Griffithova nerovnost - Griffiths inequality

v statistická mechanika, Griffithova nerovnost, někdy také nazývané Griffiths – Kelly – Sherman nerovnost nebo GKS nerovnost, pojmenoval podle Robert B. Griffiths, je korelační nerovnost pro feromagnetický spin systémy. Neformálně to říká, že ve feromagnetických spinových systémech, pokud je „a-a priori distribuce“ spinů invariantní při převrácení spinů, korelace jakékoli monomie spinů je nezáporná; a dvoubodová korelace dvou monomů otočení je nezáporná.

Nerovnost byla prokázána Griffithsem pro feromagnety Ising s interakcemi dvou těles,^[1] poté zobecnili Kelly a Sherman na interakce zahrnující libovolný počet otočení,^[2] a poté Griffiths do systémů s libovolnými otočeními.^[3] Obecnější formulace byla dána Ginibre,^[4] a nyní se nazývá Ginibre nerovnost.

Definice

Nechat ${ displaystyle textstyle sigma = { sigma _ {j} } _ {j v lambda}}$ být konfigurací (kontinuálních nebo diskrétních) točení na a mříž Λ. Li A ⊂ Λ je seznam mřížových stránek, případně s duplikáty, let ${ displaystyle textstyle sigma _ {A} = prod _ {j v A} sigma _ {j}}$ být produktem zatočení A.

Přiřadit a priori opatření dμ (σ) na roztočení; nech H být energií funkční formy

{ displaystyle H ( sigma) = - součet _ {A} J_ {A} sigma _ {A} ~,}

kde součet přesahuje seznamy webů Aa nechte

{ displaystyle Z = int d mu ( sigma) e ^ {- H ( sigma)}}

být funkce oddílu. Jako obvykle,

{ displaystyle langle cdot rangle = { frac {1} {Z}} součet _ { sigma} cdot ( sigma) e ^ {- H ( sigma)}}

znamená průměr souboru.

Systém se nazývá feromagnetický pokud pro jakýkoli seznam webů A, J_A ≥ 0. Systém se nazývá invariantní při převrácení rotace pokud vůbec j v Λ, Měření μ je zachována pod překlápěcí mapou značek σ → τ, kde

{ displaystyle tau _ {k} = { začátek {případů} sigma _ {k}, & k neq j, - sigma _ {k}, & k = j. end {případů}}}

Prohlášení o nerovnostech

První nerovnost Griffithů

Ve feromagnetickém rotačním systému, který je neměnný při otáčení rotací,

{ displaystyle langle sigma _ {A} rangle geq 0}

pro jakýkoli seznam otočení A.

Druhá nerovnost Griffithů

Ve feromagnetickém rotačním systému, který je neměnný při otáčení rotací,

{ displaystyle langle sigma _ {A} sigma _ {B} rangle geq langle sigma _ {A} rangle langle sigma _ {B} rangle}

pro všechny seznamy otočení A a B.

První nerovnost je zvláštní případ druhé, odpovídající B = ∅.

Důkaz

Všimněte si, že funkce oddílu není podle definice nezáporná.

Důkaz první nerovnosti: Rozbalit

{ displaystyle e ^ {- H ( sigma)} = prod _ {B} suma _ {k geq 0} { frac {J_ {B} ^ {k} sigma _ {B} ^ {k }} {k!}} = sum _ { {k_ {C} } _ {C}} prod _ {B} { frac {J_ {B} ^ {k_ {B}} sigma _ { B} ^ {k_ {B}}} {k_ {B}!}} ~,}

pak

{ displaystyle { begin {zarovnáno} Z langle sigma _ {A} rangle & = int d mu ( sigma) sigma _ {A} e ^ {- H ( sigma)} = součet _ { {k_ {C} } _ {C}} prod _ {B} { frac {J_ {B} ^ {k_ {B}}} {k_ {B}!}} int d mu ( sigma) sigma _ {A} sigma _ {B} ^ {k_ {B}} & = sum _ { {k_ {C} } _ {C}} prod _ {B} { frac {J_ {B} ^ {k_ {B}}} {k_ {B}!}} int d mu ( sigma) prod _ {j in Lambda} sigma _ {j} ^ {n_ {A} (j) + n_ {B} (j)} ~, end {zarovnáno}}}

kde n_A(j) znamená počet opakování j se objeví v A. Nyní, invariance pod otočením rotace,

{ displaystyle int d mu ( sigma) prod _ {j} sigma _ {j} ^ {n (j)} = 0}

pokud alespoň jeden n (j) je liché a stejný výraz je zjevně nezáporný pro sudé hodnoty n. Proto, Z<σ_A> ≥0, tedy také <σ_A>≥0.

