Arakelovova teorie - Arakelov theory

v matematika, Arakelovova teorie (nebo Arakelovova geometrie) je přístup k Diophantine geometrie, pojmenovaný pro Suren Arakelov. Používá se ke studiu Diophantine rovnice ve vyšších dimenzích.

Pozadí

Arakelovovy geometrické studie a systém X přes kruh celých čísel Ztím, že Hermitovské metriky na holomorfní vektorové svazky přes X(C), komplexní body X. Tato zvláštní hermitovská struktura se používá jako náhrada za selhání systému Spec (Z) být a úplná rozmanitost.

Výsledek

Arakelov (1974, 1975 ) definoval teorie průniku na aritmetické povrchy připojeno k hladkým projektivním křivkám nad číselnými poli, s cílem prokázat určité výsledky, známé v případě funkčních polí, v případě číselných polí. Gerd Faltings (1984 ) rozšířil Arakelovovu práci stanovením výsledků, jako je Riemann-Rochova věta, Noetherova formule, Hodgeova věta o indexu a nezápornost samo-průniku dualizačního svazku v tomto kontextu.

Teorii Arakelov použil Paul Vojta (1991), aby poskytli nový důkaz Mordellova domněnka, a tím Gerd Faltings (1991 ) ve svém dokladu o Serge Lang Zobecnění Mordellova domněnky.

Pierre Deligne (1987 ) vytvořil obecnější rámec pro definování párování průsečíků definovaných na aritmetické ploše nad spektrum prstenu celých čísel od Arakelova.

Arakelovovu teorii zobecnil Henri Gillet a Christophe Soulé do vyšších dimenzí. To znamená, že Gillet a Soulé definovali párování křižovatek na aritmetické odrůdě. Jedním z hlavních výsledků Gillet a Soulé je aritmetická Riemann – Rochova věta z Gillet & Soulé (1992), rozšíření Grothendieck – Riemann – Rochova věta na aritmetické odrůdy. Pro toto definuje aritmetiku Chow skupiny CH^str(X) aritmetické odrůdy Xa definuje Třídy Chern pro hermitovské vektorové svazky X přijímání hodnot v aritmetických Chowových skupinách. Aritmetická Riemann – Rochova věta poté popisuje, jak se Chernova třída chová pod tlakem vektorových svazků pod správnou mapou aritmetických odrůd. Úplný důkaz této věty publikovali teprve nedávno Gillet, Rössler a Soulé.

Arakelovovu teorii průniku pro aritmetické povrchy dále rozvinul Jean-Benoît Bost (1999 ). Teorie Bost je založena na použití Zelené funkce které až do logaritmických singularit patří do Sobolevova prostoru ${displaystyle L_ {1} ^ {2}}$ . V této souvislosti Bost získá aritmetickou větu Hodgeova indexu a použije ji k získání Lefschetzových vět pro aritmetické povrchy.

Aritmetické Chow skupiny

An aritmetický cyklus codimension str je pár (Z, G) kde Z ∈ Z^str(X) je str- zapněte X a G je zelený proud pro Z, vyšší dimenzionální zobecnění zelené funkce. The aritmetická Chowova skupina ${displaystyle {widehat {mathrm {CH}}} _ {p} (X)}$ codimension str je podíl této skupiny podskupinou generovanou určitými „triviálními“ cykly.^[1]

Aritmetická Riemannova – Rochova věta

Obvyklý Grothendieck – Riemann – Rochova věta popisuje, jak Chern charakter ch se chová pod tlakem snopů a uvádí, že ch (F_*(E))= F_*(ch (E) Td_X/Y), kde F je správný morfismus z X na Y a E je vektorový svazek F. Aritmetická Riemannova – Rochova věta je podobná kromě toho Toddova třída vynásobí určitou výkonovou řadou. Aritmetická Riemannova – Rochova věta

{displaystyle {hat {mathrm {ch}}} (f _ {*} ([E])) = f _ {*} ({hat {mathrm {ch}}} (E) {widehat {mathrm {Td}}} ^ {R} (T_ {X / Y}))}

kde

X a Y jsou pravidelná projektivní aritmetická schémata.
F je hladká vlastní mapa z X na Y
E je aritmetický vektorový svazek X.
${displaystyle {hat {mathrm {ch}}}}$ je aritmetická postava Chern.
T_{X / Y} je relativní tangensový svazek
${displaystyle {hat {mathrm {Td}}}}$ je aritmetická Toddova třída
${displaystyle {hat {mathrm {Td}}} ^ {R} (E)}$ je ${displaystyle {hat {mathrm {Td}}} (E) (1-epsilon (R (E)))}$
R(X) je aditivní charakteristická třída spojená s formální výkonovou řadou

