaného stavu pod určitou kritickou teplotou, nazývanou Přechod Kosterlitz-Thouless. V případě diskrétní mřížky spinů lze dvourozměrný model XY vyhodnotit pomocí přístupu přenosové matice, redukcí modelu na problém vlastních čísel a využitím největšího vlastního čísla z přenosové matice. Ačkoli je přesné řešení neřešitelné, je možné použít určité aproximace k získání odhadů kritické teploty ${ displaystyle T_ {c}}$ který se vyskytuje při nízkých teplotách. Například Mattis (1984) použil aproximaci tohoto modelu k odhadu kritické teploty systému jako

${ displaystyle (2k_ {B} T_ {c} / J) ln (2k_ {B} T_ {c} / J) = 1}$

${ displaystyle k_ {B} T_ {c} / J přibližně 0,8816}$

Model 2D XY byl také velmi podrobně studován pomocí Monte Carlo simulace, například s Algoritmus metropole. Ty lze použít k výpočtu termodynamických veličin, jako je energie systému, specifické teplo, magnetizace atd., V rozsahu teplot a časových měřítcích. V simulaci Monte Carlo je každé otáčení spojeno s neustále se měnícím úhlem ${ displaystyle theta _ {i}}$ (často to může být diskretizováno do konečně mnoha úhlů, jako v souvisejících Pottsův model, pro snadný výpočet. To však není požadavek.) V každém kroku zvolí algoritmus Metropolis jedno náhodné otočení a otočí jeho úhel o nějaký náhodný přírůstek ${ displaystyle Delta theta _ {i} in (- Delta, Delta)}$. Tato změna úhlu způsobí změnu energie ${ displaystyle Delta E_ {i}}$ systému, který může být pozitivní nebo negativní. Pokud je záporný, algoritmus akceptuje změnu úhlu; pokud je kladná, konfigurace je přijata s pravděpodobností ${ displaystyle e ^ {- beta Delta E_ {i}}}$, Boltzmannův faktor pro změnu energie. Metoda Monte Carlo byla použita k ověření, pomocí různých metod, kritické teploty systému a odhaduje se, že je^[9] ${ displaystyle k_ {B} T_ {c} /J=0,8935 (1)}$. Metoda Monte Carlo může také vypočítat průměrné hodnoty, které se používají k výpočtu termodynamických veličin, jako je magnetizace, korelace spin-spin, délky korelace a specifické teplo. Jedná se o důležité způsoby, jak charakterizovat chování systému poblíž kritické teploty. Například magnetizaci a druhou mocninu lze vypočítat jako

Specifické teplo dvojrozměrného XY pomocí simulace Monte Carlo, ukazující prvek na ${ displaystyle k_ {B} T / J přibližně 1,1}$, nad K-T přechod

${ displaystyle { frac { langle M rangle} {N}} = { frac {1} {N}} | langle mathbf {s} rangle | = { frac {1} {N}} { Bigg |} left langle left ( sum _ {i = 1} ^ {N} cos theta _ {i}, sum _ {i = 1} ^ {N} sin theta _ {i} right) right rangle { Bigg |}}$

${ displaystyle { frac { langle M ^ {2} rangle} {N ^ {2}}} = { frac {1} {N ^ {2}}} left langle s_ {x} ^ { 2} + s_ {y} ^ {2} right rangle = { frac {1} {N ^ {2}}} left langle left ( sum _ {i = 1} ^ {N} cos theta _ {i} right) ^ {2} + left ( sum _ {i = 1} ^ {N} sin theta _ {i} right) ^ {2} right rangle}$

