Podmínky příčinné souvislosti - Causality conditions

Ve studii o Lorentzian potrubí časoprostory existuje hierarchie podmínky kauzality které jsou důležité při dokazování matematických vět o globální struktuře takových potrubí. Tyto podmínky byly shromážděny na konci 70. let.^[1]

Čím slabší je kauzální podmínka v časoprostoru, tím více nefyzické časoprostor je. Prostory s uzavřené časové křivky například představují závažné interpretační potíže. Viz paradox dědečka.

Je rozumné se domnívat, že jakýkoli fyzický časoprostor uspokojí nejsilnější podmínku kauzality: globální hyperbolicita. Pro takové časoprostory rovnice v obecná relativita lze představovat jako problém počáteční hodnoty na Cauchyho povrch.

Hierarchie

Existuje hierarchie podmínek kauzality, z nichž každá je přísně silnější než ta předchozí. Toto se někdy nazývá kauzální žebřík. Podmínky, od nejslabších po nejsilnější, jsou:

Ne úplně brutální
Chronologický
Kauzální
Rozlišovací
Silně kauzální
Stabilně kauzální
Kauzálně kontinuální
Příčinně jednoduché
Globálně hyperbolické

Uvedeny jsou definice těchto podmínek kauzality pro a Lorentzian potrubí ${ displaystyle (M, g)}$ . Jsou-li uvedeny dva nebo více, jsou rovnocenné.

Zápis:

${ Displaystyle p ll q}$ označuje chronologický vztah.
${ displaystyle p prec q}$ označuje kauzální vztah.

(Vidět kauzální struktura pro definice ${ displaystyle , I ^ {+} (x)}$ , ${ displaystyle , I ^ {-} (x)}$ a ${ displaystyle , J ^ {+} (x)}$ , ${ displaystyle , J ^ {-} (x)}$ .)

Není úplně brutální

K některým bodům ${ displaystyle p v M}$ my máme ${ Displaystyle p not ll p}$ .

Chronologický

Neexistují žádné uzavřené chronologické (časové) křivky.
The chronologický vztah je nereagující: ${ Displaystyle p not ll p}$ pro všechny ${ displaystyle p v M}$ .

Kauzální

Neexistují žádné uzavřené kauzální (mimoprostorové) křivky.
Pokud obojí ${ displaystyle p prec q}$ a ${ displaystyle q prec p}$ pak ${ displaystyle p = q}$

Rozlišovací

Rozlišování minulosti

Dva body ${ displaystyle p, q v M}$ které sdílejí stejnou chronologickou minulost, jsou ve stejném bodě:

{ displaystyle I ^ {-} (p) = I ^ {-} (q) naznačuje p = q}

Pro jakékoli sousedství ${ displaystyle U}$ z ${ displaystyle p v M}$ existuje sousedství ${ displaystyle V podmnožina U, p ve V}$ taková, ze které není žádná minulá křivka ${ displaystyle p}$ protíná se ${ displaystyle V}$ více než jednou.

Rozlišování budoucnosti

Dva body ${ displaystyle p, q v M}$ které sdílejí stejnou chronologickou budoucnost, jsou ve stejném bodě:

${ displaystyle I ^ {+} (p) = I ^ {+} (q) implikuje p = q}$

Pro jakékoli sousedství ${ displaystyle U}$ z ${ displaystyle p v M}$ existuje sousedství ${ displaystyle V podmnožina U, p ve V}$ taková, ze které není žádná budoucí vesmírná křivka ${ displaystyle p}$ protíná se ${ displaystyle V}$ více než jednou.

Silně kauzální

Pro jakékoli sousedství ${ displaystyle U}$ z ${ displaystyle p v M}$ existuje sousedství ${ displaystyle V podmnožina U, p ve V}$ taková, že neexistuje žádná časově podobná křivka, která by prošla ${ displaystyle V}$ více než jednou.
Pro jakékoli sousedství ${ displaystyle U}$ z ${ displaystyle p v M}$ existuje sousedství ${ displaystyle V podmnožina U, p ve V}$ takhle ${ displaystyle V}$ je kauzálně konvexní ${ displaystyle M}$ (a tedy v ${ displaystyle U}$ ).
The Alexandrovská topologie souhlasí s rozmanitou topologií.

Stabilně kauzální

Potrubí, které splňuje některou z výše definovaných podmínek slabší kauzality, může selhat, pokud je metrice dána malá rozrušení. Časoprostor je stabilně kauzální, pokud jej nelze uzavřít kauzální křivky svévolně malými poruchami metriky. Stephen Hawking ukázal^[2] že to odpovídá:

Existuje a globální časová funkce na ${ displaystyle M}$ . Tohle je skalární pole ${ displaystyle t}$ na ${ displaystyle M}$ jehož spád ${ displaystyle nabla ^ {a} t}$ je všudypřítomný a zaměřený na budoucnost. Tento globální časová funkce dává nám stabilní způsob, jak rozlišovat mezi budoucností a minulostí pro každý bod časoprostoru (a tak nemáme žádné kauzální porušení).

Globálně hyperbolické

${ displaystyle , M}$ je silně kauzální a každá sada ${ displaystyle J ^ {+} (x) cap J ^ {-} (y)}$ (pro body ${ displaystyle x, y v M}$ ) je kompaktní.

Robert Geroch ukázal^[3] že časoprostor je globálně hyperbolický kdyby a jen kdyby existuje a Cauchyho povrch pro ${ displaystyle M}$ . Tohle znamená tamto:

${ displaystyle M}$ je topologicky ekvivalentní s ${ displaystyle mathbb {R} krát ! , S}$ pro některé Cauchyho povrch ${ displaystyle S}$ (Tady ${ displaystyle mathbb {R}}$ označuje skutečná linie ).

Viz také

Reference

^ E. Minguzzi a M. Sanchez, Kauzální hierarchie časoprostorů v H. Baum a D. Alekseevsky (eds.), sv. Nejnovější vývoj v pseudo-Riemannově geometrii, ESI Lect. Matematika. Phys., (Eur. Math. Soc. Publ. House, Zurich, 2008), str. 299–358, ISBN 978-3-03719-051-7, arXiv: gr-qc / 0609119
^ S.W. Hawking, Existence kosmických časových funkcí Proc. R. Soc. Lond. (1969), A308, 433
^ R. Geroch, Doména závislosti Archivováno 2013-02-24 v Archiv. Dnes J. Math. Phys. (1970) 11, 437–449

S.W. Hawking, G.F.R. Ellis (1973). Struktura velkého měřítka časoprostoru. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-20016-4.
S.W. Hawking, W. Izrael (1979). Obecná relativita, An Esteinstein Centenary Survey. Cambridge University Press. ISBN 0-521-22285-0.

[CausalLadder-1] E. Minguzzi a M. Sanchez, Kauzální hierarchie časoprostorů v H. Baum a D. Alekseevsky (eds.), sv. Nejnovější vývoj v pseudo-Riemannově geometrii, ESI Lect. Matematika. Phys., (Eur. Math. Soc. Publ. House, Zurich, 2008), str. 299–358, ISBN 978-3-03719-051-7, arXiv: gr-qc / 0609119

[StablyCausal-2] S.W. Hawking, Existence kosmických časových funkcí Proc. R. Soc. Lond. (1969), A308, 433

[GloballyHyperbolic-3] R. Geroch, Doména závislosti Archivováno 2013-02-24 v Archiv. Dnes J. Math. Phys. (1970) 11, 437–449

[1]

[2]

[3]