Rentgenová transformace - X-ray transform
v matematika, Rentgenová transformace (také zvaný John transformace) je integrální transformace představil Fritz John v roce 1938[1] to je jeden ze základních kamenů moderní doby integrální geometrie. Velmi úzce souvisí s Radonová transformace, a shoduje se s ním ve dvou rozměrech. Ve vyšších dimenzích je rentgenová transformace funkce definována integrací přes řádky spíše než přes hyperplanes jako v radonové transformaci. Rentgenová transformace odvozuje svůj název od rentgenového záření tomografie protože rentgenová transformace funkce ƒ představuje útlumová data tomografického skenování nehomogenním médiem, jehož hustotu představuje funkce ƒ. Inverze rentgenové transformace má proto praktický význam, protože umožňuje rekonstruovat neznámou hustotu ƒ ze svých známých údajů o útlumu.
Podrobně, pokud ƒ je kompaktně podporováno spojitá funkce na Euklidovský prostor Rn, pak rentgenová transformace ƒ je funkce Xƒ definované na množině všech řádků v Rn podle
kde X0 je počáteční bod na přímce a θ je jednotkový vektor udávající směr přímky L. Druhý integrál není považován v orientovaném smyslu: je integrálem s ohledem na jednorozměrný Lebesgueovo opatření na euklidovské linii L.
Rentgenová transformace vyhovuje ultrahyperbolická vlnová rovnice volala Johnova rovnice.
The Gaussova hypergeometrická funkce lze zapsat jako rentgenovou transformaci (Gelfand, Gindikin a Graev 2003, 2.1.2).
Reference
- ^ Fritz, John (1938). „Ultrahyperbolická diferenciální rovnice se čtyřmi nezávislými proměnnými“. Duke Mathematical Journal. 4: 300–322. doi:10.1215 / S0012-7094-38-00423-5. Citováno 23. ledna 2013.
- Berenstein, Carlos A. (2001) [1994], "Rentgenová transformace", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.
- Gelfand, I.M .; Gindikin, S. G .; Graev, M. I. (2003) [2000], Vybraná témata v integrální geometrii Překlady matematických monografií, 220„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-2932-5, PAN 2000133
- Helgason, Sigurdur (2008), Geometrická analýza na symetrických prostorechMatematické průzkumy a monografie 39 (2. vyd.), Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-4530-1, PAN 2463854
- Helgason, Sigurdur (1999), Radonová transformace (PDF), Progress in Mathematics (2. vyd.), Boston, M.A .: Birkhauser