kde ${ displaystyle N = L krát L}$ jsou počet otočení. Střední magnetizace charakterizuje velikost čistého magnetického momentu systému; v mnoha magnetických systémech je to nula nad kritickou teplotou a při nízkých teplotách se spontánně stává nenulovou. Podobně střední kvadratická magnetizace charakterizuje průměr čtverce síťových komponent rotací napříč mřížkou. Kterýkoli z nich se běžně používá k charakterizaci parametru objednávky systému. Důkladná analýza modelu XY ukazuje, že magnetizace v termodynamickém limitu je nulová a že čtvercová magnetizace přibližně následuje^[10] ${ displaystyle langle M ^ {2} rangle přibližně N ^ {- T / 4 pi}}$, který mizí v termodynamickém limitu. Ve skutečnosti se při vysokých teplotách toto množství blíží nule, protože složky otáčení budou mít tendenci být randomizovány, a tedy součtem k nule. Při nízkých teplotách pro konečný systém se však zvyšuje magnetizace středního čtverce, což naznačuje, že existují oblasti prostoru rotace, které jsou zarovnány tak, aby přispěly k nenulovému příspěvku. Zobrazená magnetizace (pro mřížku 25x25) je jedním příkladem toho, který zřejmě naznačuje fázový přechod, zatímco v termodynamickém limitu žádný takový přechod neexistuje.

Kromě toho lze pomocí statistické mechaniky spojit termodynamické průměry s veličinami, jako je specifické teplo, výpočtem

${ displaystyle c / k_ {B} = { frac { langle E ^ {2} rangle - langle E rangle ^ {2}} {N (k_ {B} T) ^ {2}}}}$

Specifické teplo se zobrazuje při nízkých teplotách blízkých kritické teplotě ${ displaystyle k_ {B} T_ {c} / J přibližně 0,88}$. Při této předpokládané teplotě není ve specifickém teple žádný rys konzistentní s kritickým znakem (jako divergence). Odhad kritické teploty skutečně pochází z jiných metod, jako z modul helicity nebo teplotní závislost divergence náchylnosti.^[11] Ve specifickém teple však existuje rys ve formě blízkého vrcholu ${ displaystyle 1.1k_ {B} T / J}$. Ukázalo se, že tato poloha a výška píku závisí na velikosti systému;^[12] prvek však zůstává konečný pro všechny velikosti mřížky a zdá se, že konverguje na konečnou hodnotu (ačkoli prvek, který je vrcholem, nebyl vyloučen, je to nepravděpodobné).

Povahu kritických přechodů a formování víru lze objasnit zvážením kontinuální verze modelu XY. Zde se diskrétní točí ${ displaystyle theta _ {n}}$ jsou nahrazeny polem ${ displaystyle theta ({ textbf {x}})}$ představující úhel rotace v kterémkoli bodě v prostoru. V tomto případě úhel otočení ${ displaystyle theta ({ textbf {x}})}$ se musí plynule měnit při změnách polohy. Rozšířením původního kosinu jako Taylorovy řady lze Hamiltonian vyjádřit v aproximaci kontinua jako

${ displaystyle E = int { frac {J} {2}} ( nabla theta) ^ {2} , d ^ {2} { textbf {x}}}$

Barevná mapa (diskrétního) dvourozměrného modelu XY v mřížce 250 x 250 v ${ displaystyle k_ {B} T / J = 0,4}$. Každá rotace je reprezentována barvou, která odpovídá úhlu mezi nimi ${ displaystyle (- pi, pi]}$

Kontinuální verze modelu XY se často používá k modelování systémů, které mají parametry objednávky se stejnými druhy symetrie, např. supertekuté hélium, hexatické tekuté krystaly. To je činí zvláštními z jiných fázových přechodů, které jsou vždy doprovázeny přerušením symetrie. Topologické vady modelu XY vedou k a přechod bez víru z nízkoteplotní fáze do vysoké teploty neuspořádaná fáze. Skutečnost, že při vysokých teplotách se korelace rozpadají exponenciálně rychle, zatímco při nízkých teplotách se rozpadají s energetickým zákonem, i když v obou režimech M(β) = 0, je nazýván Kosterlitz – Thouless přechod. Kosterlitz a Thouless poskytli jednoduchý argument, proč by tomu tak bylo: uvažuje se o základním stavu skládajícím se ze všech otočení ve stejné orientaci, s přidáním jediného víru. Jejich přítomnost zhruba přispívá entropií ${ displaystyle Delta S = k_ {B} ln (L ^ {2} / a ^ {2})}$, kde ${ displaystyle a}$ je efektivní délková stupnice (například velikost mřížky pro diskrétní mřížku) Mezitím se energie systému zvyšuje v důsledku víru o částku ${ displaystyle Delta E = pi J ln (L / a)}$. Po jejich sloučení by se volná energie systému změnila v důsledku spontánního vytvoření víru o určité množství

