Bhabha rozptyl - Bhabha scattering

Feynmanovy diagramy
Zničení
Rozptyl

v kvantová elektrodynamika, Bhabha rozptyl je elektron -pozitron rozptyl proces:

{ displaystyle e ^ {+} e ^ {-} pravá šipka e ^ {+} e ^ {-}}

Existují dva přední řády Feynmanovy diagramy přispívá k této interakci: proces zničení a proces rozptylu. Bhabhaův rozptyl je pojmenován po indickém fyzikovi Homi J. Bhabha.

Bhabhova rozptylová rychlost se používá jako monitor svítivosti v urychlovačích elektronů a pozitronů.

Diferenční průřez

Na vedoucí pořadí, zprůměrování diferenciální průřez pro tento proces je

{ displaystyle { frac { mathrm {d} sigma} { mathrm {d} ( cos theta)}} = { frac { pi alpha ^ {2}} {s}} vlevo ( u ^ {2} left ({ frac {1} {s}} + { frac {1} {t}} right) ^ {2} + left ({ frac {t} {s}} right) ^ {2} + left ({ frac {s} {t}} right) ^ {2} right) ,}

kde s,t, a u jsou Proměnné Mandelstam, ${ displaystyle alpha}$ je konstanta jemné struktury, a ${ displaystyle theta}$ je úhel rozptylu.

Tento průřez se počítá se zanedbáním elektronové hmotnosti vzhledem ke srážkové energii a zahrnuje pouze příspěvek z výměny fotonů. Toto je platná aproximace při srážkových energiích malá ve srovnání s hmotovou stupnicí Z boson, přibližně 91 GeV; při vyšších energiích se stává důležitým i příspěvek z výměny bosonu Z.

Proměnné Mandelstam

V tomto článku Proměnné Mandelstam jsou definovány

${ displaystyle s = ,}$	${ displaystyle (k + p) ^ {2} = ,}$	${ displaystyle (k '+ p') ^ {2} přibližně ,}$	${ displaystyle 2k cdot p cca ,}$	${ displaystyle 2k ' cdot p' ,}$
${ displaystyle t = ,}$	${ displaystyle (k-k ') ^ {2} = ,}$	${ displaystyle (p-p ') ^ {2} přibližně ,}$	${ displaystyle -2k cdot k ' přibližně ,}$	${ displaystyle -2p cdot p ',}$
${ displaystyle u = ,}$	${ displaystyle (k-p ') ^ {2} = ,}$	${ displaystyle (p-k ') ^ {2} přibližně ,}$	${ displaystyle -2k cdot p ' přibližně ,}$	${ displaystyle -2k ' cdot p ,}$

kde aproximace jsou pro vysokoenergetický (relativistický) limit.

Odvození nepolarizovaného průřezu

Maticové prvky

Schémata rozptylu i zničení přispívají k prvku přechodové matice. Necháním k a k ' představují čtyř-hybnost pozitronu, zatímco necháme p a p ' představují čtyř-hybnost elektronu a pomocí Feynman vládne lze ukázat, že následující diagramy poskytují tyto maticové prvky:

			Kde používáme: ${ displaystyle gamma ^ { mu} ,}$ jsou Gama matice, ${ displaystyle u, mathrm {a} { bar {u}} ,}$ jsou čtyřkomponentní spinory pro fermiony, zatímco ${ displaystyle v, mathrm {a} { bar {v}} ,}$ jsou čtyřkomponentní rotory pro antermermiony (viz Čtyři rotory ).
	(rozptyl)	(zničení)
${ displaystyle { mathcal {M}} = ,}$	${ displaystyle -e ^ {2} left ({ bar {v}} _ {k} gamma ^ { mu} v_ {k '} right) { frac {1} {(k-k' ) ^ {2}}} vlevo ({ bar {u}} _ {p '} gamma _ { mu} u_ {p} vpravo)}$	${ displaystyle + e ^ {2} left ({ bar {v}} _ {k} gamma ^ { nu} u_ {p} right) { frac {1} {(k + p) ^ {2}}} left ({ bar {u}} _ {p '} gamma _ { nu} v_ {k'} right)}$

Všimněte si, že mezi dvěma diagramy existuje relativní rozdíl znaménků.