Důkaz druhé nerovnosti. U druhé Griffithovy nerovnosti zdvojnásobte náhodnou proměnnou, tj. Zvažte druhou kopii rotace, ${ displaystyle sigma '}$ , se stejným rozdělením ${ displaystyle sigma}$ . Pak

{ displaystyle langle sigma _ {A} sigma _ {B} rangle - langle sigma _ {A} rangle langle sigma _ {B} rangle = langle langle sigma _ {A } ( sigma _ {B} - sigma '_ {B}) rangle rangle ~.}

Představte nové proměnné

{ displaystyle sigma _ {j} = tau _ {j} + tau _ {j} '~, qquad sigma' _ {j} = tau _ {j} - tau _ {j} ' ~.}

Zdvojený systém ${ displaystyle langle langle ; cdot ; rangle rangle}$ je feromagnetický v ${ displaystyle tau, tau '}$ protože ${ displaystyle -H ( sigma) -H ( sigma ')}$ je polynom v ${ displaystyle tau, tau '}$ s kladnými koeficienty

{ displaystyle { begin {aligned} sum _ {A} J_ {A} ( sigma _ {A} + sigma '_ {A}) & = sum _ {A} J_ {A} sum _ {X subset A} left [1 + (- 1) ^ {| X |} right] tau _ {A setminus X} tau '_ {X} end {zarovnáno}}}

Kromě opatření na ${ displaystyle tau, tau '}$ je invariantní při otáčení rotací, protože ${ Displaystyle d mu ( sigma) d mu ( sigma ')}$ je. Konečně monomials ${ displaystyle sigma _ {A}}$ , ${ displaystyle sigma _ {B} - sigma '_ {B}}$ jsou polynomy v ${ displaystyle tau, tau '}$ s kladnými koeficienty

{ displaystyle { begin {aligned} sigma _ {A} & = sum _ {X podmnožina A} tau _ {A setminus X} tau '_ {X} ~, sigma _ { B} - sigma '_ {B} & = sum _ {X podmnožina B} vlevo [1 - (- 1) ^ {| X |} vpravo] tau _ {B setminus X} tau '_ {X} ~. End {aligned}}}

První nerovnost Griffithů se týkala ${ displaystyle langle langle sigma _ {A} ( sigma _ {B} - sigma '_ {B}) rangle rangle}$ dává výsledek.

Více podrobností naleznete v ^[5] a.^[6]

Rozšíření: Ginibre nerovnost

The Ginibre nerovnost je přípona, kterou našel Jean Ginibre,^[4] Griffithovy nerovnosti.

Formulace

Nechť (Γ,μ) být a pravděpodobnostní prostor. Pro funkce F, h na Γ, označit

{ displaystyle langle f rangle _ {h} = int f (x) e ^ {- h (x)} , d mu (x) { velký /} int e ^ {- h (x )} d mu (x).}

Nechat A být souborem skutečných funkcí Γ takhle. pro každého F₁,F₂,...,F_n v A, a pro jakýkoli výběr značek ±,

{ displaystyle iint d mu (x) , d mu (y) prod _ {j = 1} ^ {n} (f_ {j} (x) pm f_ {j} (y)) geq 0.}

Pak pro všechny F,G,−h v konvexní kužel generováno uživatelem A,

{ displaystyle langle fg rangle _ {h} - langle f rangle _ {h} langle g rangle _ {h} geq 0.}

Důkaz

Nechat

{ displaystyle Z_ {h} = int e ^ {- h (x)} , d mu (x).}

Pak

{ displaystyle { begin {aligned} & Z_ {h} ^ {2} left ( langle fg rangle _ {h} - langle f rangle _ {h} langle g rangle _ {h} right ) & qquad = iint d mu (x) , d mu (y) f (x) (g (x) -g (y)) e ^ {- h (x) -h (y) )} & qquad = sum _ {k = 0} ^ { infty} iint d mu (x) , d mu (y) f (x) (g (x) -g (y) )) { frac {(-h (x) -h (y)) ^ {k}} {k!}}. end {zarovnáno}}}

Nerovnost nyní vyplývá z předpokladu a z identity

{ displaystyle f (x) = { frac {1} {2}} (f (x) + f (y)) + { frac {1} {2}} (f (x) -f (y) ).}

Příklady

Chcete-li obnovit (druhou) nerovnost Griffithů, vezměte Γ = {−1, +1}^Λ, kde Λ je mřížka, a nechť μ být mírou na Γ, která je neměnná pod převrácením znaménka. Kužel A polynomů s kladnými koeficienty splňuje předpoklady Ginibreovy nerovnosti.
(Γ,μ) je komutativní kompaktní skupina s Haarovo opatření, A je kužel skutečné pozitivní určité funkce na Γ.
Γ je a úplně objednaná sada, A je kužel skutečných pozitivních neklesajících funkcí na Γ. To přináší Čebyševova nerovnost součtu. Rozšíření na částečně objednané sady viz Nerovnost FKG.

Aplikace

The termodynamický limit korelací feromagnetického Isingova modelu (s nezáporným vnějším polem h a volné okrajové podmínky).

Důvodem je, že zvýšení hlasitosti je stejné jako zapnutí nových spojek J_B pro určitou podmnožinu B. Druhou Griffithovou nerovností

{ displaystyle { frac { částečné} { částečné J_ {B}}} langle sigma _ {A} rangle = langle sigma _ {A} sigma _ {B} rangle - langle sigma _ {A} rangle langle sigma _ {B} rangle geq 0}

Proto

{ displaystyle langle sigma _ {A} rangle}

monotónně roste s objemem; pak konverguje, protože je ohraničen 1.

Jednorozměrný feromagnetický Isingův model s interakcemi ${ displaystyle J_ {x, y} sim | x-y | ^ {- alpha}}$ zobrazí fázový přechod, pokud ${ displaystyle 1 < alpha <2}$ .

Tuto vlastnost lze zobrazit v hierarchické aproximaci, která se liší od úplného modelu absencí některých interakcí: argumentem, jak je uvedeno výše u druhé Griffithovy nerovnosti, výsledky přenášejí celý model.^[7]

Ginibreho nerovnost poskytuje existenci termodynamického limitu pro energie zdarma a spinové korelace pro dvourozměrný klasický model XY.^[4] Kromě toho Kunz a Pfister prostřednictvím nerovnosti Ginibre dokázali přítomnost fázového přechodu pro feromagnetický model XY s interakcí ${ displaystyle J_ {x, y} sim | x-y | ^ {- alpha}}$ -li ${ displaystyle 2 < alpha <4}$ .
Aizenman a Simon^[8] použil nerovnost Ginibre k prokázání, že dvoubodová rotace korelace feromagnetický klasický XY model v rozměru ${ displaystyle D}$ , spojka ${ displaystyle J> 0}$ a inverzní teplota ${ displaystyle beta}$ je dominoval podle (tj. má horní mez danou) dvoubodovou korelací feromagnetický Isingův model v rozměru ${ displaystyle D}$ , spojka ${ displaystyle J> 0}$ a inverzní teplota ${ displaystyle beta / 2}$

{ displaystyle langle mathbf {s} _ {i} cdot mathbf {s} _ {j} rangle _ {J, 2 beta} leq langle sigma _ {i} sigma _ {j } rangle _ {J, beta}}

Proto kritický

{ displaystyle beta}

modelu XY nemůže být menší než dvojnásobek kritické teploty modelu Ising

{ displaystyle beta _ {c} ^ {XY} geq 2 beta _ {c} ^ { rm {Is}} ~;}

v rozměru D = 2 a spojka J = 1, to dává

{ displaystyle beta _ {c} ^ {XY} geq ln (1 + { sqrt {2}}) přibližně 0,88 ~.}

Existuje verze nerovnosti Ginibre pro Coulombův plyn z toho vyplývá existence termodynamického limitu korelací.^[9]
Další aplikace (fázové přechody v spinových systémech, model XY, kvantový řetězec XYZ) jsou přezkoumány v.^[10]

