Møllerův rozptyl - Møller scattering

Feynmanovy diagramy
t-kanál
u-kanál

Møllerův rozptyl je jméno dané elektron - rozptyl elektronů v Teorie kvantového pole, pojmenovaný po dánském fyzikovi Christian Møller. Interakce elektronů, která je idealizována v Møllerově rozptylu, tvoří teoretický základ mnoha známých jevů, jako je odpuzování elektronů v atomu helia. Zatímco dříve bylo mnoho urychlovačů částic navrženo speciálně pro srážky elektronů s elektrony, v poslední době se staly častěji srážky elektronů a pozitronů. Møllerův rozptyl nicméně zůstává paradigmatickým procesem v teorii interakcí částic.

Tento proces můžeme vyjádřit obvyklou notací, často používanou v částicová fyzika:

${displaystyle e ^ {-} e ^ {-} longrightarrow e ^ {-} e ^ {-}}$,

v kvantová elektrodynamika, existují dva úrovně stromu Feynmanovy diagramy popisující postup: a t-kanál diagram, ve kterém si elektrony vyměňují a foton a podobné u-kanálové schéma. Křížení symetrie, jeden z triků často používaných k vyhodnocení Feynmanových diagramů, v tomto případě znamená, že Møllerův rozptyl by měl mít stejný průřez jako Bhabha rozptyl (elektron-pozitron rozptyl).

V elektroslabé teorii je proces místo toho popsán čtyřmi diagramy na úrovni stromu: dvěma z QED a identickým párem, ve kterém Z boson je vyměněn místo fotonu. Slabá síla je čistě levák, ale slabé a elektromagnetické síly se mísí s částicemi, které pozorujeme. Foton je konstrukčně symetrický, ale boson Z dává přednost levostranným částicím před pravostrannými. Průřezy pro levoruké elektrony a praváky se tedy liší. Rozdíl si poprvé všiml ruský fyzik Jakov Zel'dovič v roce 1959, ale v té době věřil parita porušení asymetrie (několik stovek dílů na miliardu) bylo příliš malé na to, aby se dalo pozorovat. Tuto asymetrii narušující paritu lze měřit vystřelením polarizovaného svazku elektronů nepolarizovaným elektronovým cílem (kapalný vodík, například), jak to bylo provedeno experimentem na Stanfordské centrum lineárního akcelerátoru, SLAC-E158.^[1] Asymetrie v Møllerově rozptylu je

${displaystyle A_ {m {PV}} = - m_ {e} E {frac {G_ {m {F}}} {{sqrt {2}} pi alpha}} {frac {16sin ^ {2} Theta _ {ext {cm}}} {left (3 + cos ^ {2} Theta _ {ext {cm}} ight) ^ {2}}} left ({frac {1} {4}} - sin ^ {2} heta _ {m {W}} ight)}$,

kde m_E je hmotnost elektronu, E energie přicházejícího elektronu (v referenčním rámci druhého elektronu), ${displaystyle G_ {m {F}}}$ je Fermiho konstanta, ${displaystyle alpha}$ je konstanta jemné struktury, ${displaystyle Theta _ {ext {cm}}}$ je úhel rozptylu ve středu hmotového rámce a ${displaystyle heta _ {m {W}}}$ je slabý směšovací úhel, známý také jako Weinbergův úhel.

Výpočet QED

Møllerův rozptyl lze vypočítat z pohledu QED na úrovni stromu pomocí dvou diagramů zobrazených na této stránce. Tyto dva diagramy přispívají z hlediska QED na přední pořadí. Bereme-li v úvahu slabou sílu, která je sjednocena s elektromagnetickou silou při vysoké energii, musíme přidat dva diagramy na úrovni stromu pro výměnu ${displaystyle Z ^ {0}}$ boson. Zde se zaměříme na přísný výpočet QED průřezu na úrovni stromu, který je poněkud poučný, ale z fyzického hlediska možná není nejpřesnějším popisem.

Před odvozením napíšeme 4-moment jako (${displaystyle p_ {1}}$a ${displaystyle p_ {2}}$pro příchozí elektrony, ${displaystyle p_ {3}}$a ${displaystyle p_ {4}}$pro odchozí elektrony a ${displaystyle m = m_ {e}}$):

${displaystyle p_ {1} = (E, 0,0, p), ~ p_ {2} = (E, 0,0, -p),}$

${displaystyle p_ {3} = (E, psin heta, 0, pcos heta), ~ p_ {4} = (E, -psin heta, 0, -pcos heta).}$

The Proměnné Mandelstam jsou:

${displaystyle s = (p_ {1} + p_ {2}) ^ {2} = (p_ {3} + p_ {4}) ^ {2},}$

${displaystyle t = (p_ {1} -p_ {3}) ^ {2} = (p_ {4} -p_ {2}) ^ {2},}$

${displaystyle u = (p_ {1} -p_ {4}) ^ {2} = (p_ {3} -p_ {2}) ^ {2},}$

Tyto proměnné Mandelstam uspokojují identitu: ${displaystyle s + t + uequiv součet m_ {j} ^ {2} = 4m ^ {2}}$.