Čtverec prvku matice

Pro výpočet nepolarizovaného průřez, jeden musí průměrný přes otáčení přicházejících částic (s_E- a s_{e +} možné hodnoty) a součet přes točení odcházejících částic. To znamená,

${ displaystyle { overline {\| { mathcal {M}} \| ^ {2}}} ,}$	${ displaystyle = { frac {1} {(2s_ {e -} + 1) (2s_ {e +} + 1)}} sum _ { mathrm {spins}} \| { mathcal {M}} \| ^ {2} ,}$
	${ displaystyle = { frac {1} {4}} součet _ {s = 1} ^ {2} součet _ {s '= 1} ^ {2} součet _ {r = 1} ^ {2 } sum _ {r '= 1} ^ {2} \| { mathcal {M}} \| ^ {2} ,}$

Nejprve spočítejte ${ displaystyle | { mathcal {M}} | ^ {2} ,}$ :

${ displaystyle \| { mathcal {M}} \| ^ {2} ,}$ =	${ displaystyle e ^ {4} vlevo \| { frac {({ bar {v}} _ {k} gamma ^ { mu} v_ {k '}) ({ bar {u}} _ { p '} gamma _ { mu} u_ {p})} {(k-k') ^ {2}}} vpravo \| ^ {2} ,}$	(rozptyl)
	${ displaystyle {} -e ^ {4} left ({ frac {({ bar {v}} _ {k} gamma ^ { mu} v_ {k '}) ({ bar {u} } _ {p '} gamma _ { mu} u_ {p})} {(k-k') ^ {2}}} doprava) ^ {*} doleva ({ frac {({ bar {v}} _ {k} gamma ^ { nu} u_ {p}) ({ bar {u}} _ {p '} gamma _ { nu} v_ {k'})}} {(k + p) ^ {2}}} vpravo) ,}$	(rušení)
	${ displaystyle {} -e ^ {4} left ({ frac {({ bar {v}} _ {k} gamma ^ { mu} v_ {k '}) ({ bar {u} } _ {p '} gamma _ { mu} u_ {p})} {(k-k') ^ {2}}} vpravo) vlevo ({ frac {({ bar {v}} _ {k} gamma ^ { nu} u_ {p}) ({ bar {u}} _ {p '} gamma _ { nu} v_ {k'})}} {(k + p) ^ {2}}} vpravo) ^ {*} ,}$	(rušení)
	${ displaystyle {} + e ^ {4} vlevo \| { frac {({ bar {v}} _ {k} gamma ^ { nu} u_ {p}) ({ bar {u}} _ {p '} gamma _ { nu} v_ {k'})} {(k + p) ^ {2}}} vpravo \| ^ {2} ,}$	(zničení)

Rozptyl termín (t-kanál)

Velikost M na druhou

${ displaystyle \| { mathcal {M}} \| ^ {2} ,}$	${ displaystyle = { frac {e ^ {4}} {(k-k ') ^ {4}}} { Big (} ({ bar {v}} _ {k} gamma ^ { mu } v_ {k '}) ({ bar {u}} _ {p'} gamma _ { mu} u_ {p}) { Big)} ^ {*} { Big (} ({ bar {v}} _ {k} gamma ^ { nu} v_ {k '}) ({ bar {u}} _ {p'} gamma _ { nu} u_ {p}) { Big) } ,}$	${ displaystyle (1) ,}$
	${ displaystyle = { frac {e ^ {4}} {(k-k ') ^ {4}}} { Big (} ({ bar {v}} _ {k} gamma ^ { mu } v_ {k '}) ^ {} ({ bar {u}} _ {p'} gamma _ { mu} u_ {p}) ^ {} { Big)} { Big (} ({ bar {v}} _ {k} gamma ^ { nu} v_ {k '}) ({ bar {u}} _ {p'} gamma _ { nu} u_ {p}) { Big)} ,}$	${ displaystyle (2) ,}$
	(komplexní konjugát převrátí pořadí)
	${ displaystyle = { frac {e ^ {4}} {(k-k ') ^ {4}}} { Big (} left ({ bar {v}} _ {k'} gamma ^ { mu} v_ {k} right) left ({ bar {u}} _ {p} gamma _ { mu} u_ {p '} right) { Big)} { Big (} left ({ bar {v}} _ {k} gamma ^ { nu} v_ {k '} right) left ({ bar {u}} _ {p'} gamma _ { nu } u_ {p} right) { Big)} ,}$	${ displaystyle (3) ,}$
	(přesuňte výrazy, které závisí na stejné hybnosti, aby byly vedle sebe)
	${ displaystyle = { frac {e ^ {4}} {(k-k ') ^ {4}}} vlevo ({ bar {v}} _ {k'} gamma ^ { mu} v_ {k} right) left ({ bar {v}} _ {k} gamma ^ { nu} v_ {k '} right) left ({ bar {u}} _ {p} gamma _ { mu} u_ {p '} right) left ({ bar {u}} _ {p'} gamma _ { nu} u_ {p} right) ,}$	${ displaystyle (4) ,}$

