Montážní délka - Fitting length

v matematika, zejména v oblasti algebra známý jako teorie skupin, Montážní délka (nebo nilpotentní délka) měří, jak daleko a řešitelná skupina je od bytí nilpotentní. Pojem je pojmenován po Hans Fitting, kvůli jeho vyšetřování nilpotentu normální podskupiny.

Definice

A Montážní řetěz (nebo Montážní série nebo nilpotentní série) pro skupina je subnormální série s nilpotentní kvocienty. Jinými slovy, konečná posloupnost podskupiny včetně celé skupiny a triviální skupiny, takže každá je a normální podskupina předchozího a takové, že kvocienty po sobě jdoucích výrazů jsou nilpotentní skupiny.

The Montážní délka nebo nilpotentní délka a skupina je definována jako nejmenší možná délka montážního řetězu, pokud existuje.

Horní a dolní řada kování

Stejně jako horní centrální série a spodní centrální série jsou mezi nimi extrémní centrální řada, mezi nilpotentními řadami jsou analogické řady extrémní.

Pro konečnou skupinu H, Přizpůsobení podskupiny Vejít se(H) je maximální normální nilpotentní podskupina, zatímco minimální podskupina taková, že kvocient podle ní je nilpotentní je y_∞(H), průsečík (konečných) spodní centrální série, kterému se říká nilpotentní zbytek Odpovídají středové a podskupině komutátoru (pro horní a dolní centrální řadu). Ty neplatí pro nekonečné skupiny, takže u pokračování předpokládejme, že všechny skupiny jsou konečné.

The horní řada kování konečné skupiny je posloupnost charakteristických podskupin Vejít seⁿ(G) definován Vejít se⁰(G) = 1 a Vejít seⁿ⁺¹(G)/Vejít seⁿ(G) = Vejít se(G/Vejít seⁿ(G)). Jedná se o vzestupnou nilpotentní sérii, při každém kroku maximální možná podskupina.

The spodní řada armatur konečné skupiny G je posloupnost charakteristické podskupiny F_n(G) definován F₀(G) = G, a F_n+1(G) = y_∞(F_n(G)). Jedná se o sestupnou nilpotentní sérii, při každém kroku minimální možná podskupina.

Příklady

• Skupina má Montážní délku 1 právě tehdy, pokud není platná.
• The symetrická skupina ve třech bodech má montážní délku 2.
• The symetrická skupina ve čtyřech bodech má montážní délku 3.
• The symetrická skupina na pěti nebo více bodech nemá vůbec žádný montážní řetěz, který není řešitelný.
• Iterovaný produkt věnce z n kopie symetrické skupiny ve třech bodech má Fitting length 2n.

Vlastnosti

• Skupina má montážní řetěz právě tehdy, když je řešitelný.
• Dolní řada Fitting je Fitting chain tehdy a jen tehdy, když nakonec dosáhne triviální podskupiny, právě když G je řešitelný.
• Horní řada kování je řetěz kování právě tehdy, když se nakonec dostane k celé skupině, G, právě když G je řešitelný.
• Dolní řada kování sestupuje nejrychleji ze všech řetězů kování a horní řada kování sestupuje nejrychleji ze všech řetězů kování. Výslovně: Pro každý montážní řetěz 1 = H₀ ⊲ H₁ ⊲ … ⊲ H_n = G, jeden to má H_i ≤ Vejít seⁱ(G), a F_i(G) ≤ H_n−i.
• U řešitelné skupiny je délka spodní řady fitingů stejná jako délka horní řady fitingů a tato běžná délka je fitingová délka skupiny.

Více informací naleznete v (Huppert 1967, Kap. III, § 4).

Spojení mezi centrální řadou a montážní řadou

Kombinace spodní řady fitingů a spodní střední řady na řešitelné skupině poskytne řadu s hrubými a jemnými děleními, jako jsou hrubé a jemné značky na pravítko.

Co centrální řada to pro nilpotentní skupiny, Fitting series to pro řešitelné skupiny. Skupina má centrální řadu právě tehdy, když je nilpotentní, a Fittingovou řadu, pokud a jen pokud je řešitelná.

Vzhledem k řešitelné skupině je nižší Fittingova řada „hrubší“ divizí než spodní centrální řada: nižší Fittingová řada dává řadu pro celou skupinu, zatímco spodní centrální řada sestupuje pouze z celé skupiny do prvního funkčního období Montážní série.

Spodní řada Fitting probíhá:

G = F₀ ⊵ F₁ ⊵ ⋯ ⊵ 1,

zatímco spodní centrální řada rozděluje první krok,

G = G₁ ⊵ G₂ ⊵ ⋯ ⊵ F₁,

a je výtah spodní centrální řady pro první kvocient F₀/F₁, což je nilpotentní.

Tímto způsobem (zvednutím dolní centrální řady pro každý kvocient ze série Fitting) se získá subnormální řada:

G = G₁ ⊵ G₂ ⊵ ⋯ ⊵ F₁ = F_1,1 ⊵ F_1,2 ⊵ ⋯ ⊵ F₂ = F_2,1 ⊵ ⋯ ⊵ F_n = 1,

jako hrubé a jemné rozdělení na a pravítko.

Postupné kvocienty jsou abelianské, ukazující ekvivalenci mezi tím, že jsou řešitelné a mají řadu Fitting.

Viz také

• Centrální série
• 3kroková skupina

Reference

• Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (v němčině), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-03825-2, PAN  0224703, OCLC  527050
• Turull, Alexandre (2001) [1994], "Montážní délka", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Turull, Alexandre (2001) [1994], "Montážní řetěz", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS