Brauerova algebra - Brauer algebra

V matematice, a Brauerova algebra je algebra zavedená Richard Brauer  (1937, oddíl 5) použitý v teorie reprezentace z ortogonální skupina. Hraje stejnou roli jako symetrická skupina dělá pro teorii reprezentace obecná lineární skupina v Schur – Weylova dualita.

Definice

Pokud jde o diagramy

Produkt 2 základních prvků A a B Brauerovy algebry s n = 12

Brauerova algebra ${displaystyle {mathfrak {B}} _ {n} (delta)}$ je ${displaystyle mathbb {Z} [delta]}$-algebra v závislosti na volbě kladného celého čísla n. ${displaystyle d}$ je neurčitý, ale v praxi ${displaystyle delta}$ se často specializuje na dimenzi základní zastoupení z ortogonální skupina ${displaystyle O_ {d} (K)}$. Brauerova algebra má rozměr ${displaystyle {frac {(2n)!} {2 ^ {n} n!}} = (2n-1) (2n-3) cdots 5cdot 3cdot 1}$ a má základ skládající se ze všech párování na sadě ${displaystyle 2n}$ elementy ${displaystyle X_ {1}, ..., X_ {n}, Y_ {1}, ..., Y_ {n}}$ (to je vše perfektní párování a kompletní graf ${displaystyle K_ {n}}$: jakékoli dva z ${displaystyle 2n}$ prvky lze navzájem porovnávat bez ohledu na jejich symboly). Elementy ${displaystyle X_ {i}}$ jsou obvykle psány v řadě s prvky ${displaystyle Y_ {i}}$ pod nimi. Produkt dvou základních prvků ${displaystyle A}$ a ${displaystyle B}$ se získá první identifikací koncových bodů ve spodním řádku souboru ${displaystyle A}$ a horní řada ${displaystyle B}$ (Postava AB v diagramu), poté odstraníte koncové body ve středním řádku a spojíte koncové body ve zbývajících dvou řádcích, pokud jsou spojeny přímo nebo cestou v AB (Postava AB = nn v diagramu). Tím jsou všechny uzavřené smyčky uprostřed AB jsou odstraněny. Produkt ${displaystyle Acdot B}$ základních prvků je pak definován jako základní prvek odpovídající novému párování vynásobený ${displaystyle delta ^ {r}}$ kde ${displaystyle r}$ je počet odstraněných smyček. V příkladu ${displaystyle Acdot B = delta ^ {2} AB}$.

Z hlediska generátorů a vztahů

${displaystyle {mathfrak {B}} _ {n} (delta)}$ lze také definovat jako ${displaystyle mathbb {Z} [delta]}$-algebra s generátory ${displaystyle s_ {1}, ldots, s_ {a-1}, e_ {1}, ldots, e_ {a-1}}$ splnění následujících vztahů:

• Vztahy symetrická skupina:

${displaystyle s_ {i} ^ {2} = 1}$

${displaystyle s_ {i} s_ {j} = s_ {j} s_ {i}}$ kdykoli ${displaystyle | i-j |> 1}$

${displaystyle s_ {i} s_ {i + 1} s_ {i} = s_ {i + 1} s_ {i} s_ {i + 1}}$

• Téměř-idempotentní vztah:

${displaystyle e_ {i} ^ {2} = delta e_ {i}}$

• Komutace:

${displaystyle e_ {i} e_ {j} = e_ {j} e_ {i}}$

${displaystyle s_ {i} e_ {j} = e_ {j} s_ {i}}$

kdykoli${displaystyle | i-j |> 1}$

• Zamotané vztahy

${displaystyle e_ {i} e_ {ipm 1} e_ {i} = e_ {i}}$

${displaystyle s_ {i} s_ {ipm 1} e_ {i} = e_ {ipm 1} e_ {i}}$

${displaystyle e_ {i} s_ {ipm 1} s_ {i} = e_ {i} e_ {ipm 1}}$

• Rozmotání:

${displaystyle s_ {i} e_ {i} = e_ {i} s_ {i} = e_ {i}}$:

${displaystyle e_ {i} s_ {ipm 1} e_ {i} = e_ {i}}$

V této prezentaci ${displaystyle s_ {i}}$ představuje diagram, ve kterém ${displaystyle X_ {k}}$ je vždy připojen k ${displaystyle Y_ {k}}$ přímo pod ním, kromě ${displaystyle X_ {i}}$ a ${displaystyle X_ {i + 1}}$ které jsou připojeny k ${displaystyle Y_ {i + 1}}$ ans ${displaystyle Y_ {i}}$ resp. Podobně ${displaystyle e_ {i}}$ představuje diagram, ve kterém ${displaystyle X_ {k}}$ je vždy připojen k ${displaystyle Y_ {k}}$ přímo pod ním, kromě ${displaystyle X_ {i}}$ je připojen k ${displaystyle X_ {i + 1}}$ a ${displaystyle Y_ {i}}$ na ${displaystyle Y_ {i + 1}}$.