Součet za otočení

Dále bychom chtěli shrnout rotace všech čtyř částic. Nechat s a s ' být rotace elektronu a r a r ' být rotací pozitronu.

${ displaystyle sum _ { mathrm {otočení}} \| { mathcal {M}} \| ^ {2} ,}$	${ displaystyle = { frac {e ^ {4}} {(k-k ') ^ {4}}} left ( sum _ {r'} { bar {v}} _ {k '} gamma ^ { mu} ( sum _ {r} v_ {k} { bar {v}} _ {k}) gamma ^ { nu} v_ {k '} vpravo) vlevo ( sum _ {s} { bar {u}} _ {p} gamma _ { mu} ( sum _ {s '} {u_ {p'} { bar {u}} _ {p '}}) gamma _ { nu} u_ {p} right) ,}$	${ displaystyle (5) ,}$
	${ displaystyle = { frac {e ^ {4}} {(k-k ') ^ {4}}} operatorname {Tr} left ({ Big (} sum _ {r'} v_ {k '} { bar {v}} _ {k'} { Big)} gamma ^ { mu} { Big (} sum _ {r} v_ {k} { bar {v}} _ { k} { Big)} gamma ^ { nu} right) operatorname {Tr} left ({ Big (} sum _ {s} u_ {p} { bar {u}} _ {p } { Big)} gamma _ { mu} { Big (} sum _ {s '} {u_ {p'} { bar {u}} _ {p '}} { Big)} gamma _ { nu} right) ,}$	${ displaystyle (6) ,}$
	(nyní použijte Vztahy úplnosti )
	${ displaystyle = { frac {e ^ {4}} {(k-k ') ^ {4}}} operatorname {Tr} left ((k ! ! ! /' - m) gamma ^ { mu} (k ! ! ! / - m) gamma ^ { nu} vpravo) cdot operatorname {Tr} vlevo ((p ! ! ! / '+ m) gamma _ { mu} (p ! ! ! / + m) gamma _ { nu} vpravo) ,}$	${ displaystyle (7) ,}$
	(nyní použijte Stopové identity )
	${ displaystyle = { frac {e ^ {4}} {(k-k ') ^ {4}}} left (4 left ({k'} ^ { mu} k ^ { nu} - (k ' cdot k) eta ^ { mu nu} + k' ^ { nu} k ^ { mu} vpravo) + 4m ^ {2} eta ^ { mu nu} vpravo ) left (4 left ({p '} _ { mu} p _ { nu} - (p' cdot p) eta _ { mu nu} + p '_ { nu} p _ { mu} right) + 4m ^ {2} eta _ { mu nu} right) ,}$	${ displaystyle (8) ,}$
	${ displaystyle = { frac {32 {e ^ {4}}} {(k-k ') ^ {4}}} left ((k' cdot p ') (k cdot p) + (k ' cdot p) (k cdot p') - m ^ {2} p ' cdot pm ^ {2} k' cdot k + 2m ^ {4} vpravo) ,}$	${ displaystyle (9) ,}$

Nyní jde o přesnou formu, v případě elektronů se obvykle zajímají energetické stupnice, které daleko přesahují elektronovou hmotnost. Zanedbáním elektronové hmoty se získá zjednodušená forma:

${ displaystyle { frac {1} {4}} sum _ { mathrm {spins}} \| { mathcal {M}} \| ^ {2} ,}$	${ displaystyle = { frac {32e ^ {4}} {4 (k-k ') ^ {4}}} left ((k' cdot p ') (k cdot p) + (k' cdot p) (k cdot p ') right) ,}$
	(použijte Proměnné Mandelstam v tomto relativistickém limitu)
	${ displaystyle = { frac {8e ^ {4}} {t ^ {2}}} left ({ tfrac {1} {2}} s { tfrac {1} {2}} s + { tfrac {1} {2}} u { tfrac {1} {2}} u vpravo) ,}$
	${ displaystyle = 2e ^ {4} { frac {s ^ {2} + u ^ {2}} {t ^ {2}}} ,}$