${ displaystyle Delta F = Delta E-T Delta S = ( pi J-2k_ {B} T) ln (L / a)}$

V termodynamickém limitu systém neupřednostňuje tvorbu vírů při nízkých teplotách, ale upřednostňuje je při vysokých teplotách nad kritickou teplotou ${ displaystyle T_ {c} = pi J / 2k_ {B}}$. To naznačuje, že při nízkých teplotách budou všechny víry, které vzniknou, chtít zničit antivorty, aby se snížila energie systému. Ve skutečnosti tomu tak bude kvalitativně, pokud člověk sleduje „momentky“ spinového systému při nízkých teplotách, kde se víry a antivortice postupně spojují, aby zničily. Nízkoteplotní stav bude tedy sestávat z vázaných párů vírů a antivortexů. Mezitím při vysokých teplotách bude existovat sbírka nevázaných vírů a antivortik, které se mohou volně pohybovat po letadle.

K vizualizaci Isingova modelu lze použít šipku směřující nahoru nebo dolů nebo znázorněnou jako černě / bíle zbarvený bod k označení jeho stavu. Pro vizualizaci systému rotace XY mohou být rotace znázorněny jako šipka ukazující v určitém směru nebo jako body s nějakou barvou. Zde je nutné reprezentovat rotaci se spektrem barev díky každé z možných spojitých proměnných. To lze provést například pomocí spojitého a periodického červeno-zeleno-modrého spektra. Jak je znázorněno na obrázku, azurová odpovídá nulovému úhlu (směřující doprava), zatímco červená odpovídá úhlu 180 stupňů (směřující doleva). Poté lze studovat snímky konfigurací rotace při různých teplotách, aby bylo možné objasnit, co se děje nad a pod kritickou teplotou modelu XY. Při vysokých teplotách nebudou mít rotace preferovanou orientaci a mezi sousedními rotacemi budou nepředvídatelné odchylky úhlů, protože nebude existovat žádná preferovaná energeticky výhodná konfigurace. V tomto případě bude barevná mapa vypadat vysoce pixelovaná. Mezitím při nízkých teplotách má jedna možná konfigurace základního stavu všechna otočení nasměrovaná ve stejné orientaci (stejný úhel); to by odpovídalo regionům (doménám) barevné mapy, kde mají všechna otočení zhruba stejnou barvu.

Různé formy vírů a antivortů, zobrazené v simulaci Monte Carlo na adrese ${ displaystyle k_ {B} T / J = 0,4}$

Chcete-li identifikovat víry (nebo antivortice) přítomné v důsledku přechodu Kosterlitz – Thouless, lze určit podepsanou změnu úhlu procházením kruhu mřížových bodů proti směru hodinových ručiček. Je-li celková změna úhlu nulová, odpovídá to nepřítomnosti víru; zatímco celková změna úhlu ${ displaystyle pm 2 pi}$ odpovídá víru (nebo antivortexu). Tyto víry jsou topologicky netriviální objekty, které přicházejí ve dvojicích vír-antivortex, které mohou oddělit nebo spárovat-zničit. Na barevné mapě lze tyto vady identifikovat v oblastech, kde je velký barevný přechod, kde se všechny barvy spektra setkávají kolem bodu. Kvalitativně mohou tyto vady vypadat jako zdroje toku směřující dovnitř nebo ven, nebo víry otočení, které se kolektivně otáčejí ve směru nebo proti směru hodinových ručiček, nebo hyperbolicky vypadající prvky s některými otočeními směřujícími k a některými otočeními směřujícími od defektu. Vzhledem k tomu, že konfigurace je studována na dlouhých časových stupnicích a při nízkých teplotách, je pozorováno, že mnoho z těchto párů vír-antivortex se sblíží a nakonec zničí pár. Pouze při vysokých teplotách se tyto víry a antivortice uvolňují a uvolňují jeden od druhého.