Podle dvou diagramů na této stránce je maticový prvek t-kanálu

${displaystyle i {mathcal {M}} _ {t} = (- ie) ^ {2} {ar {u}} (p_ {3}) gamma ^ {mu} u (p_ {1}) {frac {- i} {t}} {ar {u}} (p_ {4}) gamma _ {mu} u (p_ {2})}$,

maticový prvek u-kanálu je

${displaystyle i {mathcal {M}} _ {u} = (- tj.) ^ {2} {ar {u}} (p_ {3}) gamma ^ {mu} u (p_ {2}) {frac {- i} {u}} {ar {u}} (p_ {4}) gamma _ {mu} u (p_ {1})}$.

Součet tedy je

${displaystyle {egin {aligned} i {mathcal {M}} & = i ({mathcal {M}} _ {t} - {mathcal {M}} _ {u}) & = - i (-ie) ^ {2} [{frac {1} {t}} {ar {u}} (p_ {3}) gamma ^ {mu} u (p_ {1}) {ar ​​{u}} (p_ {4}) gamma _ {mu} u (p_ {2}) - {frac {1} {u}} {ar {u}} (p_ {3}) gamma ^ {mu} u (p_ {2}) {ar ​​{u} } (p_ {4}) gamma _ {mu} u (p_ {1})]. konec {zarovnáno}}}$

Proto,

${displaystyle {egin {aligned} | {mathcal {M}} | ^ {2} & = e ^ {4} {{frac {1} {t ^ {2}}} [{ar {u}} (p_ { 3}) gamma ^ {mu} u (p_ {1})] [{ar {u}} (p_ {1}) gamma ^ {u} u (p_ {3})] [{ar {u}} ( p_ {4}) gamma _ {mu} u (p_ {2})] [{ar {u}} (p_ {2}) gamma _ {u} u (p_ {4})] & ~~ + { frac {1} {u ^ {2}}} [{ar {u}} (p_ {3}) gamma ^ {mu} u (p_ {2})] [{ar {u}} (p_ {2} ) gamma ^ {u} u (p_ {3})] [{ar {u}} (p_ {4}) gamma _ {mu} u (p_ {1})] [{ar {u}} (p_ { 1}) gamma _ {u} u (p_ {4})] & ~~ - {frac {1} {tu}} [{ar {u}} (p_ {3}) gamma ^ {mu} u ( p_ {1})] [{ar {u}} (p_ {2}) gamma ^ {u} u (p_ {3})] [{ar {u}} (p_ {4}) gamma _ {mu} u (p_ {2})] [{ar {u}} (p_ {1}) gamma _ {u} u (p_ {4})] & ~~ - {frac {1} {tu}} [{ ar {u}} (p_ {3}) gamma ^ {mu} u (p_ {2})] [{ar {u}} (p_ {1}) gamma ^ {u} u (p_ {3})] [{ar {u}} (p_ {4}) gamma _ {mu} u (p_ {1})] [{ar {u}} (p_ {2}) gamma _ {u} u (p_ {4} )]}. konec {zarovnáno}}}$

Pro výpočet nepolarizovaného průřezu průměrujeme nad počátečními zatočeními a součtem za finální otočení s faktorem 1/4 (1/2 pro každý příchozí elektron):

${displaystyle {egin {aligned} {frac {1} {4}} součet _ {ext {spins}} | {mathcal {M}} | ^ {2} & = {frac {e ^ {4}} {4} } {{frac {1} {t ^ {2}}} mathrm {Tr} [gamma ^ {mu} (ot p_ {1} + m) gamma ^ {u} (ot p_ {3} + m)] mathrm {Tr} [gamma _ {mu} (ot p_ {2} + m) gamma _ {u} (ot p_ {4} + m)] & ~~ + {frac {1} {u ^ {2}} } mathrm {Tr} [gamma ^ {mu} (ot p_ {2} + m) gamma ^ {u} (ot p_ {3} + m)] mathrm {Tr} [gamma _ {mu} (ot p_ {1 } + m) gamma _ {u} (ot p_ {4} + m)] & ~~ - {frac {2} {tu}} mathrm {Tr} [(ot p_ {3} + m) gamma ^ { mu} (ot p_ {1} + m) gamma ^ {u} (ot p_ {4} + m) gamma _ {mu} (ot p_ {2} + m) gamma _ {u}]} konec {zarovnáno} }}$

kde jsme použili vztah ${displaystyle sum _ {s} u ^ {s} (p) {ar ​​{u}} ^ {s} (p) = ot p + m = gamma ^ {mu} p_ {mu} + m}$. Dále bychom vypočítali stopy.

