Salinon - Salinon

Salinon (červený) a kruh (modrý) mají stejnou plochu.

The Salinon (v řečtině znamená „solný sklep“) je a geometrický útvar který se skládá ze čtyř půlkruhy. Poprvé byl představen v Kniha lemmatů, dílo připisované Archimedes.^[1]

Konstrukce

Nechat Ó být původ na a Kartézské letadlo. Nechat A, D, E, a B být čtyři body na řádku, v tomto pořadí, s Ó půlící čára AB. Nechat INZERÁT = EB. Půlkruhy jsou nakresleny nad čarou AB s průměry AB, INZERÁT, a EBa níže je nakreslen další půlkruh s průměrem DE. Salinon je postava ohraničená těmito čtyřmi půlkruhy.^[2]

Vlastnosti

Plocha

Archimedes představil salinon ve svém Kniha lemmatů použitím knihy II, návrh 10 ze dne Euklidova Elementy. Archimedes poznamenal, že „plocha postavy ohraničená obvody všech půlkruhů [je] stejná jako plocha kruhu na CF jako průměr.“^[3]

Oblast salinonu je konkrétně:

${ displaystyle A = { frac {1} {4}} pi left (r_ {1} + r_ {2} right) ^ {2}.}$^[1]

Důkaz

Nechte poloměr střed z INZERÁT a EB být označen jako G a H, resp. Proto, AG = GD = EH = HB = r₁. Protože DĚLAT, Z, a OE jsou všechny poloměry do stejného půlkruhu, DĚLAT = Z = OE = r₂. Přidáním segmentu, AG + GD + DĚLAT = OE + EH + HB = 2r₁ + r₂. Od té doby AB je průměr salinonu, CF je čára symetrie. Protože všechny jsou poloměry stejného půlkruhu, AO = BO = CO = 2r₁ + r₂.

Nechat P být středem velkého kruhu. Protože CO = 2r₁ + r₂ a Z = r₂, CF = 2r₁ + 2r₂. Poloměr kruhu je tedy r₁ + r₂. Plocha kruhu = π (r₁ + r₂)².

Nechat X = r₁ a y = r₂. Plocha půlkruhu s průměrem AB, označeno ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {AB}}$, je:

${ displaystyle { mathcal {A}} _ {AB} = { frac {1} {2}} pi left (2x + y right) ^ {2}.}$

Plocha půlkruhu s průměrem DE je:

${ displaystyle { mathcal {A}} _ {DE} = { frac {1} {2}} pi y ^ {2}.}$

Plocha každého z půlkruhů s průměry INZERÁT a EB je

${ displaystyle { mathcal {A}} _ {AD} = { mathcal {A}} _ {EB} = { frac {1} {2}} pi x ^ {2}.}$

Proto je oblast salinonu:

${ displaystyle { frac {1} {2}} pi left ( left (2x + y right) ^ {2} -2x ^ {2} + y ^ {2} right) = { frac {1} {2}} pi left (2x ^ {2} + 4xy + 2y ^ {2} right) = pi left (x ^ {2} + 2xy + y ^ {2} right) = pi left (x + y right) ^ {2} = pi left (r_ {1} + r_ {2} right) ^ {2}}$

Q.E.D.^[4]

Arbelos

By měly body D a E konvergovat s Ó, vytvořilo by to arbelos, další z Archimédových výtvorů, s symetrie podél osa y.^[3]

Viz také

• Lune z Hippokrata

Reference

externí odkazy

• L’arbelos. Partie II od Hamza Khelif v www.images.math.cnrs.fr z CNRS