V kontinuálním modelu XY vysokoteplotní spontánní magnetizace zmizí:

${ displaystyle M ( beta): = | langle mathbf {s} _ {i} rangle | = 0}$

Kromě, rozšiřování klastrů ukazuje, že shluky korelace spinů exponenciálně rychle: například

${ displaystyle | langle mathbf {s} _ {i} cdot mathbf {s} _ {j} rangle | leq C ( beta) e ^ {- c ( beta) | i-j |}}$

Při nízkých teplotách, tj. β ≫ 1, spontánní magnetizace zůstává nulová (viz Mermin – Wagnerova věta ),

${ displaystyle M ( beta): = | langle mathbf {s} _ {i} rangle | = 0}$

ale rozpad korelací je pouze mocenským zákonem: Fröhlich a Spencer^[13] našel dolní mez

${ displaystyle | langle mathbf {s} _ {i} cdot mathbf {s} _ {j} rangle | geq { frac {C ( beta)} {1+ | ij | ^ { eta ( beta)}}}}$

zatímco McBryan a Spencer našli horní hranici ${ displaystyle epsilon> 0}$

${ displaystyle | langle mathbf {s} _ {i} cdot mathbf {s} _ {j} rangle | leq { frac {C ( beta, epsilon)} {1+ | ij | ^ { eta ( beta, epsilon)}}}}$

Tři a vyšší dimenze

Nezávisle na rozsahu interakce je při dostatečně nízké teplotě magnetizace pozitivní.

• Při vysoké teplotě spontánní magnetizace zmizí: ${ displaystyle M ( beta): = | langle mathbf {s} _ {i} rangle | = 0}$. Kromě, rozšiřování klastrů ukazuje, že shluky korelace spinů exponenciálně rychle: například ${ displaystyle | langle mathbf {s} _ {i} cdot mathbf {s} _ {j} rangle | leq C ( beta) e ^ {- c ( beta) | i-j |}}$.

• Při nízké teplotě infračervené vázané ukazuje, že spontánní magnetizace je přísně pozitivní: ${ displaystyle M ( beta): = | langle mathbf {s} _ {i} rangle |> 0}$. Kromě toho existuje 1parametrická rodina extrémních stavů, ${ displaystyle langle ; cdot ; rangle ^ { theta}}$, takový, že ${ displaystyle langle mathbf {s} _ {i} rangle ^ { theta} = M ( beta) ( cos theta, sin theta)}$ ale hypoteticky se v každém z těchto extrémních stavů zkrácené korelace algebraicky rozpadají.

Fázový přechod

Jak bylo uvedeno výše v jedné dimenzi, model XY nemá fázový přechod, zatímco ve dvou dimenzích má Přechod Berezinski-Kosterlitz-Thouless mezi fázemi s exponenciálně a powerlaw rozpadajícími korelačními funkcemi.

Ve třech a vyšších dimenzích má model XY fázový přechod feromagnet-paramagnet. Při nízkých teplotách je spontánní magnetizace nenulová: toto je feromagnetická fáze. Jak se teplota zvyšuje, spontánní magnetizace se postupně snižuje a mizí při kritické teplotě. Při všech vyšších teplotách zůstává nulový: toto je feromagnetická fáze.

Ve čtyřech a vyšších dimenzích má fázový přechod kritické exponenty střední teorie teorie pole (s logaritmickými korekcemi ve čtyřech dimenzích).

