Proměnné Mandelstam - Mandelstam variables

V tomto diagramu přicházejí dvě částice s momentem p₁ a str₂, interagují nějakým způsobem a pak dvě částice s různou hybností (str₃ a str₄) odejít.

v teoretická fyzika, Proměnné Mandelstam jsou číselné veličiny, které kódují energie, hybnost a úhly částic v procesu rozptylu v a Lorentzův invariant móda. Používají se pro rozptyl procesů dvou částic na dvě částice. Proměnné Mandelstam byly poprvé zavedeny fyzikem Stanley Mandelstam v roce 1958.

Pokud Minkowského metrika je vybrán být ${ displaystyle mathrm {diag} (1, -1, -1, -1)}$ , proměnné Mandelstam ${ displaystyle s, t, u}$ jsou pak definovány

${ displaystyle s = (p_ {1} + p_ {2}) ^ {2} = (p_ {3} + p_ {4}) ^ {2} ,}$
${ displaystyle t = (p_ {1} -p_ {3}) ^ {2} = (p_ {4} -p_ {2}) ^ {2} ,}$
${ displaystyle u = (p_ {1} -p_ {4}) ^ {2} = (p_ {3} -p_ {2}) ^ {2} ,}$

Kde str₁ a str₂ jsou čtyři momenty vstupujících částic a str₃ a str₄ jsou čtyři momenty odcházejících částic a používáme relativistické jednotky (c = 1).

s je také známé jako čtverec energie těžiště (invariantní hmota ) at je také známý jako čtverec čtyři momenty převod.

Feynmanovy diagramy

Dopisy ${ displaystyle s, t, u}$ jsou také použity v termínech s-kanál (vesmírný kanál), t-kanál (časový kanál), u-kanál. Tyto kanály představují různé Feynmanovy diagramy nebo různé možné rozptylové události, kde interakce zahrnuje výměnu mezilehlé částice, jejíž druhá mocnina se rovná čtyřem ${ displaystyle s, t, u}$ , resp.


s-kanál	t-kanál	u-kanál

Například s-kanál odpovídá částicím 1,2 spojujícím se s mezilehlou částicí, která se nakonec rozdělí na 3,4: s-kanál je jediný způsob, který rezonance a nové nestabilní částice mohou být objeveny za předpokladu, že jejich životnost je dostatečně dlouhá, aby byly přímo zjistitelné. T-kanál představuje proces, při kterém částice 1 emituje mezilehlou částici a stává se konečnou částicou 3, zatímco částice 2 absorbuje mezilehlou částici a stává se 4. U-kanál je t-kanál s rolí částic 3,4 zaměněno.

Detaily

Relativistický limit

V relativistické hranici je hybnost (rychlost) velká, takže pomocí relativistická rovnice energie-hybnost, energie se stává v podstatě normou hybnosti (např. ${ displaystyle E ^ {2} = mathbf {p} cdot mathbf {p} + {m_ {0}} ^ {2}}$ se stává ${ displaystyle E ^ {2} přibližně mathbf {p} cdot mathbf {p}}$ ). Zbytek hmoty může být také zanedbán.

Například

{ displaystyle s = (p_ {1} + p_ {2}) ^ {2} = p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + 2p_ {1} cdot p_ {2} přibližně 2p_ {1} cdot p_ {2} ,}

protože ${ displaystyle p_ {1} ^ {2} = m_ {1} ^ {2}}$ a ${ displaystyle p_ {2} ^ {2} = m_ {2} ^ {2}.}$

Tím pádem,

${ displaystyle s přibližně ,}$	${ displaystyle 2p_ {1} cdot p_ {2} přibližně ,}$	${ displaystyle 2p_ {3} cdot p_ {4} ,}$
${ displaystyle t cca ,}$	${ displaystyle -2p_ {1} cdot p_ {3} přibližně ,}$	${ displaystyle -2p_ {2} cdot p_ {4} ,}$
${ Displaystyle u cca ,}$	${ displaystyle -2p_ {1} cdot p_ {4} přibližně ,}$	${ displaystyle -2p_ {3} cdot p_ {2} ,}$