Termín zničení (s-kanál)

Proces hledání termínu zničení je podobný výše uvedenému. Vzhledem k tomu, že tyto dva diagramy spolu souvisejí křížová symetrie a částice počátečního a konečného stavu jsou stejné, stačí permutovat hybnost a podvolit se

${ displaystyle { frac {1} {4}} sum _ { mathrm {spins}} \| { mathcal {M}} \| ^ {2} ,}$	${ displaystyle = { frac {32e ^ {4}} {4 (k + p) ^ {4}}} left ((k cdot k ') (p cdot p') + (k ' cdot p) (k cdot p ') vpravo) ,}$
	${ displaystyle = { frac {8e ^ {4}} {s ^ {2}}} left ({ tfrac {1} {2}} t { tfrac {1} {2}} t + { tfrac {1} {2}} u { tfrac {1} {2}} u vpravo) ,}$
	${ displaystyle = 2e ^ {4} { frac {t ^ {2} + u ^ {2}} {s ^ {2}}} ,}$

(To je úměrné ${ displaystyle (1+ cos ^ {2} theta)}$ kde ${ displaystyle theta}$ je úhel rozptylu v těžišti.)

Řešení

Vyhodnocení termínu interference podle stejných linií a přidání tří termínů přináší konečný výsledek

{ displaystyle { frac { overline {| { mathcal {M}} | ^ {2}}} {2e ^ {4}}} = { frac {u ^ {2} + s ^ {2}} {t ^ {2}}} + { frac {2u ^ {2}} {st}} + { frac {u ^ {2} + t ^ {2}} {s ^ {2}}} , }

Zjednodušení kroků

Vztahy úplnosti

Vztahy úplnosti pro čtyři rotory u a proti jsou

{ displaystyle sum _ {s = 1,2} {u_ {p} ^ {(s)} { bar {u}} _ {p} ^ {(s)}} = p ! ! ! / + m ,}

{ displaystyle sum _ {s = 1,2} {v_ {p} ^ {(s)} { bar {v}} _ {p} ^ {(s)}} = p ! ! ! / -m ,}

kde

{ displaystyle p ! ! ! / = gamma ^ { mu} p _ { mu} ,}

(vidět Feynman lomítko notace )

{ displaystyle { bar {u}} = u ^ { dagger} gamma ^ {0} ,}

Stopové identity

Pro zjednodušení trasování Dirac gama matice, je nutné použít stopové identity. V tomto článku jsou použity tři:

Trasování jakéhokoli produktu z liché číslo z ${ displaystyle gamma _ { mu} ,}$ 's je nula
${ displaystyle operatorname {Tr} ( gamma ^ { mu} gamma ^ { nu}) = 4 eta ^ { mu nu}}$
${ displaystyle operatorname {Tr} left ( gamma _ { rho} gamma _ { mu} gamma _ { sigma} gamma _ { nu} right) = 4 left ( eta _ { rho mu} eta _ { sigma nu} - eta _ { rho sigma} eta _ { mu nu} + eta _ { rho nu} eta _ { mu sigma} right) ,}$

