Malgrangeova-Ehrenpreisova věta - Malgrange–Ehrenpreis theorem
V matematice je Malgrangeova-Ehrenpreisova věta uvádí, že každá nenulová lineární operátor diferenciálu s konstantní koeficienty má Greenova funkce. Poprvé to nezávisle prokázal Leon Ehrenpreis (1954, 1955 ) aBernard Malgrange (1955–1956 ).
To znamená, že diferenciální rovnice
kde P je polynom v několika proměnných a δ je Diracova delta funkce, má distribuční řešení u. Může to být použito k prokázání toho
má řešení pro jakoukoli kompaktně podporovanou distribuci F. Řešení není obecně jedinečné.
Analog pro diferenciální operátory, jejichž koeficienty jsou polynomy (spíše než konstanty), je nepravdivé: viz Příklad Lewyho.
Důkazy
Původní důkazy Malgrange a Ehrenpreis byly nekonstruktivní, protože používaly Hahnova – Banachova věta. Od té doby bylo nalezeno několik konstruktivních důkazů.
Existuje velmi krátký důkaz pomocí Fourierovy transformace a Bernstein – Sato polynom, jak následuje. Tím, že Fourierovy transformace věta Malgrange – Ehrenpreis je ekvivalentní skutečnosti, že každý nenulový polynom P má distribuční inverzi. Výměnou P u produktu s jeho komplexním konjugátem lze také předpokládat, že P není negativní. Pro nezáporné polynomy P existence distribuční inverze vyplývá z existence polynomu Bernstein – Sato, z čehož vyplývá, že Ps lze analyticky pokračovat jako meromorfní distribuční funkce komplexní proměnné s; stálý termín Laurentovy expanze Ps v s = -1 je pak distribuční inverzní funkce k P.
Další důkazy, které často dávají lepší hranice růstu řešení, jsou uvedeny v (Hörmander 1983a, Věta 7.3.10), (Reed & Simon 1975, Věta IX.23, str. 48) a (Rosay 1991 ).(Hörmander 1983b, kapitola 10) podrobně diskutuje o vlastnostech pravidelnosti základních řešení.
Krátký konstruktivní důkaz byl předložen v (Wagner 2009, Tvrzení 1, s. 458):
je základním řešením P(∂), tj., P(∂)E = δ, pokud Pm je hlavní součástí P, η ∈ Rn s Pm(η) ≠ 0, reálná čísla λ0, ..., λm jsou párově odlišné a
Reference
- Ehrenpreis, Leon (1954), "Řešení některých problémů dělení. I. Dělení polynomem derivace.", Amer. J. Math., 76 (4): 883–903, doi:10.2307/2372662, JSTOR 2372662, PAN 0068123
- Ehrenpreis, Leon (1955), "Řešení některých problémů dělení. II. Dělení přesným rozdělením", Amer. J. Math., 77 (2): 286–292, doi:10.2307/2372532, JSTOR 2372532, PAN 0070048
- Hörmander, L. (1983a), Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů IGrundl. Matematika. Wissenschaft., 256Springer, doi:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 978-3-540-12104-6, PAN 0717035
- Hörmander, L. (1983b), Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů IIGrundl. Matematika. Wissenschaft., 257Springer, doi:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 978-3-540-12139-8, PAN 0705278
- Malgrange, Bernard (1955–1956), „Existence a aproximace des řešení des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution“, Annales de l'Institut Fourier, 6: 271–355, doi:10,5802 / aif.65, PAN 0086990
- Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Metody moderní matematické fyziky. II. Fourierova analýza, sebeurčení, New York-Londýn: Academic Press Harcourt Brace Jovanovich, Publishers, s. Xv + 361, ISBN 978-0-12-585002-5, PAN 0493420
- Rosay, Jean-Pierre (1991), „Velmi základní důkaz věty Malgrange-Ehrenpreis“, Amer. Matematika. Měsíční, 98 (6): 518–523, doi:10.2307/2324871, JSTOR 2324871, PAN 1109574
- Rosay, Jean-Pierre (2001) [1994], „Malgrangeova-Ehrenpreisova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Wagner, Peter (2009), „Nový konstruktivní důkaz věty Malgrange-Ehrenpreis“, Amer. Matematika. Měsíční, 116 (5): 457–462, CiteSeerX 10.1.1.488.6651, doi:10,4169 / 193009709X470362, PAN 2510844