Reference

^ Griffiths, R.B. (1967). „Korelace v Isingových feromagnetech. Já“. J. Math. Phys. 8 (3): 478–483. doi:10.1063/1.1705219.
^ Kelly, D.J .; Sherman, S. (1968). "Nerovnosti generála Griffithse o korelacích ve feromagnetech Ising". J. Math. Phys. 9 (3): 466–484. doi:10.1063/1.1664600.
^ Griffiths, R.B. (1969). "Rigorózní výsledky pro Ising Ferromagnety svévolné rotace". J. Math. Phys. 10 (9): 1559–1565. doi:10.1063/1.1665005.
^ ^A ^b ^C Ginibre, J. (1970). „Obecná formulace Griffithových nerovností“. Comm. Matematika. Phys. 16 (4): 310–328. doi:10.1007 / BF01646537. S2CID 120649586.
^ Glimm, J.; Jaffe, A. (1987). Kvantová fyzika. Funkční integrální hledisko. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96476-2.
^ Friedli, S .; Velenik, Y. (2017). Statistická mechanika mřížových systémů: konkrétní matematický úvod. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824.
^ Dyson, F.J. (1969). „Existence fázového přechodu v jednorozměrném Isingově feromagnetu“. Comm. Matematika. Phys. 12 (2): 91–107. doi:10.1007 / BF01645907. S2CID 122117175.
^ Aizenman, M.; Simon, B. (1980). "Srovnání rovinného rotoru a Isingových modelů". Phys. Lett. A. 76 (3–4): 281–282. doi:10.1016/0375-9601(80)90493-4.
^ Fröhlich, J.; Park, Y.M. (1978). "Korelační nerovnosti a termodynamická mez pro klasické a kvantové spojité systémy". Comm. Matematika. Phys. 59 (3): 235–266. doi:10.1007 / BF01611505. S2CID 119758048.
^ Griffiths, R.B. (1972). "Důsledné výsledky a věty". V C. Domb a MS Green (ed.). Fázové přechody a kritické jevy. 1. New York: Academic Press. p. 7.

[gr1-1] Griffiths, R.B. (1967). „Korelace v Isingových feromagnetech. Já“. J. Math. Phys. 8 (3): 478–483. doi:10.1063/1.1705219.

[ks-2] Kelly, D.J .; Sherman, S. (1968). "Nerovnosti generála Griffithse o korelacích ve feromagnetech Ising". J. Math. Phys. 9 (3): 466–484. doi:10.1063/1.1664600.

[3] Griffiths, R.B. (1969). "Rigorózní výsledky pro Ising Ferromagnety svévolné rotace". J. Math. Phys. 10 (9): 1559–1565. doi:10.1063/1.1665005.

[g-4] A ^b ^C Ginibre, J. (1970). „Obecná formulace Griffithových nerovností“. Comm. Matematika. Phys. 16 (4): 310–328. doi:10.1007 / BF01646537. S2CID 120649586.

[5] Glimm, J.; Jaffe, A. (1987). Kvantová fyzika. Funkční integrální hledisko. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96476-2.

[6] Friedli, S .; Velenik, Y. (2017). Statistická mechanika mřížových systémů: konkrétní matematický úvod. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824.

[7] Dyson, F.J. (1969). „Existence fázového přechodu v jednorozměrném Isingově feromagnetu“. Comm. Matematika. Phys. 12 (2): 91–107. doi:10.1007 / BF01645907. S2CID 122117175.

[8] Aizenman, M.; Simon, B. (1980). "Srovnání rovinného rotoru a Isingových modelů". Phys. Lett. A. 76 (3–4): 281–282. doi:10.1016/0375-9601(80)90493-4.

[9] Fröhlich, J.; Park, Y.M. (1978). "Korelační nerovnosti a termodynamická mez pro klasické a kvantové spojité systémy". Comm. Matematika. Phys. 59 (3): 235–266. doi:10.1007 / BF01611505. S2CID 119758048.

[10] Griffiths, R.B. (1972). "Důsledné výsledky a věty". V C. Domb a MS Green (ed.). Fázové přechody a kritické jevy. 1. New York: Academic Press. p. 7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]