Birman – Wenzl algebra - Birman–Wenzl algebra

V matematice je Birman – Murakami – Wenzl (BMW) algebra, představil Joan Birman a Hans Wenzl (1989 ) a Jun Murakami (1987 ), je rodina dvou parametrů algebry ${ displaystyle mathrm {C} _ {n} ( ell, m)}$ dimenze ${ displaystyle 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)}$ mít Hecke algebra z symetrická skupina jako kvocient. Souvisí to s Kauffmanův polynom a odkaz. Jedná se o deformaci Brauerova algebra stejně jako Heckeovy algebry jsou deformacemi skupinová algebra symetrické skupiny.

Definice

Pro každé přirozené číslo n, algebra BMW ${ displaystyle mathrm {C} _ {n} ( ell, m)}$ generuje ${ displaystyle G_ {1}, G_ {2}, tečky, G_ {n-1}, E_ {1}, E_ {2}, tečky, E_ {n-1}}$ a vztahy:

${ displaystyle G_ {i} G_ {j} = G_ {j} G_ {i}, mathrm {if} left vert i-j right vert geqslant 2,}$

${ displaystyle G_ {i} G_ {i + 1} G_ {i} = G_ {i + 1} G_ {i} G_ {i + 1},}$         ${ displaystyle E_ {i} E_ {i pm 1} E_ {i} = E_ {i},}$

${ displaystyle G_ {i} + {G_ {i}} ^ {- 1} = m (1 + E_ {i}),}$

${ displaystyle G_ {i pm 1} G_ {i} E_ {i pm 1} = E_ {i} G_ {i pm 1} G_ {i} = E_ {i} E_ {i pm 1}, }$      ${ displaystyle G_ {i pm 1} E_ {i} G_ {i pm 1} = {G_ {i}} ^ {- 1} E_ {i pm 1} {G_ {i}} ^ {- 1 },}$

${ displaystyle G_ {i pm 1} E_ {i} E_ {i pm 1} = {G_ {i}} ^ {- 1} E_ {i pm 1},}$      ${ displaystyle E_ {i pm 1} E_ {i} G_ {i pm 1} = E_ {i pm 1} {G_ {i}} ^ {- 1},}$

${ displaystyle G_ {i} E_ {i} = E_ {i} G_ {i} = l ^ {- 1} E_ {i},}$     ${ displaystyle E_ {i} G_ {i pm 1} E_ {i} = lE_ {i}.}$

Tyto vztahy znamenají další vztahy:

${ displaystyle E_ {i} E_ {j} = E_ {j} E_ {i}, mathrm {if} left vert i-j right vert geqslant 2,}$

${ displaystyle (E_ {i}) ^ {2} = (m ^ {- 1} (l + l ^ {- 1}) - 1) E_ {i},}$

${ displaystyle {G_ {i}} ^ {2} = m (G_ {i} + l ^ {- 1} E_ {i}) - 1.}$

Toto je původní definice daná Birmanem a Wenzlem. V souladu s Kauffmanovou „dubrovnickou“ verzí jeho odkazu invariantu se však někdy provede mírná změna zavedením některých znaménků mínus. Tímto způsobem se čtvrtý vztah v původní verzi Birman & Wenzl změní na

1. (Vztah Kauffmana přadeno)

   ${ displaystyle G_ {i} - {G_ {i}} ^ {- 1} = m (1-E_ {i}),}$

Vzhledem k invertibilitě m, zbytek vztahů v původní verzi Birman & Wenzl lze zredukovat na

2. (Idempotentní vztah)

   ${ displaystyle (E_ {i}) ^ {2} = (m ^ {- 1} (l-l ^ {- 1}) + 1) E_ {i},}$

3. (Braid relations)

   ${ displaystyle G_ {i} G_ {j} = G_ {j} G_ {i}, { text {if}} left vert ij right vert geqslant 2, { text {and}} G_ { i} G_ {i + 1} G_ {i} = G_ {i + 1} G_ {i} G_ {i + 1},}$

4. (Tangle relations)

   ${ displaystyle E_ {i} E_ {i pm 1} E_ {i} = E_ {i} { text {a}} G_ {i} G_ {i pm 1} E_ {i} = E_ {i odpoledne 1} E_ {i},}$

