Subfaktor - Subfactor
V teorii von Neumannovy algebry, a podfaktor a faktor je subalgebra, která je faktorem a obsahuje . Teorie subfaktorů vedla k objevu Jonesův polynom v teorie uzlů.
Rejstřík podfaktoru
Obvykle je považován za faktor typu , takže má konečnou stopu. V tomto případě každý Hilbertův vesmírný modul má rozměr což je nezáporné reálné číslo nebo . The index dílčího činitele je definován jako . Tady je reprezentace získané z GNS konstrukce stopy .
Věta o Jonesově indexu
To říká, že pokud je subfaktorem společnosti (oba typu ) pak index je ve formě pro , nebo je alespoň . Všechny tyto hodnoty se vyskytují.
Prvních několik hodnot jsou
Základní konstrukce
Předpokládejme to je subfaktorem společnosti , a že oba jsou konečné von Neumannovy algebry. Konstrukce GNS vytváří Hilbertův prostor jednal podle s cyklickým vektorem . Nechat být projekcí do podprostoru . Pak a generovat novou von Neumannovu algebru jednající na , obsahující jako subfaktor. Přechod od zařazení v k zařazení v se nazývá základní konstrukce.
Li a jsou oba faktory typu a má konečný index v pak je také typu Kromě toho mají inkluze stejný index: a .
Jonesova věž
Předpokládejme to je zahrnutí typu faktory konečného indexu. Opakováním základní konstrukce získáme věž inkluzí
kde a a každý je generován předchozí algebrou a projekcí. Spojení všech těchto algeber má traumatický stav jejichž omezení na každého je tracial state, a tak je uzavření unie dalším typem von Neumannova algebra .
Algebra obsahuje posloupnost projekcí které uspokojí Vztahy Temperley – Lieb na parametru . Kromě toho algebra generovaná je -algebra, ve které jsou sebe-adjunktní a takoví když je v algebře generované až do . Kdykoli jsou tyto dodatečné podmínky splněny, algebra se v parametru nazývá Temperly – Lieb – Jonesova algebra . Může se ukázat, že je jedinečný až -izomorfismus. Existuje pouze tehdy, když přebírá tyto speciální hodnoty pro nebo hodnoty větší než .
Standardní invariant
Předpokládejme to je zahrnutí typu faktory konečného indexu. Nechť jsou vyšší relativní komutanti a .
The standardní invariant dílčího činitele je následující mřížka:
což je v přizpůsobitelném případě úplná neměnnost.[1] Schematická axiomatizace standardního invariantu je dána pojmem rovinná algebra.
Hlavní grafy
Podfaktor konečného indexu se říká, že je neredukovatelné pokud je splněna některá z následujících rovnocenných podmínek:
- je neredukovatelná jako bimodul;
- the relativní komutant je .
V tomto případě definuje a bimodul stejně jako jeho konjugát bimodul . Relativní tenzorový produkt popsaný v Jones (1983) a často volal Connesova fúze po předchozí definici pro obecné von Neumannovy algebry z Alain Connes, lze použít k definování nových bimodulů , , a rozložením následujících tenzorových produktů na neredukovatelné složky:
Neredukovatelný a bimoduly vznikající tímto způsobem tvoří vrcholy hlavní graf, a bipartitní graf. Směrované hrany těchto grafů popisují způsob, jakým se neredukovatelný bimodul rozkládá, když je tenzorován a napravo. The dvojí jistina graf je definován podobným způsobem pomocí a bimoduly.
Jelikož jakýkoli bimodul odpovídá akci dojíždění dvou faktorů, je každý faktor obsažen v komutantu druhého a proto definuje dílčí faktor. Když je bimodul neredukovatelný, jeho dimenze je definována jako druhá odmocnina indexu tohoto podfaktoru. Dimenze je aditivně rozšířena o přímé součty neredukovatelných bimodulů. Je multiplikativní s ohledem na fúzi Connes.
Říká se, že subfaktor má konečná hloubka jestliže hlavní graf a jeho duální jsou konečné, tj. pokud se v těchto rozkladech vyskytuje jen konečně mnoho neredukovatelných bimodulů. V tomto případě pokud a jsou hyperfinitní, Sorin Popa ukázal, že zahrnutí je isomorfní s modelem
Kde faktory jsou získány z konstrukce GNS s ohledem na kanonickou stopu.
Uzlové polynomy
Algebra generovaná prvky s výše uvedenými vztahy se nazývá Temperley – Liebova algebra. Toto je podíl skupinové algebry skupina copu, takže reprezentace algebry Temperley – Lieb dávají reprezentace skupiny opletení, která zase často dává invarianty pro uzly.
Reference
- ^ Popa, Sorin (1994), „Klasifikace přístupných subfaktorů typu II“, Acta Mathematica, 172 (2): 163–255, doi:10.1007 / BF02392646, PAN 1278111
- Jones, Vaughan F.R. (1983), "Index pro dílčí faktory", Inventiones Mathematicae, 72: 1–25, doi:10.1007 / BF01389127
- Wenzl, H.G. (1988), „Hecke algebry typu An a subfaktory “, Vymyslet. Matematika., 92 (2): 349–383, doi:10.1007 / BF01404457, PAN 0696688
- Jones, Vaughan F.R.; Sunder, Viakalathur Shankar (1997). Úvod do dílčích faktorů. Série přednášek London Mathematical Society. 234. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017 / CBO9780511566219. ISBN 0-521-58420-5. PAN 1473221.
- Teorie operátora Algebras III M. Takesakiho ISBN 3-540-42913-1
- Wassermann, Antony. „Operátoři v Hilbertově prostoru“.