Vlastnosti

Subalgebra generovaná ${displaystyle s_ {i}}$ je skupinová algebra symetrické skupiny. Brauerova algebra je a buněčná algebra.

Akce na tenzorové síly

Nechat ${displaystyle V}$ být euklidovský vektorový prostor dimenze ${displaystyle d}$. Potom napiš ${displaystyle B_ {n} (d)}$ pro specializaci ${displaystyle mathbb {R} otimes _ {mathbb {Z} [delta]} {mathfrak {B}} _ {n} (delta)}$ kde ${displaystyle delta}$ jedná ${displaystyle mathbb {R}}$ násobením s ${displaystyle d}$. The tenzorový výkon ${displaystyle V ^ {otimes n}: = underbrace {Votimes cdots otimes V} _ {a {ext {times}}}}$ je přirozeně a ${displaystyle B_ {n} (d)}$-modul: ${displaystyle s_ {i}}$ jedná přepnutím ${displaystyle i}$th a ${displaystyle (i + 1)}$tenzorový faktor a ${displaystyle e_ {i}}$ působí kontrakcí následovanou expanzí v ${displaystyle i}$th a ${displaystyle (i + 1)}$th tenzorový faktor, tj. ${displaystyle e_ {i}}$ působí jako

${displaystyle v_ {1} otimes cdots otimes v_ {i-1} otimes (v_ {i} otimes v_ {i + 1}) otimes cdots otimes v_ {n} mapsto v_ {1} otimes cdots otimes v_ {i-1} otimes (langle v_ {i}, v_ {i + 1} úhel součet _ {k = 1} ^ {d} e_ {k} otimes e_ {k}) otimes cdots otimes v_ {n}}$

kde ${displaystyle e_ {1}, ldots, e_ {d}}$ je jakýkoli ortonormální základ ${displaystyle V}$ (částka je ve skutečnosti nezávislá na volbě takového základu).

Tato akce je užitečná při zobecnění Schur-Weylova dualita: Obraz uživatele ${displaystyle B_ {n} (d)}$ uvnitř ${displaystyle operatorname {End} (V ^ {otimes a})}$ je přesně centralizátor ${displaystyle O (V)}$ uvnitř ${displaystyle operatorname {End} (V ^ {otimes a})}$ a naopak. Síla tenzoru ${displaystyle V ^ {další časy}}$ je tedy obojí ${displaystyle O (V)}$- a ${displaystyle B_ {n} (d)}$-modul a uspokojuje

${displaystyle V ^ {otimes a} = igoplus _ {lambda} U_ {lambda} opakovaně W_ {lambda}}$

kde ${displaystyle lambda}$ přejíždí jistě oddíly a ${displaystyle U_ {lambda}, W_ {lambda}}$ jsou neredukovatelné ${displaystyle O (V)}$- a ${displaystyle B_ {n} (d)}$-modul spojený s ${displaystyle lambda}$ resp.

Ortogonální skupina

Li Ó_d(R) je ortogonální skupina působící na PROTI = R^dpak má Brauerova algebra přirozenou akci na prostor polynomů PROTIⁿ dojíždění s působením ortogonální skupiny.

Viz také

• Birman – Wenzl algebra, deformace Brauerovy algebry.

Reference

• Brauer, Richard (1937), „O algebrách, které jsou spojeny s polojednodušými spojitými skupinami“, Annals of Mathematics, Druhá série, Annals of Mathematics, 38 (4): 857–872, doi:10.2307/1968843, ISSN  0003-486X, JSTOR  1968843
• Wenzl, Hans (1988), „O struktuře Brauerových centralizačních algeber“, Annals of Mathematics, Druhá série, 128 (1): 173–193, doi:10.2307/1971466, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971466, PAN  0951511
• Weyl, Hermann (1946), Klasické skupiny: jejich invarianty a reprezentace, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-05756-9, PAN  0000255, vyvoláno 03/2007/26 Zkontrolujte hodnoty data v: | accessdate = (Pomoc)