Pomocí těchto dvou zjistíte, že například

${ displaystyle operatorname {Tr} left ((p ! ! ! / '+ m) gamma _ { mu} (p ! ! ! / + m) gamma _ { nu} že jo),}$	${ displaystyle = operatorname {Tr} left (p ! ! ! / ' gamma _ { mu} p ! ! ! / gamma _ { nu} right) + operatorname { Tr} left (m gamma _ { mu} p ! ! ! / Gamma _ { nu} right) ,}$
	${ displaystyle + operatorname {Tr} left (p ! ! ! / ' gamma _ { mu} m gamma _ { nu} right) + operatorname {Tr} left (m ^ {2} gamma _ { mu} gamma _ { nu} vpravo) ,}$
	(dva střední členy jsou nulové kvůli (1))
	${ displaystyle = operatorname {Tr} left (p ! ! ! / ' gamma _ { mu} p ! ! ! / gamma _ { nu} right) + m ^ { 2} operatorname {Tr} left ( gamma _ { mu} gamma _ { nu} right) ,}$
	(použijte identitu (2) pro výraz vpravo)
	${ displaystyle = {p '} ^ { rho} p ^ { sigma} operatorname {Tr} left ( gamma _ { rho} gamma _ { mu} gamma _ { sigma} gamma _ { nu} right) + m ^ {2} cdot 4 eta _ { mu nu} ,}$
	(nyní použijte výraz (3) pro výraz vlevo)
	${ displaystyle = {p '} ^ { rho} p ^ { sigma} 4 left ( eta _ { rho mu} eta _ { sigma nu} - eta _ { rho sigma } eta _ { mu nu} + eta _ { rho nu} eta _ { mu sigma} right) + 4m ^ {2} eta _ { mu nu} ,}$
	${ displaystyle = 4 left ({p '} _ { mu} p _ { nu} - (p' cdot p) eta _ { mu nu} + p '_ { nu} p _ { mu} right) + 4m ^ {2} eta _ { mu nu} ,}$

Použití

Bhabhaův rozptyl byl použit jako zářivost sledovat v řadě e⁺E⁻ Collider fyzikální experimenty. Přesné měření svítivosti je nezbytné pro přesné měření průřezů.

Malý úhel Bhabhaův rozptyl byl použit k měření svítivosti běhu roku 1993 Stanfordský velký detektor (SLD), s relativní nejistotou menší než 0,5%.^[1]

Elektron-pozitronové urychlovače působící v oblasti nízko položených hadronových rezonancí (asi 1 GeV až 10 GeV), jako například Pekingský elektronový synchrotron (BES) a Kráska a BaBar Experimenty „továrny B“ používají jako monitor svítivosti velkoplošný Bhabhaův rozptyl. K dosažení požadované přesnosti na úrovni 0,1% musí být experimentální měření porovnána s teoretickým výpočtem zahrnujícím pořadí od nejbližšího radiační opravy.^[2] Vysoce přesné měření celkového hadronového průřezu při těchto nízkých energiích je zásadním vstupem do teoretického výpočtu anomální magnetický dipólový moment z mion, který se používá k omezení supersymetrie a další modely fyziky nad rámec standardního modelu.

Reference

^ "Studie malého úhlu radiačního Bhabha rozptylu a měření lumina". Bibcode:1995PhDT ....... 160W. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
^ Carloni Calame, C. M; Lunardini, C; Montagna, G; Nicrosini, O; Piccinini, F (2000). „Širokoúhlý Bhabha rozptyl a světelnost v továrnách na výrobu příchutí“. Jaderná fyzika B. 584: 459–479. arXiv:hep-ph / 0003268. Bibcode:2000NuPhB.584..459C. doi:10.1016 / S0550-3213 (00) 00356-4.

Halzen, Francis; Martin, Alan (1984). Kvarky a leptony: Úvodní kurz moderní fyziky částic. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2.
Peskin, Michael E .; Schroeder, Daniel V. (1994). Úvod do teorie kvantového pole. Perseus Publishing. ISBN 0-201-50397-2.
Bhabha rozptyl na arxiv.org

[1] "Studie malého úhlu radiačního Bhabha rozptylu a měření lumina". Bibcode:1995PhDT ....... 160W. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[2] Carloni Calame, C. M; Lunardini, C; Montagna, G; Nicrosini, O; Piccinini, F (2000). „Širokoúhlý Bhabha rozptyl a světelnost v továrnách na výrobu příchutí“. Jaderná fyzika B. 584: 459–479. arXiv:hep-ph / 0003268. Bibcode:2000NuPhB.584..459C. doi:10.1016 / S0550-3213 (00) 00356-4.

[1]

[2]

Kvantová elektrodynamika
Koncepty	Anomální magnetický dipólový moment Amplituda pravděpodobnosti Propagátor QED vakuum Vlastní energie Vakuová polarizace ξ rozchod
Formalismus	Feynmanův diagram Feynman lomítko notace Gupta – Bleulerův formalismus Integrální formulace cesty Funkce vrcholu Totožnost Ward – Takahashi
Interakce	Bhabha rozptyl Bremsstrahlung Comptonův rozptyl Jehněčí posun Møllerův rozptyl
Částice	Duální foton Elektron Foton Pozitron Pozitronium Virtuální částice
Viz také: Šablona: Témata kvantové mechaniky