Łukaszyk – Karmowski metrika - Łukaszyk–Karmowski metric

v matematika, Łukaszyk – Karmowski metrika je funkce definování a vzdálenost mezi dvěma náhodné proměnné nebo dva náhodné vektory.^[1][2] Tato funkce není a metrický protože neuspokojuje totožnost nerozporných podmínka metriky, tj. pro dva identické argumenty je její hodnota větší než nula. Koncept je pojmenován podle Szymona Łukaszyka a Wojciecha Karmowského.

Spojité náhodné proměnné

Metrika Łukaszyk – Karmowski D mezi dvěma nepřetržitými nezávislými náhodné proměnné X a Y je definován jako:

${ displaystyle D (X, Y) = int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} | xy | f (x) g (y) , dx , dy}$

kde F(X) a G(y) jsou funkce hustoty pravděpodobnosti X a Y resp.

Jeden by mohl snadno ukázat, že takový metriky výše nesplňují totožnost nerozporných podmínka, kterou musí splnit metrický z metrický prostor. Ve skutečnosti tuto podmínku splňují kdyby a jen kdyby oba argumenty X, Y jsou určité události popsané uživatelem Diracova delta hustota funkce rozdělení pravděpodobnosti. V takovém případě:

${ displaystyle D _ { delta delta} (X, Y) = int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} | xy | delta (x- mu _ {x}) delta (y- mu _ {y}) , dx , dy = | mu _ {x} - mu _ {y} |}$

metrika Łukaszyk – Karmowski se jednoduše transformuje na metriku mezi očekávané hodnoty ${ displaystyle mu _ {x}}$, ${ displaystyle mu _ {y}}$ proměnných X a Y a samozřejmě:

${ displaystyle D _ { delta delta} (X, X) = | mu _ {x} - mu _ {x} | = 0.}$

Pro všechny ostatní nemovitý případy však:

${ displaystyle D left (X, X right)> 0. ,}$

Metrika Łukaszyk – Karmowski uspokojuje zbývající nezápornost a symetrie podmínky metrický přímo z jeho definice (symetrie modulu), stejně jako subadditivita /nerovnost trojúhelníku stav:

${ displaystyle { begin {aligned} & {} D (X, Z) = int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} | xz | f ( x) h (z) , dx , dz = int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} | xz | f (x) h (z ) , dx , dz int _ {- infty} ^ { infty} g (y) dy & {} = int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} | (xy) + (yz) | f (x) g (y) h (z) , dx , dy , dz & {} leq int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} (| xy | + | yz |) f (x) g (y) h (z) , dx , dy , dz & {} = int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} | xy | f (x) g (y) h (z) , dx , dy , dz + int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} | yz | f (x) g (y) h (z) , dx , dy , dz & {} = int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} | xy | f (x) g (y) , dx , dy + int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} | yz | g (y) h ( z) , dy , dz & {} = D (X, Y) + D (Y, Z) end {zarovnáno}}}$

Tím pádem

${ displaystyle D (X, Z) leq D (X, Y) + D (Y, Z). ,}$

Metrika L – K mezi dvěma náhodnými proměnnými X a Y mít normální distribuce a totéž standardní odchylka ${ Displaystyle sigma = 0, sigma = 0,2, sigma = 0,4, sigma = 0,6, sigma = 0,8, sigma = 1}$ (počínaje spodní křivkou). ${ displaystyle m_ {xy} = | mu _ {x} - mu _ {y} |}$ označuje vzdálenost mezi prostředek z X a Y.

V případě, že X a Y jsou na sobě závislí, mají a funkce hustoty pravděpodobnosti kloubu F(X, y), metrika L – K má následující podobu:

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} | x-y | f (x, y) , dx , dy.}$

Příklad: dvě spojité náhodné proměnné s normálním rozdělením (NN)

Pokud obě náhodné proměnné X a Y mít normální distribuce se stejným standardní odchylka σ, a pokud navíc X a Y jsou tedy nezávislé D(X, Y) darováno

${ displaystyle D_ {NN} (X, Y) = mu _ {xy} + { frac {2 sigma} { sqrt { pi}}} operatorname {exp} left (- { frac { mu _ {xy} ^ {2}} {4 sigma ^ {2}}} vpravo) - mu _ {xy} operatorname {erfc} left ({ frac { mu _ {xy}} {2 sigma}} vpravo),}$

kde

${ displaystyle mu _ {xy} = vlevo | mu _ {x} - mu _ {y} vpravo |,}$

kde erfc (X) je doplňkový chybová funkce a kde indexy NN označují typ metriky L – K.

