Zobecněné Appellovy polynomy - Generalized Appell polynomials

v matematika, a polynomiální sekvence ${ displaystyle {p_ {n} (z) }}$ má zobecněné Appell zastoupení pokud generující funkce pro polynomy nabývá určité formy:

${ displaystyle K (z, w) = A (w) Psi (zg (w)) = součet _ {n = 0} ^ { infty} p_ {n} (z) w ^ {n}}$

kde generující funkce nebo jádro ${ displaystyle K (z, w)}$ se skládá ze série

${ displaystyle A (w) = součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} w ^ {n} quad}$ s ${ displaystyle a_ {0} neq 0}$

a

${ displaystyle Psi (t) = součet _ {n = 0} ^ { infty} Psi _ {n} t ^ {n} quad}$ a všechno ${ displaystyle Psi _ {n} neq 0}$

a

${ displaystyle g (w) = součet _ {n = 1} ^ { infty} g_ {n} w ^ {n} quad}$ s ${ displaystyle g_ {1} neq 0.}$

Vzhledem k výše uvedenému není těžké to ukázat ${ displaystyle p_ {n} (z)}$ je polynom stupně ${ displaystyle n}$.

Boas – Buckovy polynomy jsou o něco obecnější třídou polynomů.

Speciální případy

• Volba ${ displaystyle g (w) = w}$ dává třídu Brenkeovy polynomy.
• Volba ${ displaystyle Psi (t) = e ^ {t}}$ výsledky v Shefferova sekvence polynomů, které zahrnují obecné rozdílové polynomy, tak jako Newtonovy polynomy.
• Kombinovaná volba ${ displaystyle g (w) = w}$ a ${ displaystyle Psi (t) = e ^ {t}}$ dává Appellova sekvence polynomů.

Výslovné vyjádření

Zobecněné Appellovy polynomy mají explicitní zastoupení

${ displaystyle p_ {n} (z) = součet _ {k = 0} ^ {n} z ^ {k} Psi _ {k} h_ {k}.}$

Konstanta je

${ displaystyle h_ {k} = součet _ {P} a_ {j_ {0}} g_ {j_ {1}} g_ {j_ {2}} cdots g_ {j_ {k}}}$

kde tato částka přesahuje všechny složení z ${ displaystyle n}$ do ${ displaystyle k + 1}$ části; to znamená, že částka přesahuje všechny ${ displaystyle {j }}$ takhle

${ displaystyle j_ {0} + j_ {1} + cdots + j_ {k} = n. ,}$

U Appellových polynomů se z toho stane vzorec

${ displaystyle p_ {n} (z) = součet _ {k = 0} ^ {n} { frac {a_ {n-k} z ^ {k}} {k!}}.}$

Rekurzivní vztah

Ekvivalentně nutná a dostatečná podmínka, že jádro ${ displaystyle K (z, w)}$ lze psát jako ${ displaystyle A (w) Psi (zg (w))}$ s ${ displaystyle g_ {1} = 1}$ je to

${ displaystyle { frac { částečné K (z, w)} { částečné w}} = c (w) K (z, w) + { frac {zb (w)} {w}} { frac { částečné K (z, w)} { částečné z}}}$

kde ${ displaystyle b (w)}$ a ${ displaystyle c (w)}$ mít výkonovou řadu

${ displaystyle b (w) = { frac {w} {g (w)}} { frac {d} {dw}} g (w) = 1 + součet _ {n = 1} ^ { infty } b_ {n} w ^ {n}}$

a

${ displaystyle c (w) = { frac {1} {A (w)}} { frac {d} {dw}} A (w) = součet _ {n = 0} ^ { infty} c_ {n} w ^ {n}.}$

Střídání

${ displaystyle K (z, w) = součet _ {n = 0} ^ { infty} p_ {n} (z) w ^ {n}}$

okamžitě dává rekurzní vztah

${ displaystyle z ^ {n + 1} { frac {d} {dz}} left [{ frac {p_ {n} (z)} {z ^ {n}}} right] = - součet _ {k = 0} ^ {n-1} c_ {nk-1} p_ {k} (z) -z sum _ {k = 1} ^ {n-1} b_ {nk} { frac {d } {dz}} p_ {k} (z).}$

Pro speciální případ Brenkeových polynomů jeden má ${ displaystyle g (w) = w}$ a tedy všechny ${ displaystyle b_ {n} = 0}$, což významně zjednodušuje relaci rekurze.

Viz také

• Q-rozdílové polynomy

Reference

• Ralph P. Boas, Jr. a R. Creighton Buck, Polynomiální rozšíření analytických funkcí (opraven druhý tisk)(1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlín. Library of Congress Card Number 63-23263.
• Brenke, William C. (1945). Msgstr "O generování funkcí polynomiálních systémů". Americký matematický měsíčník. 52 (6): 297–301. doi:10.2307/2305289.
• Huff, W. N. (1947). Msgstr "Typ polynomů generovaných f (xt) φ (t)". Duke Mathematical Journal. 14 (4): 1091–1104. doi:10.1215 / S0012-7094-47-01483-X.