Trojrozměrný případ: kritičtí exponenti

Trojrozměrný případ je zajímavý, protože kritické exponenty ve fázovém přechodu jsou netriviální. Mnoho trojrozměrných fyzických systémů patří do stejné třída univerzality jako trojrozměrný model XY a sdílejí stejné kritické exponenty, zejména magnety a kapaliny se snadnou rovinou Hélium-4. Jejich hodnoty kritické exponenty jsou měřeny experimenty, simulacemi Monte Carlo a lze je také vypočítat teoretickými metodami kvantové teorie pole, jako je renormalizační skupina a konformní bootstrap. Metody skupiny renormalizace jsou použitelné, protože se předpokládá, že kritický bod modelu XY je popsán pevným bodem skupiny renormalizace. Metody konformního bootstrapu jsou použitelné, protože se také považuje za jednotnou trojrozměrnost teorie konformního pole.

Nejdůležitější kritické exponenty trojrozměrného modelu XY jsou ${ displaystyle alpha, beta, gamma, beta, delta, nu, eta}$. Všechny lze vyjádřit pomocí dvou čísel: měřítka ${ displaystyle Delta _ { phi}}$ a ${ displaystyle Delta _ {s}}$ komplexního pole parametru objednávky ${ displaystyle phi}$ a předního operátora singletu ${ displaystyle s}$ (stejný jako${ displaystyle | phi | ^ {2}}$ v Ginzburg – Landau popis). Dalším důležitým polem je ${ displaystyle s '}$(stejný jako ${ displaystyle | phi | ^ {4}}$), jehož rozměr ${ displaystyle Delta _ {s '}}$ určuje exponent korekce na změnu měřítka ${ displaystyle omega}$. Podle výpočtu konformního bootstrapu^[14] tyto tři rozměry jsou dány vztahem:

${ displaystyle Delta _ { phi}}$	0.519088(22)
${ displaystyle Delta _ {s}}$	1.51136(22)
${ displaystyle Delta _ {s '}}$	3.794(8)

To dává následující hodnoty kritických exponentů:

	obecný výraz (${ displaystyle d = 3}$)	číselná hodnota
α	${ displaystyle 2-d / (d- Delta _ {s})}$	-0.01526(30)
β	${ displaystyle Delta _ { phi} / (d- Delta _ {s})}$	0.34869(7)
y	${ displaystyle (d-2 Delta _ { phi}) / (d- Delta _ {s})}$	1.3179(2)
δ	${ displaystyle (d- Delta _ { phi}) / Delta _ { phi}}$	4.77937(25)
η	${ displaystyle 2 Delta _ { phi} -d + 2}$	0.038176(44)
ν	${ displaystyle 1 / (d- Delta _ {s})}$	0.67175(10)
ω	${ displaystyle Delta _ {s '} - d}$	0.794(8)

Metody Monte Carlo poskytují kompatibilní stanovení:^[15] ${ displaystyle eta = 0,03810 (8), nu = 0,67169 (7), omega = 0,789 (4)}$.

Viz také

• Klasický Heisenbergův model
• Goldstoneův boson
• Isingův model
• Pottsův model
• n-vektorový model
• Kosterlitz – Thouless přechod
• Topologická vada
• Supertekutý film
• Model Sigma

Poznámky

Reference

• Evgeny Demidov, Víry v modelu XY (2004)

Další čtení

• H. E. Stanley, Úvod do fázových přechodů a kritických jevů(Oxford University Press, Oxford a New York 1971);
• H. Kleinert, Gauge Fields in Condensed Matter, Sv. I, „SUPERFLOW A VORTEX LINES“, s. 1–742, sv. II, „STRESY A VADY“, s. 743–1456, World Scientific (Singapur, 1989); Brožura ISBN  9971-5-0210-0 (k dispozici také online: Sv. Já a Sv. II )

externí odkazy

• simulace modelu WebGL v reálném čase XY
• Interaktivní simulace Monte Carlo modelů Ising, XY a Heisenberg s 3D grafikou (vyžaduje prohlížeč kompatibilní s WebGL)