První člen v závorkách je

${displaystyle {egin {aligned} & ~~ {frac {1} {t ^ {2}}} mathrm {Tr} [gamma ^ {mu} (ot p_ {1} + m) gamma ^ {u} (ot p_ {3} + m)] mathrm {Tr} [gamma _ {mu} (ot p_ {2} + m) gamma _ {u} (ot p_ {4} + m)] & = {frac {16} { t ^ {2}}} (p_ {1} ^ {mu} p_ {3} ^ {u} + p_ {3} ^ {mu} p_ {1} ^ {u} + (- p_ {13} + m ^ {2}) g ^ {mu u}) (p_ {2} ^ {mu} p_ {4} ^ {u} + p_ {4} ^ {mu} p_ {2} ^ {u} + (- p_ {24} + m ^ {2}) g ^ {mu u}) & = {frac {32} {t ^ {2}}} {ig (} p_ {12} p_ {34} + p_ {23} p_ {14} -m ^ {2} p_ {13} -m ^ {2} p_ {24} + 2m ^ {4} {ig)} & = {frac {32} {t ^ {2}}} {ig (} p_ {12} ^ {2} + p_ {14} ^ {2} + 2 m ^ {2} (p_ {14} -p_ {12}) {ig)} & = {frac {8} {t ^ {2}}} (s ^ {2} + u ^ {2} -8m ^ {2} (s + u) + 24m ^ {4}) konec {zarovnáno}}}$

Tady ${displaystyle p_ {ij} ekviv p_ {i} cdot p_ {j}}$a použili jsme ${displaystyle gamma}$- identita matice

${displaystyle mathrm {Tr} [gamma ^ {mu} gamma ^ {u} gamma ^ {ho} gamma ^ {sigma}] = 4left (eta ^ {mu u} eta ^ {ho sigma} -eta ^ {mu ho} eta ^ {u sigma} + eta ^ {mu sigma} eta ^ {u ho} ight)}$

a stopa jakéhokoli produktu lichého počtu ${displaystyle gamma ^ {mu}}$ je nula.

Podobně je druhý termín

${displaystyle {egin {aligned} & ~~ {frac {1} {u ^ {2}}} mathrm {Tr} [gamma ^ {mu} (ot p_ {2} + m) gamma ^ {u} (ot p_ {3} + m)] mathrm {Tr} [gamma _ {mu} (ot p_ {1} + m) gamma _ {u} (ot p_ {4} + m)] & = {frac {32} { u ^ {2}}} {ig (} p_ {12} p_ {34} + p_ {13} p_ {24} -m ^ {2} p_ {23} -m ^ {2} p_ {14} + 2 m ^ {4} {ig)} & = {frac {8} {u ^ {2}}} (s ^ {2} + t ^ {2} -8m ^ {2} (s + t) + 24m ^ {4}) konec {zarovnáno}}}$

Za použití ${displaystyle gamma}$-matrix identity

${displaystyle mathrm {Tr} [gamma ^ {mu} gamma ^ {u} gamma _ {mu} gamma _ {u}] = - 32}$,

${displaystyle mathrm {Tr} [gamma ^ {ho} gamma ^ {mu} gamma ^ {sigma} gamma ^ {u} gamma _ {mu} gamma _ {u}] = mathrm {Tr} [gamma ^ {ho} gamma ^ {mu} gamma ^ {u} gamma ^ {sigma} gamma _ {mu} gamma _ {u}] = 16g ^ {ho sigma}}$,

${displaystyle mathrm {Tr} [gamma ^ {ho} gamma ^ {mu} gamma ^ {sigma} gamma ^ {u} gamma ^ {lambda} gamma _ {mu} gamma ^ {au} gamma _ {u}] = - 32g ^ {ho lambda} g ^ {sigma au}}$,

a totožnost proměnných Mandelstam: ${displaystyle s + t + uequiv součet m_ {j} ^ {2}}$, dostaneme třetí termín

