Kategorie algebra - Category algebra
v teorie kategorií, pole matematika, a kategorie algebra je asociativní algebra, definováno pro lokálně konečné kategorie a komutativní prsten s jednotou. Kategorie algebry zobecňují pojmy skupinové algebry a výskyt algebry, stejně jako Kategorie zobecnit pojmy skupiny a částečně objednané sady.
Definice
Pokud je daná kategorie konečná (má konečně mnoho předměty a morfismy ), pak následující dvě definice algebry kategorie souhlasí.
Skupinová definice algebry
Vzhledem k skupina G a a komutativní prsten R, lze postavit RG, známý jako skupinová algebra; to je R-modul vybavené násobením. Skupina je stejná jako kategorie s jediným objektem, ve kterém jsou všechny morfismy izomorfismy (kde prvky skupiny odpovídají morfismům kategorie), takže následující konstrukce zobecňuje definici skupinové algebry ze skupin do libovolných kategorií.
Nechat C být kategorií a R být komutativním kruhem s jednotou. Definovat RC (nebo R[C]) být volný, uvolnit R-modul se základem skládajícím se z map C. Jinými slovy, RC skládá se z formálního lineární kombinace (což jsou konečné součty) formuláře , kde Fi jsou mapy C, a Ai jsou prvky prstenu R. Definujte operaci násobení na RC takto, pomocí operace kompozice v kategorii:
kde pokud jejich složení není definováno. Toto definuje binární operaci RC, a navíc dělá RC do asociativní algebry nad prstenem R. Tato algebra se nazývá kategorie algebra z C.
Z jiné perspektivy prvky volného modulu RC lze také považovat za funkce z map C na R což jsou definitivně podporováno. Pak je násobení popsáno a konvoluce: pokud (myšlenka jako funkcionáři na mapách C), pak je jejich produkt definován jako:
Druhá částka je konečná, protože funkce jsou konečně podporovány, a proto .
Definice stylu algebry incidence
Definice použitá pro výskyt algeber předpokládá, že kategorie C je lokálně konečný (viz níže), je dvojí k výše uvedené definici a definuje a odlišný objekt. To není užitečný předpoklad pro skupiny, protože skupina, která je místně konečná, protože kategorie je konečná.
A lokálně konečná kategorie je jedna, kde lze každou mapu psát jen konečně mnoha způsoby, protože složení dvou neidentitních map (nezaměňovat s „má konečnou“ Hom-sady "význam). Algebra kategorie (v tomto smyslu) je definována výše, ale umožňuje, aby všechny koeficienty byly nenulové.
Pokud jde o formální částky, prvky jsou všechny formální částky
kde neexistují žádná omezení (všechny mohou být nenulové).
Pokud jde o funkce, prvky jsou jakékoli funkce z map C na Ra násobení je definováno jako konvoluce. Součet v konvoluci je vždy konečný z důvodu místního předpokladu konečnosti.
Dvojí
Duál modulu algebry kategorie (ve smyslu definice skupinové algebry) je prostorem všech map z map C na R, označeno F(C), a má přirozený uhlígebra struktura. Pro lokálně konečnou kategorii je tedy duál algebry kategorie (ve smyslu skupinové algebry) algebra kategorie (ve smyslu algebry dopadu) a má strukturu algebry i uhlím.
Příklady
- Li C je skupina (myšlenka jako grupoid jediným objektem) RC je skupinová algebra.
- Li C je monoidní (myšleno jako kategorie s jediným objektem) RC je monoidní prsten.
- Li C je částečně objednaná sada, pak (s použitím příslušné definice), RC je výskytová algebra.
- The cesta algebra a toulec Q je algebra kategorie kategorie zdarma na Q.
Reference
- Haigh, Johne. Na Möbiově algebře a Grothendieckově kruhu konečné kategorie J. London Math. Soc (2), 21 (1980) 81–92.
Další čtení
- http://www.math.umn.edu/~webb/Publications/CategoryAlgebras.pdf Standardní text.