Carminati – McLenaghan invarianty - Carminati–McLenaghan invariants

v obecná relativita, Carminati – McLenaghan invarianty nebo CM skaláry jsou množinou 16 skalárních zakřivení invarianty pro Riemannův tenzor. Tato sada je obvykle doplněna nejméně o dva další invarianty.

Matematická definice

CM invarianty se skládají ze 6 skutečných skalárů plus 5 komplexních skalárů, což činí celkem 16 invariantů. Jsou definovány z hlediska Weylův tenzor ${ displaystyle C_ {abcd}}$ a jeho pravý (nebo levý) duální ${ displaystyle {{} ^ { star} C} _ {ijkl} = (1/2) epsilon _ {klmn} C_ {ij} {} ^ {mn}}$, Ricciho tenzor ${ displaystyle R_ {ab}}$a bez stopy Ricciho tenzoru

${ displaystyle S_ {ab} = R_ {ab} - { frac {1} {4}} , R , g_ {ab}}$

V následujícím textu může být užitečné si uvědomit, že pokud vezmeme v úvahu ${ displaystyle {S ^ {a}} _ {b}}$ jako matice ${ displaystyle {S ^ {a}} _ {m} , {S ^ {m}} _ {b}}$ je náměstí této matice, takže stopa náměstí je ${ displaystyle {S ^ {a}} _ {b} , {S ^ {b}} _ {a}}$, a tak dále.

Skutečné CM skaláry jsou:

1. ${ displaystyle R = {R ^ {m}} _ {m}}$ (stopa Ricciho tenzor )
2. ${ displaystyle R_ {1} = { frac {1} {4}} , {S ^ {a}} _ {b} , {S ^ {b}} _ {a}}$
3. ${ displaystyle R_ {2} = - { frac {1} {8}} , {S ^ {a}} _ {b} , {S ^ {b}} _ {c} , {S ^ {c}} _ {a}}$
4. ${ displaystyle R_ {3} = { frac {1} {16}} , {S ^ {a}} _ {b} , {S ^ {b}} _ {c} , {S ^ { c}} _ {d} , {S ^ {d}} _ {a}}$
5. ${ displaystyle M_ {3} = { frac {1} {16}} , S ^ {bc} , S_ {ef} vlevo (C_ {abcd} , C ^ {aefd} + {{} ^ { star} C} _ {abcd} , {{}} {{star} C} ^ {aefd} right)}$
6. ${ displaystyle M_ {4} = - { frac {1} {32}} , S ^ {ag} , S ^ {ef} , {S ^ {c}} _ {d} , vlevo ({C_ {ac}} ^ {db} , C_ {befg} + {{{}} {{star} C} _ {ac}} ^ {db} , {{} ^ { star} C} _ {befg} right)}$

Složité CM skaláry jsou:

1. ${ displaystyle W_ {1} = { frac {1} {8}} , vlevo (C_ {abcd} + i , {{} ^ { star} C} _ {abcd} vpravo) , C ^ {abcd}}$
2. ${ displaystyle W_ {2} = - { frac {1} {16}} , left ({C_ {ab}} ^ {cd} + i , {{{}} {{star} C} _ {ab}} ^ {cd} right) , {C_ {cd}} ^ {ef} , {C_ {ef}} ^ {ab}}$
3. ${ displaystyle M_ {1} = { frac {1} {8}} , S ^ {ab} , S ^ {cd} , left (C_ {acdb} + i , {{} ^ { star} C} _ {acdb} right)}$
4. ${ displaystyle M_ {2} = { frac {1} {16}} , S ^ {bc} , S_ {ef} , vlevo (C_ {abcd} , C ^ {aefd} - {{ } ^ { star} C} _ {abcd} , {{} ^ { star} C} ^ {aefd} right) + { frac {1} {8}} , i , S ^ { bc} , S_ {ef} , {{} ^ { star} C} _ {abcd} , C ^ {aefd}}$
5. ${ displaystyle M_ {5} = { frac {1} {32}} , S ^ {cd} , S ^ {ef} , left (C ^ {aghb} + i , {{} ^ { star} C} ^ {aghb} right) , left (C_ {acdb} , C_ {gefh} + {{} ^ { star} C} _ {acdb} , {{} ^ { star} C} _ {gefh} right)}$

Skaláry CM mají následující stupňů:

1. ${ displaystyle R}$ je lineární,
2. ${ displaystyle R_ {1}, , W_ {1}}$ jsou kvadratické,
3. ${ displaystyle R_ {2}, , W_ {2}, , M_ {1}}$ jsou krychlové,
4. ${ displaystyle R_ {3}, , M_ {2}, , M_ {3}}$ jsou kvartální,
5. ${ displaystyle M_ {4}, , M_ {5}}$ jsou kvintické.

Všechny mohou být vyjádřeny přímo z hlediska Ricci spinors a Weyl spinors, použitím Newman – Penroseův formalismus; viz odkaz níže.

Kompletní sady invarianty

V případě sféricky symetrické časoprostory nebo rovinné symetrické časoprostory, je známo, že

${ displaystyle R, , R_ {1}, , R_ {2}, , R_ {3}, , Re (W_ {1}), , Re (M_ {1}), , Re (M_ {2})}$

${ displaystyle { frac {1} {32}} , S ^ {cd} , S ^ {ef} , C ^ {aghb} , C_ {acdb} , C_ {gefh}}$

obsahovat a kompletní set invarianty pro Riemannův tenzor. V případě vakuová řešení, elektrovakuová řešení a perfektní tekutá řešení, skaláry CM tvoří kompletní sadu. Pro obecnější časoprostory mohou být vyžadovány další invarianty; určení přesného počtu (a možné syzygies mezi různými invarianty) je otevřený problém.

Viz také

• Zakřivení neměnné, pro více informací o invariantech zakřivení v (semi) -Riemannově geometrii obecně
• Zakřivení neměnné (obecná relativita), pro další zakřivení invarianty, které jsou užitečné v obecné relativitě

Reference

• Carminati J .; McLenaghan, R. G. (1991). „Algebraické invarianty Riemannova tenzoru ve čtyřrozměrném Lorentzianově prostoru“. J. Math. Phys. 32 (11): 3135–3140. Bibcode:1991JMP .... 32.3135C. doi:10.1063/1.529470.

externí odkazy

• The Web GRTensor II obsahuje příručku s definicemi a diskusemi o CM skalářích.
• Implementace v systému počítačové algebry Maxima