Skupina - A-group

v matematika, v oblasti abstraktní algebra známý jako teorie skupin, an Skupina je typ skupiny, který je podobný abelianské skupiny. Skupiny byly poprvé studovány ve 40. letech 20. století Philip Hall, a jsou studovány dodnes. O jejich struktuře je známo mnoho.

Definice

An Skupina je konečný skupina s majetkem, že všechny jeho Podskupiny Sylow jsou abelian.

Dějiny

Termín A-skupina byl pravděpodobně poprvé použit v (Hall 1940, Sec. 9), kde byla pozornost omezena na rozpustný A-skupiny. Hallova prezentace byla poměrně krátká bez důkazů, ale jeho poznámky byly brzy rozšířeny o důkazy v (Posměch 1949 ). The teorie reprezentace skupin A byl studován v (Itô 1952 ). Carter poté zveřejnil důležitý vztah mezi Carterovy podskupiny a Hallova práce v (Carter 1962 ). Práce Halla, Taunta a Cartera byly prezentovány v učebnicové podobě v (Huppert 1967 ). Zaměření na rozpustné skupiny A se rozšířilo a klasifikace konečných jednoduchých skupin A v (Walter 1969 ) který umožnil zobecnění Tauntovy práce na konečné skupiny v (Broshi 1971 ). Zájem o A-skupiny se také rozšířil kvůli důležitému vztahu k odrůdy skupin diskutováno v (Ol'šanskiĭ 1969 ). Moderní zájem o skupiny A byl obnoven, když nové techniky výčtu umožnily těsné asymptotické hranice počtu odlišných izomorfismus třídy A-skupin v (Venkataraman 1997 ).

Vlastnosti

O skupinách A lze říci:

• Každý podskupina, kvocientová skupina, a přímý produkt A-skupin jsou A-skupiny.
• Každá konečná abelianská skupina je A-skupina.
• Konečný nilpotentní skupina je skupina A právě tehdy, pokud je abelianská.
• The symetrická skupina ve třech bodech je skupina A, která není abelianská.
• Každá skupina objednávek bez krychle je skupina A.
• Odvozená délka skupiny A může být libovolně velká, ale ne větší než počet odlišných hlavních dělitelů řádu, uvedený v (Hall 1940 ) a prezentovány ve formě učebnice jako (Huppert 1967, Kap. VI, Satz 14,16).
• The nižší nilpotentní série se shoduje s odvozené řady (Hall 1940 ).
• Rozpustná skupina A má jedinečnou maximální abelianskou normální podskupinu (Hall 1940 ).
• The Přizpůsobení podskupiny a řešitelný Skupina A se rovná přímému produktu produktu centra podmínek odvozené řady, poprvé uvedeno v (Hall 1940 ), poté prokázáno v (Posměch 1949 ) a prezentovány ve formě učebnice v (Huppert 1967, Kap. VI, Satz 14,8).
• Neabelovská konečnost jednoduchá skupina je skupina A právě tehdy, pokud je isomorfní s první skupina Janko nebo do PSL (2,q) kde q > 3 a buď q = 2ⁿ nebo q ≡ 3,5 mod 8, jak je znázorněno na (Walter 1969 ).
• Všechny skupiny v odrůdě generované konečnou skupinou jsou konečně přibližný právě tehdy, je-li tato skupina skupinou A, jak je uvedeno v (Ol'šanskiĭ 1969 ).
• Jako Z-skupiny, jejichž podskupiny Sylow jsou cyklické, lze A-skupiny studovat snadněji než obecné konečné skupiny z důvodu omezení místní struktury. Například přesnější výčet rozpustných A-skupin byl nalezen po výčtu rozpustné skupiny s pevnými, ale libovolnými podskupinami Sylow (Venkataraman 1997 ). Více pohodová expozice je uvedena v (Blackburn, Neumann a Venkataraman 2007, Ch. 12).

Reference

• Blackburn, Simon R .; Neumann, Peter M .; Venkataraman, Geetha (2007), Výčet konečných skupin, Cambridge Tracts in Mathematics no 173 (1. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88217-0, OCLC  154682311
• Broshi, Aviad M. (1971), „Konečné skupiny, jejichž podskupiny Sylow jsou abelian“, Journal of Algebra, 17: 74–82, doi:10.1016/0021-8693(71)90044-5, ISSN  0021-8693, PAN  0269741
• Carter, Roger W. (1962), „Nilpotentní samoregulační podskupiny a normalizátoři systému“, Proceedings of the London Mathematical SocietyTřetí série, 12: 535–563, doi:10,1112 / plms / s3-12.1.535, PAN  0140570
• Hall, Philip (1940), "Konstrukce rozpustných skupin", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 182: 206–214, ISSN  0075-4102, PAN  0002877
• Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (v němčině), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-03825-2, PAN  0224703, OCLC  527050, zejména Kap. VI, §14, s. 751–760
• Itô, Noboru (1952), „Poznámka ke skupinám A“, Nagojský matematický deník, 4: 79–81, ISSN  0027-7630, PAN  0047656
• Ol'šanskiĭ, A. Ju. (1969), „Odrůdy konečně přibližných skupin“, Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya (v Rusku), 33: 915–927, ISSN  0373-2436, PAN  0258927
• Taunt, D. R. (1949), "On A-groups", Proc. Cambridge Philos. Soc., 45: 24–42, Bibcode:1949PCPS ... 45 ... 24T, doi:10.1017 / S0305004100000414, PAN  0027759
• Venkataraman, Geetha (1997), "Výčet konečných rozpustných skupin s podskupinami abelian Sylow", Quarterly Journal of Mathematics, Druhá série, 48 (189): 107–125, doi:10.1093 / qmath / 48.1.107, PAN  1439702
• Walter, John H. (1969), „Charakterizace konečných skupin s abelianskými dvěma podskupinami Sylow.“, Annals of Mathematics, Druhá série, 89 (3): 405–514, doi:10.2307/1970648, JSTOR  1970648, PAN  0249504