V tomto případě nejnižší možná hodnota funkce ${ displaystyle D_ {NN} (X, Y)}$ je dána

${ displaystyle lim _ { mu _ {xy} až 0} D_ {NN} (X, Y) = D_ {NN} (X, X) = { frac {2 sigma} { sqrt { pi}}}.}$

Příklad: dvě spojité náhodné proměnné s rovnoměrným rozdělením (RR)

Když obě náhodné proměnné X a Y mít jednotné rozdělení (R) stejné standardní odchylka σ, D(X, Y) darováno

${ displaystyle D_ {RR} (X, Y) = { begin {cases} { frac {24 { sqrt {3}} sigma ^ {3} - mu _ {xy} ^ {3} +6 { sqrt {3}} sigma mu _ {xy} ^ {2}} {36 sigma ^ {2}}}, & mu _ {xy} <2 { sqrt {3}} sigma, mu _ {xy}, & mu _ {xy} geq 2 { sqrt {3}} sigma. end {případy}}}$

Minimální hodnota tohoto druhu metriky L – K je

${ displaystyle D_ {RR} (X, X) = { frac {2 sigma} { sqrt {3}}}.}$

Diskrétní náhodné proměnné

V případě náhodných proměnných X a Y jsou charakterizovány diskrétní rozdělení pravděpodobnosti metrika Łukaszyk – Karmowski D je definován jako:

${ displaystyle D (X, Y) = součet _ {i} součet _ {j} | x_ {i} -y_ {j} | P (X = x_ {i}) P (Y = y_ {j} ). ,}$

Například pro dva diskrétní Poissonovo distribuováno náhodné proměnné X a Y výše uvedená rovnice se transformuje do:

${ displaystyle D_ {PP} (X, Y) = součet _ {x = 0} ^ {n} součet _ {y = 0} ^ {n} | xy | { frac {{ lambda _ {x }} ^ {x} { lambda _ {y}} ^ {y} e ^ {- ( lambda _ {x} + lambda _ {y})}} {x! y!}}.}$

Náhodné vektory

ekvidistantní povrch pro euklidovskou metriku ${ displaystyle d ^ {2} ( mathbf {x}, mathbf {0}) = { sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2}}}}$

ekvidistantní povrch pro euklidovskou metriku L – K ${ displaystyle D_ {R delta} ^ {2} ( mathbf {X}, mathbf {0}) left ( left ( mathbf {X, 0} right): Omega to mathbb { R} ^ {2} vpravo)}$

Łukaszyk – Karmowského metriku náhodných proměnných lze snadno rozšířit na metriku D(X, Y) z náhodné vektory X, Y nahrazením ${ displaystyle | x-y |}$ s jakýmkoli metrickým operátorem d(X,y):

${ displaystyle D ( mathbf {X}, mathbf {Y}) = int _ { Omega} int _ { Omega} d ( mathbf {x}, mathbf {y}) F ( mathbf {x}) G ( mathbf {y}) , d Omega _ {x} , d Omega _ {y}.}$

Například střídání d(X,y) s Euklidovská metrika a za předpokladu dvojrozměrnosti náhodných vektorů X, Y by přineslo:

${ displaystyle D ( mathbf {X}, mathbf {Y}) = int _ { Omega} int _ { Omega} { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {2} | x_ {i} -y_ {i} | ^ {2}}} F (x_ {1}, x_ {2}) G (y_ {1}, y_ {2}) , dx_ {1} , dx_ {2 } , dy_ {1} , dy_ {2}.}$

Tato forma metriky L – K je také větší než nula pro stejné měřené vektory (s výjimkou dvou vektorů, které mají Diracova delta koeficienty) a vyhovuje podmínkám nezápornosti a symetrie metriky. Důkazy jsou analogické důkazům poskytnutým pro metriku L – K náhodných proměnných popsanou výše.

V případě náhodných vektorů X a Y jsou na sobě závislí, sdílejí společné společné rozdělení pravděpodobnosti F(X, Y) metrika L – K má tvar:

${ displaystyle D ( mathbf {X}, mathbf {Y}) = int _ { Omega} int _ { Omega} d ( mathbf {x}, mathbf {y}) F ( mathbf {x}, mathbf {y}) , d Omega _ {x} , d Omega _ {y}.}$

Náhodné vektory - euklidovská forma

Pokud náhodné vektory X a Y jsou nejen vzájemně nezávislé, ale také všechny složky každého vektoru vzájemně nezávislé, metrika Łukaszyk – Karmowski pro náhodné vektory je definována jako:

${ displaystyle D _ {**} ^ {(p)} ( mathbf {X}, mathbf {Y}) = left ({ sum _ {i} {D _ {**} (X_ {i}, Y_ {i})} ^ {p}} vpravo) ^ { frac {1} {p}}}$

kde:

${ displaystyle D _ {**} (X_ {i}, Y_ {i}) ,}$

je konkrétní forma L – K metriky náhodných proměnných zvolené v závislosti na distribucích jednotlivých koeficientů ${ displaystyle X_ {i}}$ a ${ displaystyle Y_ {i}}$ vektorů X, Y .

Taková forma metriky L – K také sdílí společné vlastnosti všech metrik L – K.

• To ne splňují podmínku totožnosti nerozeznatelných:

${ displaystyle forall { mathbf {X}, mathbf {Y}} D _ {**} ^ {(p)} ( mathbf {X}, mathbf {Y}) = 0 leftrightarrow mathbf {X} = mathbf {Y} ,}$

od té doby:

${ displaystyle D _ {**} ^ {(p)} ( mathbf {X}, mathbf {X}) = 0 Leftrightarrow forall {i} D _ {**} (X_ {i}, X_ {i}) = 0}$

ale z vlastností L – K metriky pro náhodné proměnné vyplývá, že:

${ displaystyle existuje X_ {i} D _ {**} (X_ {i}, X_ {i})> 0}$

• Je to nezáporné a symetrické, protože konkrétní koeficienty jsou také nezáporné a symetrické:

${ displaystyle forall i D _ {**} (X_ {i}, Y_ {i})> 0 ,}$

${ displaystyle forall i D _ {**} (X_ {i}, Y_ {i}) = D _ {**} (Y_ {i}, X_ {i})}$

• Splňuje nerovnost trojúhelníku:

${ displaystyle forall mathbf {X}, mathbf {Y}, mathbf {Z} D _ {**} ^ {(p)} ( mathbf {X}, mathbf {Z}) leq D _ {**} ^ {(p)} ( mathbf {X}, mathbf {Y}) + D _ {**} ^ {(p)} ( mathbf {Y}, mathbf {Z})}$

od (srov. Minkowského nerovnost ):

${ displaystyle { begin {aligned} & {} left ({ sum _ {i} {D _ {**} (X_ {i}, Y_ {i})} ^ {p}} right) ^ { frac {1} {p}} + left ({ sum _ {i} {D _ {**} (Y_ {i}, Z_ {i})} ^ {p}} right) ^ { frac {1} {p}} geq & {} geq left ({ sum _ {i} {D _ {**} (X_ {i}, Y_ {i}) + D _ {**} (Y_ {i}, Z_ {i})} ^ {p}} vpravo) ^ { frac {1} {p}} geq & {} geq left ({ sum _ {i} {D _ {**} (X_ {i}, Z_ {i})} ^ {p}} right) ^ { frac {1} {p}} end {aligned}}}$

Fyzická interpretace

Metriku Łukaszyk – Karmowski lze považovat za vzdálenost mezi kvantová mechanika částice popsané vlnové funkce ψ, Kde pravděpodobnost dP že daná částice je přítomna v daném objemu prostoru dV množství:

${ displaystyle dP = | psi (x, y, z) | ^ {2} dV. ,}$

Kvantová částice v krabici

Metrika L – K mezi kvantovou částicí v jednorozměrném poli délky L a daný bod ξ krabice ${ displaystyle (0 leq xi leq L)}$.

Například vlnová funkce kvanta částice (X) v krabice délky L má formu:

${ displaystyle psi _ {m} (x) = { sqrt { frac {2} {L}}} sin { vlevo ({ frac {m pi x} {L}} vpravo)} , ,}$

V tomto případě metrika L – K mezi touto částicí a jakýmkoli bodem ${ displaystyle xi v (0, L) ,}$ částek z krabice:

${ displaystyle { begin {aligned} & {} D (X, xi) = int limity _ {0} ^ {L} | x- xi || psi _ {m} (x) | ^ {2} dx = & {} = { frac { xi ^ {2}} {L}} - xi + L vlevo ({ frac {1} {2}} - { frac { sin ^ {2} ({ frac {m pi xi} {L}})} {m ^ {2} pi ^ {2}}} vpravo). end {zarovnáno}}}$

Z vlastností metriky L – K vyplývá, že součet vzdáleností mezi hranou pole (ξ = 0 nebo ξ= L) a jakýkoli daný bod a metrika L – K mezi tímto bodem a částicou X je větší než metrika L – K mezi okrajem krabice a částice. Např. pro kvantovou částici X na energetické úrovni m = 2 a bod ξ = 0.2:

${ Displaystyle d (0,0,2L) + D (0,2L, X) přibližně 0,2L + 0,3171L = 0,517L neq D (0, X) = 0,5L = d (0,0,5L). , }$

Je zřejmé, že metrika L – K mezi částicemi a okrajem pole (D (0, X) nebo D (L, X)) činí 0,5L a je nezávislá na energetické úrovni částice.

