Archimedes čtyřčata - Archimedes quadruplets - Wikipedia

Každý z Archimédových čtyřčat (zelený) má stejnou plochu navzájem i s dvojitými kruhy Archimeda

v geometrie, Archimédovy čtyřčata jsou čtyři shodný kruhy spojené s arbelos. Představený Frank Power v létě 1998, každý z nich má stejné plocha tak jako Archimédovy dvojčata, dělat je Archimédovy kruhy.^[1][2][3]

Konstrukce

Arbelos je tvořen ze tří kolineárních bodů A, B, a C, třemi půlkruhy s průměry AB, AC, a před naším letopočtem. Nechte dva menší kruhy poloměry r₁ a r₂, z čehož vyplývá, že větší půlkruh má poloměr r = r₁+r₂. Nechte body D a E být centrum a střed polokruhu s poloměrem r₁. Nechat H být středem čáry AC. Potom jsou dva ze čtyř kruhů čtyřky tečny k přímce ON na místě E, a jsou také tečna k vnějšímu půlkruhu. Další dva čtyřnásobné kruhy jsou vytvořeny symetricky z půlkruhu s poloměrem r₂.

Důkaz o shodě

Podle návrhu 5 ze dne Archimedes ' Kniha lemmatů, běžný poloměr Archimedových dvojčat je:

${ displaystyle { frac {r_ {1} cdot r_ {2}} {r}}.}$

Podle Pythagorova věta:

${ displaystyle left (HE right) ^ {2} = left (r_ {1} right) ^ {2} + left (r_ {2} right) ^ {2}.}$

Poté vytvořte dva kruhy se středy J_i kolmý na ON, tečna do velkého půlkruhu v bodě L_i, tečna k bodu E, a se stejnými poloměry X. Za použití Pythagorova věta:

${ displaystyle left (HJ_ {i} right) ^ {2} = left (HE right) ^ {2} + x ^ {2} = left (r_ {1} right) ^ {2} + left (r_ {2} right) ^ {2} + x ^ {2}}$

Taky:

${ displaystyle HJ_ {i} = HL_ {i} -x = r-x = r_ {1} + r_ {2} -x ~}$

Jejich kombinací získáte:

${ displaystyle left (r_ {1} right) ^ {2} + left (r_ {2} right) ^ {2} + x ^ {2} = left (r_ {1} + r_ {2 } -x vpravo) ^ {2}}$

Rozšiřování, shromažďování na jednu stranu a factoring:

${ displaystyle 2r_ {1} r_ {2} -2x vlevo (r_ {1} + r_ {2} vpravo) = 0}$

Řešení pro X:

${ displaystyle x = { frac {r_ {1} cdot r_ {2}} {r_ {1} + r_ {2}}} = { frac {r_ {1} cdot r_ {2}} {r }}}$

Prokázání, že každá z oblastí Archimédových čtveřic je stejná jako každá z oblastí Archimédových dvojčat.^[4]

Reference

Další čtení

• Arbelos: Book of Lemmas, Pappus Chain, Archimedean Circle, Archimedes 'Quadruplets, Archimedes' Twin Circles, Bankoff Circle, S. ISBN  1156885493