${displaystyle {egin {aligned} & ~~ - {frac {2} {tu}} mathrm {Tr} [(ot p_ {3} + m) gamma ^ {mu} (ot p_ {1} + m) gamma ^ {u} (ot p_ {4} + m) gamma _ {mu} (ot p_ {2} + m) gamma _ {u}] & = - {frac {32} {tu}} {ig (} - 2p_ {12} p_ {34} + 2 m ^ {2} (p_ {12} + p_ {13} + p_ {14}) - 2 m ^ {4} {ig)} & = {frac {16} {tu }} (s ^ {2} -8m ^ {2} s + 12m ^ {4}) konec {zarovnáno}}}$

Proto,

${displaystyle {egin {aligned} {overline {| {mathcal {M}} | ^ {2}}} & equiv {frac {1} {4}} sum _ {ext {spins}} | {mathcal {M}} | ^ {2} & = 2e ^ {4} {Big {} {frac {1} {t ^ {2}}} {ig (} s ^ {2} + u ^ {2} -8m ^ {2} (s + u) + 24 m ^ {4} {ig)} & ~~ + {frac {1} {u ^ {2}}} {ig (} s ^ {2} + t ^ {2} -8 m ^ {2} (s + t) + 24 m ^ {4} {ig)} & ~~ + {frac {2} {tu}} {ig (} s ^ {2} -8m ^ {2} s + 12m ^ {4} {ig)} {Big}} konec {zarovnáno}}.}$

Nahraďte momenty, které jsme zde nastavili, které jsou

${displaystyle s = 4E ^ {2} = E_ {CM} ^ {2}}$,

${displaystyle t = 2p ^ {2} (cos heta -1)}$,

${displaystyle u = 2p ^ {2} (- cos heta -1)}$.

Nakonec dostaneme nepolarizovaný průřez

${displaystyle {egin {aligned} {frac {dsigma} {dOmega}} & = {frac {1} {64pi ^ {2} E_ {CM} ^ {2}}} {frac {| {vec {p}} _ {f} |} {| {vec {p}} _ {i} |}} {overline {| {mathcal {M}} | ^ {2}}} & = {frac {alpha ^ {2}} { 2E_ {CM} ^ {2}}} {Big {} {frac {1} {t ^ {2}}} {ig (} s ^ {2} + u ^ {2} -8m ^ {2} (s + u) + 24 m ^ {4} {ig)} & ~~ + {frac {1} {u ^ {2}}} {ig (} s ^ {2} + t ^ {2} -8m ^ { 2} (s + t) + 24 m ^ {4} {ig)} & ~~ + {frac {2} {tu}} {ig (} s ^ {2} -8m ^ {2} s + 12m ^ {4} {ig)} {Big}} & = {frac {alpha ^ {2}} {E_ {CM} ^ {2} p ^ {4} sin ^ {4} heta}} {Big [} 4 (m ^ {2} + 2p ^ {2}) ^ {2} + {ig (} 4p ^ {4} -3 (m ^ {2} + 2p ^ {2}) ^ {2} {ig)} sin ^ {2} heta + p ^ {4} sin ^ {4} heta {Big]}. konec {zarovnáno}}}$

s ${displaystyle E ^ {2} = m ^ {2} + p ^ {2}}$ a ${displaystyle E_ {CM} = 2E}$.

V nerelativistickém limitu ${displaystyle mgg p}$,

${displaystyle {egin {aligned} {frac {dsigma} {dOmega}} & = {frac {m ^ {4} alpha ^ {2}} {E_ {CM} ^ {2} p ^ {4} sin ^ {4 } heta}} {Big (} 4-3 sin ^ {2} heta {Big)} & = {frac {m ^ {4} alpha ^ {2}} {E_ {CM} ^ {2} p ^ {4 } sin ^ {4} heta}} {Big (} 1 + 3cos ^ {2} heta {Big)}. end {aligned}}}$

V ultrarelativistickém limitu ${displaystyle mll p}$,

${displaystyle {egin {aligned} {frac {dsigma} {dOmega}} & = {frac {alpha ^ {2}} {E_ {CM} ^ {2} p ^ {4} sin ^ {4} heta}} { Velká (} 16p ^ {4} -8p ^ {4} sin ^ {2} heta + p ^ {4} sin ^ {4} heta {Big)} & = {frac {alpha ^ {2}} {E_ {CM} ^ {2} sin ^ {4} heta}} {Big (} 3 + cos ^ {2} heta {Big)} ^ {2} .end {aligned}}}$

Reference

externí odkazy

• SLAC E158: Měření slabého náboje elektronu