5. (Deloopingové vztahy)

   ${ displaystyle G_ {i} E_ {i} = E_ {i} G_ {i} = l ^ {- 1} E_ {i} { text {a}} E_ {i} G_ {i pm 1} E_ {i} = lE_ {i}.}$

Vlastnosti

• Rozměr ${ displaystyle mathrm {C} _ {n} ( ell, m)}$ je ${ displaystyle (2n)! / (2 ^ {n} n!)}$.
• The Iwahori – Hecke algebra spojené s symetrická skupina ${ displaystyle S_ {n}}$ je kvocient Birman – Murakami – Wenzl algebry ${ displaystyle mathrm {C} _ {n}}$.
• The Artin skupina copu vloží do algebry BMW, ${ displaystyle B_ {n} hookrightarrow mathrm {C} _ {n}}$.

Izomorfismus mezi algebrami BMW a Kauffmanovými spletitými algebrami

Dokazuje to Morton & Wassermann (1989) že BMW algebra ${ displaystyle mathrm {C} _ {n} ( ell, m)}$ je izomorfní s Kauffmanovou spletitou algebrou ${ displaystyle mathrm {KT} _ {n}}$, izomorfismus ${ displaystyle phi colon mathrm {C} _ {n} to mathrm {KT} _ {n}}$ je definováno
a

Baxterizace Birman – Murakami – Wenzl algebry

Definujte operátora obličeje jako

${ displaystyle U_ {i} (u) = 1 - { frac {i sin u} { sin lambda sin mu}} (e ^ {i (u- lambda)} G_ {i} - e ^ {- i (u- lambda)} {G_ {i}} ^ {- 1})}$,

kde ${ displaystyle lambda}$ a ${ displaystyle mu}$ jsou určeny

${ displaystyle 2 cos lambda = 1 + (l-l ^ {- 1}) / m}$

a

${ displaystyle 2 cos lambda = 1 + (l-l ^ {- 1}) / ( lambda sin mu)}$.

Pak operátor obličeje uspokojí Yang – Baxterova rovnice.

${ displaystyle U_ {i + 1} (v) U_ {i} (u + v) U_ {i + 1} (u) = U_ {i} (u) U_ {i + 1} (u + v) U_ {i} (v)}$

Nyní ${ displaystyle E_ {i} = U_ {i} ( lambda)}$ s

${ displaystyle rho (u) = { frac { sin ( lambda -u) sin ( mu + u)} { sin lambda sin mu}}}$.

V limity ${ displaystyle u to pm i infty}$, copánky ${ displaystyle {G_ {j}} ^ { pm}}$ lze obnovit až do A měřítko.

Dějiny

V roce 1984 Vaughan Jones představil nový polynomický invariant typů izotopů odkazů, který se nazývá Jonesův polynom. Invarianty souvisejí se stopami neredukovatelných reprezentací Hecke algebry spojené s symetrické skupiny. Murakami (1987) ukázal, že Kauffmanův polynom lze také interpretovat jako funkci ${ displaystyle F}$ na určité asociativní algebře. V roce 1989 Birman & Wenzl (1989) zkonstruoval dvouparametrovou rodinu algeber ${ displaystyle mathrm {C} _ {n} ( ell, m)}$ s Kauffmanovým polynomem ${ displaystyle K_ {n} ( ell, m)}$ jako stopa po příslušné renormalizaci.

Reference

• Birman, Joan S.; Wenzl, Hans (1989), „Braids, link polynomials and a new algebra“, Transakce Americké matematické společnosti Americká matematická společnost, 313 (1): 249–273, doi:10.1090 / S0002-9947-1989-0992598-X, ISSN  0002-9947, JSTOR  2001074, PAN  0992598
• Murakami, červen (1987), „Kauffmanův polynom odkazů a teorie reprezentace“, Osaka Journal of Mathematics, 24 (4): 745–758, ISSN  0030-6126, PAN  0927059
• Morton, Hugh R .; Wassermann, Antony J. (1989). „Základ pro Birman – Wenzl algebru“. arXiv:1012.3116.