Rozvětvené potrubí - Branched manifold

v matematika, a rozvětvené potrubí je zobecnění a diferencovatelné potrubí který může mít singularity velmi omezeného typu a připouští dobře definovaný tečný prostor v každém bodě. Rozvětvený n-potrubí je pokryto n-dimenzionální "souřadnicové grafy", z nichž každá zahrnuje jednu nebo několik "větví" homeomorfně vyčnívajících do stejné diferencovatelné n- přihlaste se Rn. Rozvětvené potrubí se poprvé objevilo v teorie dynamických systémů ve spojení s jednorozměrným hyperbolický atraktory postavil Smale a byly formalizovány R. F. Williamsem v sérii článků o rozšiřujících se atraktorech. Zvláštní případy malých rozměrů jsou známé jako kolejnice (n = 1) a rozvětvené povrchy (n = 2) a hrát prominentní roli v geometrii tři potrubí po Thurston.

Definice

Nechat K. být měřitelný prostor, dohromady s:

  1. sbírka {Ui} z uzavřené podmnožiny z K.;
  2. pro každého Ui, konečná sbírka {Dij} uzavřených podmnožin Ui;
  3. pro každého i, mapa πi: Ui → Din do uzavřeného n-disk třídy Ck v Rn.

Tyto údaje musí splňovat následující požadavky:

  1. ∪j Dij = Ui a ∪i Int Ui = K.;
  2. omezení πi na Dij je homeomorfismus na jeho obraz πi(Dij) což je uzavřená třída Ck n-disk vzhledem k hranici Din;
  3. tam je cocycle of difeomorfismy {αlm} třídy Ck (k ≥ 1) takové, že πl = αlm · πm pokud jsou definovány. Doména αlm je πm(Ul ∩ Um).

Pak prostor K. je rozvětvený n- rozdělovač třídy Ck.

Standardní strojní zařízení diferenciální topologie lze upravit pro případ rozvětvených potrubí. To vede k definici tečný prostor TpK. na rozvětvenou n- potrubí K. v daném bodě p, což je n-dimenzionální skutečné vektorový prostor; přirozený pojem a Ck diferencovatelná mapa F: K. → L mezi rozvětvenými rozdělovači, jeho rozdíl df: TpK. → TF(p)L, zárodek z F na p, tryskové prostory a další související pojmy.

Příklady

Vnější, rozvětvené n- rozdělovače jsou n-dimenzionální komplexy vložené do některých Euklidovský prostor tak, že každý bod má dobře definovaný n-dimenzionální tečný prostor.

  • Konečný graf jehož okraje jsou hladce vložené oblouky v a povrch, takže všechny hrany dopadají na daný vrchol proti mít stejnou tečnu v proti, je rozvětvený jednonásobný, nebo koleje (Existuje několik variant pojmu železniční tratě - zde není kladeno žádné omezení na valence vrcholů). Jako konkrétní příklad zvažte „osmičku“ tvořenou dvěma externě tečnými kružnicemi v rovině.
  • Dva komplex v R3 skládající se z několika listů, které se mohou tangenciálně spojit ve dvojicích podél určitých dvojitých křivek, nebo se spojit ve trojicích v izolovaných singulárních bodech, kde se tyto dvojité křivky protínají příčně, je rozvětvená dvojitá varieta nebo rozvětvený povrch. Zvažte například prostor K. získané ze 3 kopií euklidovské roviny, označené T (horní), M (uprostřed) a B (dole) identifikací polorovin y ≤ 0 palců T a M a poloroviny X ≤ 0 palců M a B. Lze si představit M je plochá souřadnicová rovina z = 0 v R3, T list zvlněný vzhůru od M podél X-osa vpravo (pozitivní y-směr) a B další list zvlněný dolů M podél y- osa vpředu (pozitivní X-směr). Souřadnicové osy v M rovina jsou dvojité křivky K., které se protínají příčně v jedinečném trojném bodě (0,0).

Reference