Dvě kvantové částice v krabici

Vzdálenost mezi dvěma částice poskakující v jednorozměrném boxu délky L nezávislost na čase vlnové funkce:

${ displaystyle psi _ {m} (x) = { sqrt { frac {2} {L}}} sin { vlevo ({ frac {m pi x} {L}} vpravo)} , ,}$

${ displaystyle psi _ {n} (y) = { sqrt { frac {2} {L}}} sin { left ({ frac {n pi y} {L}} right)} , ,}$

lze definovat v pojmech Łukaszyk – Karmowski metriky nezávislý náhodné proměnné jako:

${ displaystyle { begin {aligned} & {} D (X, Y) = int limity _ {0} ^ {L} int limity _ {0} ^ {L} | xy || psi _ {m} (x) | ^ {2} | psi _ {n} (y) | ^ {2} , dx , dy & {} = { begin {cases} L left ({ frac {4 pi ^ {2} m ^ {2} -15} {12 pi ^ {2} m ^ {2}}} vpravo) & m = n, L vlevo ({ frac {2 pi ^ {2} m ^ {2} n ^ {2} -3m ^ {2} -3n ^ {2}} {6 pi ^ {2} m ^ {2} n ^ {2}}} vpravo) & m neq n end {cases}} end {aligned}}}$

Vzdálenost mezi částicemi X a Y je minimální pro m = 1 i n = 1, to je pro minimální energetické úrovně těchto částic a množství:

${ displaystyle min (D (X, Y)) = L left ({ frac {4 pi ^ {2} -15} {12 pi ^ {2}}} right) cca 0,2067L. ,}$

Podle vlastností této funkce je minimální vzdálenost nenulová. Pro vyšší energetické hladiny m, n blíží se k L/3.

Populární vysvětlení

Normální rozdělení dvou náhodných proměnných X a Y stejné rozptylu pro tři umístění jejich průměrů µ_X, µ_y

Předpokládejme, že musíme změřit vzdálenost mezi body µ_X a ukázat µ_y, které jsou kolineární s nějakým bodem 0. Předpokládejme dále, že jsme tento úkol pověřili dvěma nezávislými a velkými skupinami geodetů vybavených svinovací metry, přičemž každý zeměměřič první skupiny bude měřit vzdálenost mezi 0 a µ_X a každý zeměměřič druhé skupiny bude měřit vzdálenost mezi 0 a µ_y.

Za následujících předpokladů můžeme uvažovat o dvou sadách obdržených pozorování X_i, y_j jako náhodné proměnné X a Y mít normální distribuce stejné rozptylu σ ² a distribuovány na „faktických místech“ bodů µ_X, µ_y.

Výpočet aritmetický průměr pro všechny páry |X_i − y_j| měli bychom pak získat hodnotu L – K metriky D_NN(X, Y). Jeho charakteristická křivočarost vyplývá ze symetrie modul a překrývání distribucí F(X), G(y) když se jejich prostředky k sobě blíží.

Zajímavý experiment, jehož výsledky se shodují s vlastnostmi L – K metriky, provedl v roce 1967 Robert Moyer a Thomas Landauer kdo měřil přesný čas, který dospělý potřeboval, aby rozhodl, která ze dvou arabských číslic je největší. Když byly dvě číslice numericky vzdálené, například 2 a 9. subjekty reagovaly rychle a přesně. Ale jejich doba odezvy se zpomalila o více než 100 milisekund, když byli blíže, například 5 a 6, a subjekty pak chybovaly tak často, jako jednou za každých deset pokusů. Účinek vzdálenosti byl přítomen jak u vysoce inteligentních osob, tak u těch, kteří byli vyškoleni, aby jí unikli.^[3]

Praktické aplikace

Místo metrického operátoru lze použít metodu Łukaszyk – Karmowski (běžně Euklidovská vzdálenost ) v různých numerických metodách, a zejména v aproximačních algoritmech, jako jsme my radiální základní funkční sítě,^[4] inverzní vážení vzdálenosti nebo Kohonen samoorganizující se mapy.

Tento přístup je fyzicky založen a umožňuje zohlednit skutečnou nejistotu v umístění vzorkovacích bodů.^[5][6]

Viz také

• Pravděpodobnostní metrický prostor
• Statistická vzdálenost

Reference