{displaystyle sum _ {m> 0 na vrcholu m {ext {odd}}} {frac {X ^ {m}} {m!}} vlevo [2zeta ^ {prime} (- m) + zeta (-m) vlevo ( {1 více než 1} + {1 více než 2} + cdots + {1 více než m} ight) ight].}

Viz také

Teorie Hodge-Arakelov

Poznámky

^ Manin & Panchishkin (2008), s. 400–401

Reference

Arakelov, Suren J. (1974), „Průniková teorie dělitelů na aritmetickém povrchu“, Matematika. SSSR Izv., 8 (6): 1167–1180, doi:10.1070 / IM1974v008n06ABEH002141, Zbl 0355.14002
Arakelov, Suren J. (1975), „Teorie křižovatek na aritmetickém povrchu“, Proc. Internat. Congr. Matematici ve Vancouveru, 1, Amer. Matematika. Soc., S. 405–408, Zbl 0351.14003
Bost, Jean-Benoît (1999), „Teorie potenciálu a Lefschetzovy věty pro aritmetické povrchy“ (PDF), Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, 32 (2): 241–312, doi:10.1016 / s0012-9593 (99) 80015-9, ISSN 0012-9593, Zbl 0931.14014
Deligne, P. (1987), „Le déterminant de la cohomologie“, Současné trendy v aritmetické algebraické geometrii (Arcata, Kalifornie, 1985) [Determinant kohomologie], Současná matematika, 67„Providence, RI: American Mathematical Society, s. 93–177, doi:10.1090 / conm / 067/902592, PAN 0902592
Faltings, Gerde (1984), „Calculus on Arithmetic Surfaces“, Annals of Mathematics, Druhá série, 119 (2): 387–424, doi:10.2307/2007043, JSTOR 2007043
Faltings, Gerde (1991), "Diophantine Aproximation on Abelian Varencies", Annals of Mathematics, Druhá série, 133 (3): 549–576, doi:10.2307/2944319, JSTOR 2944319
Faltings, Gerde (1992), Přednášky o aritmetické Riemannově-Rochově větě, Annals of Mathematics Studies, 127Princeton, NJ: Princeton University Press, doi:10.1515/9781400882472, ISBN 0-691-08771-7, PAN 1158661
Gillet, Henri; Soulé, Christophe (1992), „Aritmetická Riemann – Rochova věta“, Inventiones Mathematicae, 110: 473–543, doi:10.1007 / BF01231343
Kawaguchi, Shu; Moriwaki, Atsushi; Yamaki, Kazuhiko (2002), „Úvod do Arakelovovy geometrie“, Algebraická geometrie ve východní Asii (Kyoto, 2001)„River Edge, NJ: World Sci. Publ., S. 1–74, doi:10.1142/9789812705105_0001, ISBN 978-981-238-265-8, PAN 2030448
Lang, Serge (1988), Úvod do Arakelovovy teorie, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1031-3, ISBN 0-387-96793-1, PAN 0969124, Zbl 0667.14001
Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. (2007). Úvod do moderní teorie čísel. Encyklopedie matematických věd. 49 (Druhé vydání.). ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002.
Soulé, Christophe (2001) [1994], "Arakelovova teorie", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Soulé, C .; ve spolupráci s D. Abramovichem, J.-F. Burnol a J. Kramer (1992), Přednášky o Arakelovově geometrii, Cambridge studia pokročilé matematiky, 33, Cambridge: Cambridge University Press, s. Viii + 177, doi:10.1017 / CBO9780511623950, ISBN 0-521-41669-8, PAN 1208731
Vojta, Paul (1991), „Siegelova věta v kompaktním případě“, Annals of Mathematics, Annals of Mathematics, sv. 133, č. 3, 133 (3): 509–548, doi:10.2307/2944318, JSTOR 2944318

externí odkazy

Archiv předtisků geometrie Arakelov

[1] Manin & Panchishkin (2008), s. 400–401

[1]